Endomorphismus
Matrix
Resultat
Inverse
Eigenwerte
Identität
E = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle E={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
E [ x y ] = [ x y ] {\displaystyle E{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
E −1 = E
+1, +1
Skalierung
r E = [ r 0 0 r ] {\displaystyle rE={\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}}}
r E [ x y ] = r [ x y ] = [ r x r y ] {\displaystyle rE{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=r{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}rx\\ry\end{bmatrix}}}
( r E ) − 1 = [ 1 / r 0 0 1 / r ] {\displaystyle (rE)^{-1}={\begin{bmatrix}1/r&0\\0&1/r\end{bmatrix}}}
r , r
Skalierung der x -Achse
V x = [ r 0 0 1 ] {\displaystyle V_{x}={\begin{bmatrix}r&0\\0&1\end{bmatrix}}}
V x [ x y ] = [ r x y ] {\displaystyle V_{x}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}rx\\y\end{bmatrix}}}
V x − 1 = [ 1 / r 0 0 1 ] {\displaystyle V_{x}^{-1}={\begin{bmatrix}1/r&0\\0&1\end{bmatrix}}}
r , 1
Skalierung der y -Achse
V y = [ 1 0 0 r ] {\displaystyle V_{y}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r\end{bmatrix}}}
V y [ x y ] = [ x r y ] {\displaystyle V_{y}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\ry\end{bmatrix}}}
V y − 1 = [ 1 0 0 1 / r ] {\displaystyle V_{y}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1/r\end{bmatrix}}}
r , 1
Spiegelung an der x -Achse
S x = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle S_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
S x [ x y ] = [ x − y ] {\displaystyle S_{x}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\-y\end{bmatrix}}}
S x − 1 = S x {\displaystyle S_{x}^{-1}=S_{x}}
±1
Spiegelung an der y -Achse
S y = [ − 1 0 0 1 ] {\displaystyle S_{y}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}}
S y [ x y ] = [ − x y ] {\displaystyle S_{y}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-x\\y\end{bmatrix}}}
S y − 1 = S y {\displaystyle S_{y}^{-1}=S_{y}}
±1
Spiegelung an der Achse des Vektors v =(a , b )
S ( v → ) = 1 a 2 + b 2 [ a 2 − b 2 2 a b 2 a b b 2 − a 2 ] {\displaystyle S({\vec {v}})={\frac {1}{a^{2}{+}b^{2}}}{\begin{bmatrix}a^{2}{-}b^{2}&2ab\\2ab&b^{2}{-}a^{2}\end{bmatrix}}}
S ( v → ) [ x y ] = 1 a 2 + b 2 [ ( a 2 − b 2 ) x + 2 a b y 2 a b x − ( a 2 − b 2 ) y ] {\displaystyle S({\vec {v}}){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{a^{2}{+}b^{2}}}{\begin{bmatrix}(a^{2}{-}b^{2})x{+}2aby\\2abx{-}(a^{2}{-}b^{2})y\end{bmatrix}}}
S ( v → ) − 1 = S ( v → ) {\displaystyle S({\vec {v}})^{-1}=S({\vec {v}})}
±1
Spiegelung am Ursprung
S 0 = [ − 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle S_{0}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}
S 0 [ x y ] = [ − x − y ] {\displaystyle S_{0}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-x\\-y\end{bmatrix}}}
S 0 − 1 = S 0 {\displaystyle S_{0}^{-1}=S_{0}}
−1, −1
Projektion auf die x -Achse
P x = [ 1 0 0 0 ] {\displaystyle P_{x}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}
P x [ x y ] = [ x 0 ] {\displaystyle P_{x}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\0\end{bmatrix}}}
nicht vorhanden
0, +1
Projektion auf die y -Achse
P y = [ 0 0 0 1 ] {\displaystyle P_{y}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}}
P y [ x y ] = [ 0 y ] {\displaystyle P_{y}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\y\end{bmatrix}}}
nicht vorhanden
0, +1
Projektion auf die Achse des Vektors v =(a , b )
P ( v → ) = 1 a 2 + b 2 [ a 2 a b a b b 2 ] {\displaystyle P({\vec {v}})={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{bmatrix}a^{2}&ab\\ab&b^{2}\end{bmatrix}}}
P ( v → ) [ x y ] = 1 a 2 + b 2 [ a 2 x + a b y a b x + b 2 y ] {\displaystyle P({\vec {v}}){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{bmatrix}a^{2}x+aby\\abx+b^{2}y\end{bmatrix}}}
nicht vorhanden
0, +1
Scherung an der x -Achse
M x = [ 1 m 0 1 ] {\displaystyle M_{x}={\begin{bmatrix}1&m\\0&1\end{bmatrix}}}
M x [ x y ] = [ x + m y y ] {\displaystyle M_{x}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x+my\\y\end{bmatrix}}}
M x − 1 = [ 1 − m 0 1 ] {\displaystyle M_{x}^{-1}={\begin{bmatrix}1&-m\\0&1\end{bmatrix}}}
+1, +1
Scherung an der y -Achse
M y = [ 1 0 m 1 ] {\displaystyle M_{y}={\begin{bmatrix}1&0\\m&1\end{bmatrix}}}
M y [ x y ] = [ x m x + y ] {\displaystyle M_{y}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\mx+y\end{bmatrix}}}
M y − 1 = [ 1 0 − m 1 ] {\displaystyle M_{y}^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-m&1\end{bmatrix}}}
+1, +1
Rotation um φ gegen den Uhrzeigersinn
R ( φ ) = [ cos φ − sin φ sin φ cos φ ] {\displaystyle R(\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}}
R ( φ ) [ x y ] = [ ( cos φ ) x − ( sin φ ) y ( sin φ ) x + ( cos φ ) y ] {\displaystyle R(\varphi ){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(\cos \varphi )x-(\sin \varphi )y\\(\sin \varphi )x+(\cos \varphi )y\end{bmatrix}}}
R ( φ ) − 1 = R ( φ ) T = R ( − φ ) {\displaystyle R(\varphi )^{-1}=R(\varphi )^{T}=R(-\varphi )}
cos(φ )±isin(φ )
Rotation um φ im Uhrzeigersinn
R ( − φ ) = [ cos φ sin φ − sin φ cos φ ] {\displaystyle R(-\varphi )={\begin{bmatrix}\cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}}
R ( − φ ) [ x y ] = [ ( cos φ ) x + ( sin φ ) y − ( sin φ ) x + ( cos φ ) y ] {\displaystyle R(-\varphi ){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(\cos \varphi )x+(\sin \varphi )y\\-(\sin \varphi )x+(\cos \varphi )y\end{bmatrix}}}
R ( − φ ) − 1 = R ( − φ ) T = R ( φ ) {\displaystyle R(-\varphi )^{-1}=R(-\varphi )^{T}=R(\varphi )}
cos(φ )±isin(φ )
Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn
R ( π 4 ) = [ 0 − 1 1 0 ] {\displaystyle R({\tfrac {\pi }{4}})={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}}
R ( π 4 ) [ x y ] = [ − y x ] {\displaystyle R({\tfrac {\pi }{4}}){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-y\\x\end{bmatrix}}}
R ( π 4 ) − 1 = R ( − π 4 ) {\displaystyle R({\tfrac {\pi }{4}})^{-1}=R(-{\tfrac {\pi }{4}})}
±i
Rotation um 90° im Uhrzeigersinn
R ( − π 4 ) = [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle R(-{\tfrac {\pi }{4}})={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}
R ( − π 4 ) [ x y ] = [ y − x ] {\displaystyle R(-{\tfrac {\pi }{4}}){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\-x\end{bmatrix}}}
R ( − π 4 ) − 1 = R ( π 4 ) {\displaystyle R(-{\tfrac {\pi }{4}})^{-1}=R({\tfrac {\pi }{4}})}
±i
Entspricht der komplexen Zahl a +b i
Z = [ a − b b a ] {\displaystyle Z={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}}
Z [ x y ] = [ a x − b y b x + a y ] {\displaystyle Z{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax-by\\bx+ay\end{bmatrix}}}
Z − 1 = 1 a 2 + b 2 [ a b − b a ] {\displaystyle Z^{-1}={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}{\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}}
a ±b i
Entspricht der komplexen Zahl r ⋅eiφ
Z = r [ cos φ − sin φ sin φ cos φ ] {\displaystyle Z=r{\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}}
Z [ x y ] = r R ( φ ) [ x y ] {\displaystyle Z{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=rR(\varphi ){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}
Z − 1 = 1 r R ( − φ ) {\displaystyle Z^{-1}={\frac {1}{r}}R(-\varphi )}
r cos(φ )±ir sin(φ )
Allgemeiner Endomorphismus
A = [ a b c d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}
A [ x y ] = [ a x + b y c x + d y ] {\displaystyle A{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax+by\\cx+dy\end{bmatrix}}}
A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}
(a +d )/2±((a −d )2 /4+b c )1/2