Formelsammlung Mathematik: Vektorrechnung

Formelsammlung Mathematik

KoordinatenraumBearbeiten

StandardbasisBearbeiten

Standardbasis
In der Ebene  
Im Raum  

Jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren der Standardbasis darstellen:

In der Ebene  
Im Raum  

OperationenBearbeiten

Addition und SubtraktionBearbeiten

 
Geometrische Konstruktion der Addition von zwei Vektoren.
Addition Subtraktion
In der Ebene    
Im Raum    

Rechenregeln für  :

Regel Bezeichnung
  Kommutativgesetz
  Assoziativgesetz
Eigenschaften In Worten
  Der Nullvektor ist das neutrale Element der Addition.
  Die Addition des additiv inversen Vektors zu   ist das Gleiche wie die Subtraktion von  .
  Die Addition des additiv inversen Vektors ergibt den Nullvektor.

SkalarmultiplikationBearbeiten

Skalarmultiplikation
In der Ebene  
Im Raum  

Rechenregeln für   und  :

Regel Bezeichnung
  Distributivgesetz (Additivität)
  Distributivgesetz
  Assoziativgesetz
Eigenschaften In Worten
  Multiplikation mit eins bewirkt nichts.
  Multiplikation mit null ergibt den Nullvektor.
  Multiplikation mit −1 ergibt den additiv inversen Vektor, der genau in die entgegengesetzte Richtung zeigt.
  Addition mit sich selbst ergibt eine Multiplikation mit einer natürlichen Zahl.
 
usw.

SkalarproduktBearbeiten

Skalarprodukt
In der Ebene  
Im Raum  

Rechenregeln für   und  :

 ,
 ,
 ,
 .

Die folgende Eigenschaft ist definierend für das Skalarprodukt:

 

BetragBearbeiten

Betrag eines Vektors
In der Ebene  
Im Raum  
Einheitsvektor in Richtung von  
In der Ebene  
Im Raum  

Äußeres ProduktBearbeiten

In der Ebene
 
Im Raum
 
 

Rechenregeln für   und  :

Regel Bezeichnung
  Additivität
  Additivität
  Homogenität
  Antikommutativgesetz
  Assoziativgesetz
Eigenschaft
 
 
Kriterium für lineare Abhängigkeit

Für zwei Vektoren gilt:

  genau dann, wenn   und   kollinear sind.

Für drei Vektoren gilt:

  genau dann, wenn   komplanar sind.

Im   gilt dabei:

  genau dann, wenn  
Definition. Skalarprodukt von Bivektor-Produkten
In der Ebene  
Im Raum  
Allgemein  

Betrag:

 

Für den Betrag gilt:

 

Cauchy-Binet-Identität:

 

Lagrange-Identität:

 

Im Gegensatz zum Vektorprodukt gelten die Regeln für  , auch wenn n≠3.

VektorproduktBearbeiten

Vektorprodukt
(In der Ebene)  
Im Raum  

Rechenregeln für   und  :

 ,
 ,
 ,
 ,
 .

Für den Betrag gilt:

 

Beziehung zur Determinante:

 

Jacobi-Identität:

 

Graßmann-Identität:

 

Cauchy-Binet-Identität:

 

Lagrange-Identität:

 

TensorproduktBearbeiten

Tensorprodukt
In der Ebene  
Im Raum  

Rechenregeln für   und  :

Regel Bezeichnung
  Additivität (Distributivgesetz)
  Additivität (Distributivgesetz)
  Homogenität (Assoziativgesetz)

Lineare AbbildungenBearbeiten

Matrizen
Endomorphismus
In der Ebene  
Im Raum  
Endomorphismus Matrix Resultat Inverse Eigenwerte
Identität     E−1 = E +1, +1
Skalierung       rr
Skalierung der x-Achse       r, 1
Skalierung der y-Achse       r, 1
Spiegelung an der x-Achse       ±1
Spiegelung an der y-Achse       ±1
Spiegelung an der Achse des Vektors v=(ab)       ±1
Spiegelung am Ursprung       −1, −1
Projektion auf die x-Achse     nicht vorhanden 0, +1
Projektion auf die y-Achse     nicht vorhanden 0, +1
Projektion auf die Achse des Vektors v=(ab)     nicht vorhanden 0, +1
Scherung an der x-Achse       +1, +1
Scherung an der y-Achse       +1, +1
Rotation um φ gegen den Uhrzeigersinn       cos(φ)±isin(φ)
Rotation um φ im Uhrzeigersinn       cos(φ)±isin(φ)
Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn       ±i
Rotation um 90° im Uhrzeigersinn       ±i
Entspricht der komplexen Zahl a+bi       a±bi
Entspricht der komplexen Zahl r⋅eiφ       rcos(φ)±irsin(φ)
Allgemeiner Endomorphismus       (a+d)/2±

((ad)2/4+bc)1/2

Beliebige BasisvektorenBearbeiten

SkalarproduktBearbeiten

Skalarprodukte

Bei einer Darstellung der Vektoren bezüglich belibigen Basisvektoren   müssen die Skalarprodukte der Basisvektoren mit in die Formel einbezogen werden. Man berechnet zunächst die Matrix:

Metrischer Tensor
In der Ebene  
Im Raum  
Skalarprodukt
In der Ebene,

 ,
 

 
Im Raum,

 ,