Exponentialfunktionen
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Den Logarithmus zur Basis a schreibt man log a x {\displaystyle \,\log _{a}x} a log x {\displaystyle \,_{a}\log x}
Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.
y = a x {\displaystyle y=a^{x}}
x = log a y {\displaystyle x=\log _{a}y}
a log a x = x {\displaystyle a^{\log _{a}x}=x} log a ( a x ) = x {\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x} log a ( 1 ) = 0 {\displaystyle \log _{a}\left(1\right)=0} log a ( a ) = 1 {\displaystyle \log _{a}\left(a\right)=1} log a ( x y ) = log a x + log a y {\displaystyle \log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y} log a ( x y ) = log a x − log a y {\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y} log a ( 1 x ) = − log a x {\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x} log a ( x y ) = y log a x {\displaystyle \log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x} log a x log a y = log b x log b y {\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}} Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus
log 2 x = lb x {\displaystyle \log _{2}x\ =\ {\mbox{lb}}\ x}
oder
log 2 x = ld x {\displaystyle \log _{2}x\ =\ {\mbox{ld}}\ x}
Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus
log 10 x = lg x {\displaystyle \log _{10}x\ =\ \lg x}
natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis
log e x = ln x {\displaystyle \log _{e}x\ =\ \ln x}
oder
log e x = log x {\displaystyle \log _{e}x\ =\ \log x}
Umrechnung zwischen verschiedenen Basen
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x = a log a x = b log b x {\displaystyle x=a^{\log _{a}x}=b^{\log _{b}x}}
b = a log a b {\displaystyle b=a^{\log _{a}b}}
a log a x = a log a b log b x = a log b x ⋅ log a b {\displaystyle a^{\log _{a}x}=a^{\log _{a}b^{\log _{b}x}}=a^{\log _{b}x\cdot \log _{a}b}}
log a x = log b x ⋅ log a b {\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}
sein muss.
log a x log a y = log b x log b y {\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}
ableiten.
log a x log a b = log b x log b b {\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b}}}
log a x = log b x ⋅ log a b {\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}
Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)
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Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe
ϕ = s r {\displaystyle \phi \ ={\frac {s}{r}}}
Bekannt ist der Umfang eines Kreises
U = 2 π r = ϕ V ⋅ r {\displaystyle U=2\pi r=\phi _{V}\cdot r}
Somit gilt für den Vollkreis
ϕ V = 2 π {\displaystyle \phi _{V}\ =\ 2\pi }
Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen 2 π {\displaystyle 2\ \pi } Radiant [rad] versehen.
Winkel in [°]
Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1
2 π 360 = π 180 {\displaystyle {\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}} 45
π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} ~57,3
1
90
π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} 180
π {\displaystyle \pi \ } 360
2 π {\displaystyle 2\pi \ }
ϕ = π 180 φ {\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{180}}\varphi }
mit ϕ {\displaystyle \phi \ } [rad] und φ {\displaystyle \varphi } [°] .
ϕ = 1 {\displaystyle \phi \ =\ 1}
Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis
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sin ( − x ) = − sin x {\displaystyle \sin(-x)\ =\ -\sin x} cos ( − x ) = cos x {\displaystyle \cos(-x)\ =\ \cos x} Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:
sin ( x + 2 k π ) = sin x {\displaystyle \sin(x+2k\pi )\ =\ \sin x} cos ( x + 2 k π ) = cos x {\displaystyle \cos(x+2k\pi )\ =\ \cos x} Des Weiteren gilt:
cos ( x ) = sin ( x − π 2 ) {\displaystyle \cos(x)\ =\ \sin(x-{\frac {\pi }{2}})} Definition:
sin x = ℑ ( e i x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x=\Im \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} cos x = ℜ ( e i x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x=\Re \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
e i x = ℜ ( e i x ) + ℑ ( e i x ) = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}=\Re \left(e^{ix}\right)+\Im \left(e^{ix}\right)=\cos x+i\sin x}
Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung
sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}
ableiten.
Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:
e i x e − i x = e i x − i x = 1 {\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ e^{ix-ix}\ =\ 1}
e i x = cos x + i sin x {\displaystyle e^{ix}\ =\ \cos x+i\sin x} e − i x = cos x − i sin x {\displaystyle e^{-ix}\ =\ \cos x-i\sin x}
e i x e − i x = sin 2 x + cos 2 x = 1 {\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}
Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass
| sin x | ≤ 1 {\displaystyle |\sin x|\ \leq 1} | cos x | ≤ 1 {\displaystyle |\cos x|\ \leq 1} sein muss.
sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y {\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y} cos ( x ± y ) = cos x cos y ∓ sin x sin y {\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y} sin x + sin y = 2 sin x + y 2 cos x − y 2 {\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}} cos x + cos y = 2 cos x + y 2 cos x − y 2 {\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}} sin x − sin y = 2 cos x + y 2 sin x − y 2 {\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}} cos x − cos y = − 2 sin x + y 2 sin x − y 2 {\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}} Tangens und Cotangens
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Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen
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Rationale Funktionen
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Parameterdarstellung
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![{\displaystyle r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8140d36f81620b0281be3962028d3f6af972574f)
