Formelsammlung Mathematik: Matrizen

Formelsammlung Mathematik

GrundlagenBearbeiten

MultiplikationBearbeiten

Sei   das Produkt der Matrizen   vom Typ   und   vom Typ  . Das Produkt ist vom Typ   und wird definiert durch

 
  • die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ
  •   (Assoziativgesetz)
  •   (Rechts-Distributivgesetz)
  •   (Links-Distributivgesetz)

Sei   ein Skalar. Sei   die Einheitsmatrix.

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DeterminantenBearbeiten

Seien   vom Typ  .

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Inverse MatrixBearbeiten

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Transponierte MatrixBearbeiten

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Adjungierte MatrixBearbeiten

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KonjugationBearbeiten

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RotationsmatrizenBearbeiten

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Sei   Der Vektor   wird mit   gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Der neue Vektor   ist gegeben durch  .

Diagonale MatrizenBearbeiten

 

 

usw.

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StreichungsmatrizenBearbeiten

Sei   die Matrix, welche sich ergibt, wenn man von der Matrix   die Zeile   und die Spalte   entfernt. Diese Matrix wird als Streichungsmatrix bezeichnet.

Die Zahlen   werden als Minoren der Matrix   bezeichnet.

Die Kofaktoren von   sind definiert durch

 

Die Matrix   mit   wird als Kofaktormatrix der Matrix   bezeichnet.

Die Adjunkte von   ist definiert durch

 

Es gilt

 

Laplacescher Entwicklungssatz:

 ,
 .

Lineare AbbildungenBearbeiten

BasismatrixBearbeiten

Definition. Basismatrix.

Sei   eine Basis von  , dem zweidimensionalen Koordinatenraum über dem Körper  .

Das Tupel   lässt sich nun als Matrix   betrachten:

 

Die Matrix   nennt man Basismatrix bezüglich der Basis  .

Für den   ist die Definition analog.

DarstellungsmatrixBearbeiten

Definition. Darstellungsmatrix.

Sei   eine Basis von   und   eine Basis von  . Sei   eine lineare Abbildung.

Die Darstellungsmatrix   ist die Matrix, für die

 

gilt, wobei   und   die Koordinatendarstellungen der Vektoren   und   sind.

Die Abbildung

 

ist ein Isomorphismus zwischen  -Vektorräumen.

Somit gilt:

  1.  
  2.  
  3. Zu jeder linearen Abbildung gehört genau eine Darstellungsmatrix.
  4. Zu jeder Darstellungsmatrix gehört genau eine lineare Abbildung.
  5. Die Vektorräume   und   sind isomorph.
  6. Die Vektorräume   und   sind isomorph.
  7.   ist die Anzahl der Zeilen.
  8.   ist die Anzahl der Spalten.

TransformationsmatrixBearbeiten

Definition. Transformationsmatrix.

Sind   und   Basen von  , so bezeichnet man

 

als Transformationsmatrix.

Eine Transformationsmatrix ist immer invertierbar und es gilt:

 

Werden die Basen   und   durch Basismatrizen dargestellt, so gilt:

 

Kürzungsregel:

 

BasiswechselBearbeiten

Seien   und   Basen von   und   ein Vektor. Ist   die Koordinatendarstellung von   bezüglich  , so gilt:

 

Ist   ein Endomorphismus, so gilt:

 

Seien   Basen von   und   Basen von  . Ist   eine lineare Abbildung, so gilt: