Ing Mathematik: Integralrechnung

Wir wollen das Integral nur grob und näherungsweise definieren:

$\int _{x_{1}}^{x_{n}}f(x)\mathrm {d} x:\approx \sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\cdot f(x_{k})$

Wie man sieht hat jedes Integral einen Intergranden. Dieser ist eine Funktion und wird hier mit $f(x)$ bezeichnet. Ferner hat jedes Integral zwei Grenzen. Diese sind Zahlen im Definitionsbereich von $f$ und werden hier mit $x_{1}$ und $x_{n}$ bezeichnet. Auf der rechten Seite steht eine Summe. Dort treten noch $n-2$ weitere Zahlen $x_{k}$ auf. Diese sollen gleichmäßig zwischen $x_{1}$ und $x_{n}$ verteilt sein:

$x_{k}=x_{0}+k{\frac {x_{n}-x_{0}}{n}}$

Die Summe läuft über viele Produkte. Der erste Faktor ist jeweils der Abstand zweier Stützstellen. Und der zweite der Wert den die Funktion an dieser Stützstelle hat. Ihr Produkt ist gleich der Fläche eines Rechtecks mit diesen beiden Größen als Seitenlängen. Die es werden also Flächen aufsummiert Das Integral hat daher anschauliche Bedeutung der Fläche die eine Funktion mit der x-Achse einschließt.

In unserer Definition ergibt sich diese Aussage nur ungefähr. Jedoch kann man sich leicht vorstellen das sich die Summe immer mehr der Fläche unter der Funktion annähert je feiner man die Unterteilung wählt. In der Mathematik kann man dies für hinreichend gutmütige Funktionen sogar exakt beweisen.

Das Intergral so wie wir es hier gesehen haben wird auch bestimmtes Integral genannt. Lässt man die obere Integrationsgrenze Variabel so erhält man das unbestimmte Integral.

$F_{a}(z):=\int _{a}^{z}f(x)\mathrm {d} x$

Das unbestimmte Integral $F_{a}$ ist im Gegensatz zum bestimmten Integral keine Zahl sondern eine Funktion. Diese hängt von einer Variablen (hier mit $z$ bezeichnet) ab. Der Wert der Funktion an der Stelle $z$ hängt laut dieser Definition von $a$ ab. Für unterschiedliche Werte von $a$ ergeben sich also unterschiedliche Funktionen. Man kann jedoch zeigen, dass sich diese nur um eine additive Konstante unterscheiden, die nicht von $z$ abhängt:

$F_{a_{1}}(z)=F_{a_{2}}(z)+k_{a_{1},a_{2}}$

Die Funktionen $F_{a_{i}}(z)$ haben für unterschiedliches $a_{i}$ den selben Verlauf, sie sind nur um eine Konstante nach oben bzw. nach unten verschoben. Man nennt sowohl $F_{a_{1}}(z)$ als auch $F_{a_{2}}(z)$ Stammfunktion von $f$. Die Stammfunktion von $f$ ist also nur bis auf eine additive Konstante definiert. Es gibt viele Stammfunktionen von $f$ die sich alle nur um eine additive Konstante unterscheiden. Jede dieser Stammfunktionen bezeichnet man mit $F$. Man schreibt auch:

$\int f(x)\mathrm {d} x:=F$

Und spricht dann vom unbestimmten Integral der Funktion $f$. Wobei man immer im Kopf haben sollte das diese Definition nur bis auf eine additive Konstante genau ist weswegen man auch manchmal schreibt.

$\int f(x)\mathrm {d} x=F+c$

$F$ ist eine Funktion. Diese hängt von einer Variablen ab. Wir haben diese bislang mit $z$ bezeichnet und $F(z)$ geschrieben. Im Folgenden wollen wir der üblichen Konvention folgen und sie $x$ nennen und somit $F(x)$ schreiben. Eine wichtige Eigenschaft der Stammfunktion ist der

Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x)=f(x)$