Ing Mathematik: Differentialrechnung


Die Ableitung einer Funktion ist durch folgende Gleichung definiert:

Die Funktion geht durch den Punkt zeichnet man in diesem Punkt die Tangente an die Funktion und misst deren Steigung aus, so erhält man gerade den Wert . Die Ableitung hat also die anschauliche Bedeutung der Tangentensteigung. Sucht man eine Gerade die durch den Punkt geht und deren Funktionswerte in einem kleinen Bereich um x herum möglichst nahe an denen von liegen soll so erhällt man gerade die Tangente. Man nennt die Tangente daher auch lineare Bestapproximation. Zur Berechnung der von Ableitungen gibt es einige Regeln die im folgenden nachgerechnet werden. Es gibt viele unterschiedliche Schreibweisen für Ableitungen einige von diesen sind:

Sie sind alle gleichwertig. Weiterhin gibt es noch die schreibweise:

Für die in viele Fälle ist sie den obigen Schreibweisen gleichwertig. Jedoch gibt es insbesondere im mehrdimensionalen Fall Unterschiede zwischen diesen beiden Schreibweisen zu beachten so dass im häufig gilt:

Aber dies soll uns hier noch nicht belasten. Man kann jeder differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnen. Damit hat man dann eine Abbildung von der Menge der Funktionen in die Menge der Funktionen. Für diese Abbildung schreibt man auch das Symbol . Es handelt sich also um ein Rechenzeichen das aus einer Funktion deren Ableitung berechnet. Diese Art von Rechenzeichen nennt man auch Differenzialoperatoren. Natürlich ist auch ein Diffenrenzialoperator.


SummenregelBearbeiten

 

ProduktregelBearbeiten

 

QuotientenregelBearbeiten

 

Ableitung der identischen FunktionBearbeiten

Betrachten wir die indensiche Abbildung  :

 

Dies ist nicht verwunderlich da jede Tangente an eine Gerade mit der Steigung 1 ebenfalls die Steigung 1 hat.

PotenzenBearbeiten

Betrachten wir die Funktion   wobei  : Die Ableitung ist gegeben durch:

 

Dies zeigen wir per Induktion. Mit der Berechnung der Ableitung der Funktion   haben wir diese Formel schon für   bewiesen. Es bleibt also nur noch der Induktionsschritt von   auf  . Sei die Formel für   schon bewiesen: Dann berechnet sich die Ableitung von   nach der Produktregel:

 

Damit ist die Aussage für alle   bewiesen.

KonstantenBearbeiten

Betrachten wir die konstante Funktion  :

 

Die Ableitung der konstanten Funktion ist also 0. Betrachten wir nun eine beliebige Funktion multipliziert mit einer Konstanten. 

 

Man darf Konstanten also einfach vor die Ableitung ziehen.


 

ExponentialfunktionBearbeiten

Die Ableitung der Exponentialfunktion

 

Berechnet sich nach obigen Regeln zu:

 

Sie geht also beim Ableiten in sich selbst über.

KettenregelBearbeiten

 

UmkehrfunktionBearbeiten

Sei   eine beliebige Funktion und g die zugehörige Umkehrfunktion dann gilt offensichtlich:

 

Leitet man beide Seiten ab so erhält man:

 

LogarithmusBearbeiten

Wendet man das obige Ergebnis mit   und   an so hat man:

 

und somit

 

Die Ableitung des des Logarithmus ist also die Funktion  

Sinus und KonsiusBearbeiten

Wie wir im Kapitel über komplexe Zahlen sahen ist:

 

und

 

Die Ableitungen berechnen sich nach den oben angebenen Regeln zu:

 

und

 

Wobei wir im letzten Schritt   benutzt haben. Ansonsten haben wir mit komplexen Zahlen und Funktionen genauso gerechnet wie mit reellen, aber das dürfen wir auch.

TangensBearbeiten

Der Tangens ist bekanntlich definert durch:   Die Ableitung ergibt sich nach den obigen Regeln zu