Ing Mathematik: Wichtige Funktionen


ExponentialfunktionenBearbeiten

Es sei  , sowie  . Dann ist

 


a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz   (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß   für jedes   und   definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für   monoton steigend, für   monoton fallend.

 

RechenregelnBearbeiten

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Natürliche ExponentialfunktionBearbeiten

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle  folgendermaßen definiert werden

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oder

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LogarithmenBearbeiten

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man  . Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise   zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

 

 

   

RechenregelnBearbeiten

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Wichtige BasenBearbeiten

Basis 2Bearbeiten

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

 

oder

 

Basis 10Bearbeiten

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

 

Basis eBearbeiten

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

 

oder

 

Umrechnung zwischen verschiedenen BasenBearbeiten

 

 


eingesetzt

 


daraus folgt, dass

 

sein muss.


Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

 

ableiten.


 

 

Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)Bearbeiten

Das BogenmaßBearbeiten

 

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

 

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

 .

Somit gilt für den Vollkreis

 

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen   im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°] Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1  
45  
~57,3 1
90  
180  
360  


Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

 

mit   in [rad] und   in [°].


Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird  . Am Einheitskreis enspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis Bearbeiten

 

Sinus und CosinusBearbeiten

 


sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

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Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:

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Des Weiteren gilt:

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Definition:

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Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

 

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

 

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definiton selbiges Ergebnis ableiten lassen:

 

   

 

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

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sein muss.

AdditionstheoremeBearbeiten

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Tangens und CotangensBearbeiten

Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen FunktionenBearbeiten

HyperbelfunktionenBearbeiten

PolynomeBearbeiten

Rationale FunktionenBearbeiten

ParameterdarstellungBearbeiten