Den Logarithmus zur Basis a schreibt man
log
a
x
{\displaystyle \,\log _{a}x}
a
log
x
{\displaystyle \,_{a}\log x}
Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
x
=
log
a
y
{\displaystyle x=\log _{a}y}
a
log
a
x
=
x
{\displaystyle a^{\log _{a}x}=x}
log
a
(
a
x
)
=
x
{\displaystyle \log _{a}\left(a^{x}\right)=x}
log
a
(
1
)
=
0
{\displaystyle \log _{a}\left(1\right)=0}
log
a
(
a
)
=
1
{\displaystyle \log _{a}\left(a\right)=1}
log
a
(
x
y
)
=
log
a
x
+
log
a
y
{\displaystyle \log _{a}\left(xy\right)=\log _{a}x+\log _{a}y}
log
a
(
x
y
)
=
log
a
x
−
log
a
y
{\displaystyle \log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}x-\log _{a}y}
log
a
(
1
x
)
=
−
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}x}
log
a
(
x
y
)
=
y
log
a
x
{\displaystyle \log _{a}\left(x^{y}\right)=y\log _{a}x}
log
a
x
log
a
y
=
log
b
x
log
b
y
{\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}
Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus
log
2
x
=
lb
x
{\displaystyle \log _{2}x\ =\ {\mbox{lb}}\ x}
oder
log
2
x
=
ld
x
{\displaystyle \log _{2}x\ =\ {\mbox{ld}}\ x}
Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus
log
10
x
=
lg
x
{\displaystyle \log _{10}x\ =\ \lg x}
natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis
log
e
x
=
ln
x
{\displaystyle \log _{e}x\ =\ \ln x}
oder
log
e
x
=
log
x
{\displaystyle \log _{e}x\ =\ \log x}
Umrechnung zwischen verschiedenen Basen
Bearbeiten
x
=
a
log
a
x
=
b
log
b
x
{\displaystyle x=a^{\log _{a}x}=b^{\log _{b}x}}
b
=
a
log
a
b
{\displaystyle b=a^{\log _{a}b}}
a
log
a
x
=
a
log
a
b
log
b
x
=
a
log
b
x
⋅
log
a
b
{\displaystyle a^{\log _{a}x}=a^{\log _{a}b^{\log _{b}x}}=a^{\log _{b}x\cdot \log _{a}b}}
log
a
x
=
log
b
x
⋅
log
a
b
{\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}
sein muss.
log
a
x
log
a
y
=
log
b
x
log
b
y
{\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}y}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}y}}}
ableiten.
log
a
x
log
a
b
=
log
b
x
log
b
b
{\displaystyle {\frac {\log _{a}x}{\log _{a}b}}={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}b}}}
log
a
x
=
log
b
x
⋅
log
a
b
{\displaystyle \log _{a}x=\log _{b}x\cdot \log _{a}b}
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Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe
ϕ
=
s
r
{\displaystyle \phi \ ={\frac {s}{r}}}
Bekannt ist der Umfang eines Kreises
U
=
2
π
r
=
ϕ
V
⋅
r
{\displaystyle U=2\pi r=\phi _{V}\cdot r}
Somit gilt für den Vollkreis
ϕ
V
=
2
π
{\displaystyle \phi _{V}\ =\ 2\pi }
Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen
2
π
{\displaystyle 2\ \pi }
Radiant [rad] versehen.
Winkel in [°]
Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1
2
π
360
=
π
180
{\displaystyle {\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}}
45
π
4
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}
~57,3
1
90
π
2
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}
180
π
{\displaystyle \pi \ }
360
2
π
{\displaystyle 2\pi \ }
ϕ
=
π
180
φ
{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{180}}\varphi }
mit
ϕ
{\displaystyle \phi \ }
[rad] und
φ
{\displaystyle \varphi }
[°] .
ϕ
=
1
{\displaystyle \phi \ =\ 1}
Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis
Bearbeiten
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle \sin(-x)\ =\ -\sin x}
cos
(
−
x
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(-x)\ =\ \cos x}
Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen, es gilt:
sin
(
x
+
2
k
π
)
=
sin
x
{\displaystyle \sin(x+2k\pi )\ =\ \sin x}
cos
(
x
+
2
k
π
)
=
cos
x
{\displaystyle \cos(x+2k\pi )\ =\ \cos x}
Des Weiteren gilt:
cos
(
x
)
=
sin
(
x
−
π
2
)
{\displaystyle \cos(x)\ =\ \sin(x-{\frac {\pi }{2}})}
Definition:
sin
x
=
ℑ
(
e
i
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin x=\Im \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
cos
x
=
ℜ
(
e
i
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
{\displaystyle \cos x=\Re \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}
e
i
x
=
ℜ
(
e
i
x
)
+
ℑ
(
e
i
x
)
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\Re \left(e^{ix}\right)+\Im \left(e^{ix}\right)=\cos x+i\sin x}
Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}
ableiten.
Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:
e
i
x
e
−
i
x
=
e
i
x
−
i
x
=
1
{\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ e^{ix-ix}\ =\ 1}
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}\ =\ \cos x+i\sin x}
e
−
i
x
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle e^{-ix}\ =\ \cos x-i\sin x}
e
i
x
e
−
i
x
=
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle e^{ix}e^{-ix}\ =\ \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\ =\ 1}
Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass
|
sin
x
|
≤
1
{\displaystyle |\sin x|\ \leq 1}
|
cos
x
|
≤
1
{\displaystyle |\cos x|\ \leq 1}
sein muss.
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin \left(x\pm y\right)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y}
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos \left(x\pm y\right)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}
sin
x
+
sin
y
=
2
sin
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
+
cos
y
=
2
cos
x
+
y
2
cos
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}}
sin
x
−
sin
y
=
2
cos
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}
cos
x
−
cos
y
=
−
2
sin
x
+
y
2
sin
x
−
y
2
{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}
Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen
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![{\displaystyle r={\frac {p}{q}}:\;a^{r}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8140d36f81620b0281be3962028d3f6af972574f)
