Ing Mathematik: Differentialrechnung

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Die Ableitung einer Funktion ist durch folgende Gleichung definiert:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Die Funktion $f$ geht durch den Punkt $(x,y)=\left(x,f(x)\right)$ zeichnet man in diesem Punkt die Tangente an die Funktion und misst deren Steigung aus, so erhält man gerade den Wert ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$. Die Ableitung hat also die anschauliche Bedeutung der Tangentensteigung. Sucht man eine Gerade die durch den Punkt $\left(x,f(x)\right)$ geht und deren Funktionswerte in einem kleinen Bereich um x herum möglichst nahe an denen von $f$ liegen soll so erhällt man gerade die Tangente. Man nennt die Tangente daher auch lineare Bestapproximation. Zur Berechnung der von Ableitungen gibt es einige Regeln die im folgenden nachgerechnet werden. Es gibt viele unterschiedliche Schreibweisen für Ableitungen einige von diesen sind:

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x)={\frac {\partial f(x)}{\partial x}}$

Sie sind alle gleichwertig. Weiterhin gibt es noch die schreibweise:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=f'(x)$

Für die in viele Fälle ist sie den obigen Schreibweisen gleichwertig. Jedoch gibt es insbesondere im mehrdimensionalen Fall Unterschiede zwischen diesen beiden Schreibweisen zu beachten so dass im häufig gilt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\neq {\frac {\partial }{\partial x}}f(x)$

Aber dies soll uns hier noch nicht belasten. Man kann jeder differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnen. Damit hat man dann eine Abbildung von der Menge der Funktionen in die Menge der Funktionen. Für diese Abbildung schreibt man auch das Symbol ${\frac {\partial }{\partial x}}$ . Es handelt sich also um ein Rechenzeichen das aus einer Funktion deren Ableitung berechnet. Diese Art von Rechenzeichen nennt man auch Differenzialoperatoren. Natürlich ist auch ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ein Diffenrenzialoperator.

Summenregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(f(x)\pm g(x)\right)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\left(f(x+h)\pm g(x+h)\right)-\left(f(x)\pm g(x)\right)}{h}}&=&\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\pm \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)+g(h)}{h}}\\&=&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\pm {\frac {\partial }{\partial x}}h(x)&&\end{matrix}}$

Produktregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(f(x)\cdot g(x)\right)&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\left(f(x+h)\cdot g(x+h)\right)-\left(f(x)\cdot g(x)\right)}{h}}\\&=&\lim _{h\to 0}{\frac {\left(f(x+h)\cdot g(x+h)\right)-f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)-\left(f(x)\cdot g(x)\right)}{h}}\\&=&\lim _{h\to 0}f(x+h){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+\lim _{h\to 0}g(x){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=&f(x){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}g(x)+g(x){\frac {\partial }{\partial x}}f(x)\end{matrix}}$

Quotientenregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{f(x)}}&=&\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left({\frac {1}{f(x+h)}}-{\frac {1}{f(x)}}\right)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x)-f(x+h)}{hf(x+h)f(x)}}\\&=&\lim _{h\to 0}-{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot {\frac {1}{f(x)f(x+h)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {f(x)}{g(x)}}&=&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)=f(x)\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {1}{g(x)}}+{\frac {1}{g(x)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\\&=&-f(x){\frac {1}{g(x)^{2}}}{\frac {\partial g(x)}{\partial x}}+{\frac {1}{g(x)}}{\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x){\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}-f(x){\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}}{g(x)^{2}}}\end{matrix}}$

Ableitung der identischen Funktion

Betrachten wir die indensiche Abbildung $f(x)=x$:

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}x=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h-x}{h}}=\lim _{h\to 0}1=1$

Dies ist nicht verwunderlich da jede Tangente an eine Gerade mit der Steigung 1 ebenfalls die Steigung 1 hat.

Potenzen

Betrachten wir die Funktion $f(x)=x^{n}$ wobei $n\in \mathbb {N}$: Die Ableitung ist gegeben durch:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n}=nx^{n-1}$

Dies zeigen wir per Induktion. Mit der Berechnung der Ableitung der Funktion $f(x)=x$ haben wir diese Formel schon für $n=1$ bewiesen. Es bleibt also nur noch der Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$. Sei die Formel für $n-1$ schon bewiesen: Dann berechnet sich die Ableitung von $x^{n}$ nach der Produktregel:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\cdot x^{n-1}\right)=1\cdot x^{n-1}+x\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n-1}=x^{n-1}+x\left(n-1\right)x^{n-2}=nx^{n-1}$

Damit ist die Aussage für alle $n\in \mathbb {N}$ bewiesen.

Konstanten

Betrachten wir die konstante Funktion $f(x)=k$:

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}x=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {k-k}{h}}=\lim _{h\to 0}0=0$

Die Ableitung der konstanten Funktion ist also 0. Betrachten wir nun eine beliebige Funktion multipliziert mit einer Konstanten.$f(x)=k\cdot g(x)$

${\frac {\mathrm {d} f(x)}{\mathrm {d} x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {k\cdot g(x+h)-k\cdot g(x)}{h}}=k\lim _{h\to 0}{\frac {\cdot g(x+h)-\cdot g(x)}{h}}=k{\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}$

Man darf Konstanten also einfach vor die Ableitung ziehen.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(k\cdot g(x)\right)=k\cdot {\frac {\mathrm {d} g(x)}{\mathrm {d} x}}$

Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion

$e^{x}=1+{\frac {1}{1!}}x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+...$

Berechnet sich nach obigen Regeln zu:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=0+{\frac {1}{1!}}1+{\frac {2}{2!}}x^{1}+{\frac {3}{3!}}x^{2}=1+{\frac {1}{1!}}x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+...=e^{x}$

Sie geht also beim Ableiten in sich selbst über.

Kettenregel

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(g(x))&=&\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\cdot {\frac {g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}}\\&=&\lim _{h\to 0}{\frac {f(g(x)+(g(x+h)-g(x)))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}}{\frac {g(x+h)-g(x)}{\cdot }}\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=&\lim _{((g(x+h)-g(x))\to 0}{\frac {f(g(x)+(g(x+h)-g(x)))-f(g(x))}{(g(x+h)-g(x)}}{\frac {\partial g(x)}{\partial x}}\\&=&{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}\left(g(x)\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)\end{matrix}}$

Umkehrfunktion

Sei $f$ eine beliebige Funktion und g die zugehörige Umkehrfunktion dann gilt offensichtlich:

$f(g(x))=x$

Leitet man beide Seiten ab so erhält man:

${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} g}}\left(g(x)\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)=1$

Logarithmus

Wendet man das obige Ergebnis mit $f(g)=\log(g)$ und $g(x)=e^{x}$ an so hat man:

${\frac {\mathrm {d} \log(g)}{\mathrm {d} g}}\cdot e^{x}=1$

und somit

${\frac {\mathrm {d} \log(g)}{\mathrm {d} g}}={\frac {1}{g}}$

Die Ableitung des des Logarithmus ist also die Funktion ${\frac {1}{x}}$

Sinus und Konsius

Wie wir im Kapitel über komplexe Zahlen sahen ist:

$\sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

und

$\cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}$

Die Ableitungen berechnen sich nach den oben angebenen Regeln zu:

${\frac {\mathrm {d} \sin(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {ie^{x}+ie^{-ix}}{2i}}=\cos(x)$

und

${\frac {\mathrm {d} \cos(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {ie^{x}-ie^{-ix}}{2}}=-\sin(x)$

Wobei wir im letzten Schritt ${\frac {1}{i}}=i^{3}=-i$ benutzt haben. Ansonsten haben wir mit komplexen Zahlen und Funktionen genauso gerechnet wie mit reellen, aber das dürfen wir auch.

Tangens

Der Tangens ist bekanntlich definert durch: $\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ Die Ableitung ergibt sich nach den obigen Regeln zu ${\frac {\mathrm {d} \tan(x)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)(-1)\sin(x)}{\cos(x)^{2}}}={\frac {1}{\cos(x)^{2}}}$

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