Formelsammlung Mathematik: Matrizen

↑ Formelsammlung Mathematik

Grundlagen

Multiplikation

Sei $C=AB$ das Produkt der Matrizen $A$ vom Typ $(m,n)$ und $B$ vom Typ $(n,p)$. Das Produkt ist vom Typ $(m,p)$ und wird definiert durch

$c_{ij}:=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}.$

• die Multiplikation von Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ
• $(AB)C=A(BC)$ (Assoziativgesetz)
• $C(A+B)=CA+CB$ (Rechts-Distributivgesetz)
• $(A+B)C=AC+BC$ (Links-Distributivgesetz)

Sei $r$ ein Skalar. Sei $E$ die Einheitsmatrix.

• $rA=Ar$
• $r(AB)=(rA)B=A(rB)$
• $AE=EA=A$

Determinanten

Seien $A,B$ vom Typ $(n,n)$.

• $\det(rA)=r^{n}\det(A)$
• $\det(AB)=\det(A)\det(B)$
• $\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}$

Inverse Matrix

• $A^{-1}A=AA^{-1}=E$
• $(A^{-1})^{-1}=A$
• $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}$

Transponierte Matrix

• $(a_{ij})^{T}:=(a_{ji})$
• $(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
• $(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$
• $(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$
• $(rA)^{T}=rA^{T}$
• $\det(A^{T})=\det(A)$

Adjungierte Matrix

• $(a_{ij})^{H}:=({\overline {a}}_{ji})$
• $(A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}$
• $(AB)^{H}=B^{H}A^{H}$
• $(A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}$
• $(rA)^{H}={\overline {r}}A^{H}$
• $\det(A^{H})={\overline {\det(A)}}$

Konjugation

• ${\overline {A}}:=({\overline {a}}_{ij})$
• ${\overline {A+B}}={\overline {A}}+{\overline {B}}$
• ${\overline {AB}}=({\overline {A}})({\overline {B}})$
• $\det({\overline {A}})={\overline {\det(A)}}$
• $A^{H}=({\overline {A}})^{T}={\overline {(A^{T})}}$

Rotationsmatrizen

• $R^{T}R=RR^{T}=E$
• $R^{-1}=R^{T}$
• $\det(R)=1$

Sei $R(\varphi ):={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{bmatrix}}.$ Der Vektor $v$ wird mit $R$ gegen den Uhrzeigersinn gedreht. Der neue Vektor $v'$ ist gegeben durch $v'=Rv$.

Diagonale Matrizen

$\mathrm {diag} (d_{1},d_{2}):={\begin{bmatrix}d_{1}&0\\0&d_{2}\end{bmatrix}}$

$\mathrm {diag} (d_{1},d_{2},d_{3}):={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0\\0&d_{2}&0\\0&0&d_{3}\end{bmatrix}}$

usw.

• $\mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})^{-1}=\mathrm {diag} (d_{1}^{-1},\ldots ,d_{n}^{-1})$
• $\mathrm {diag} (d_{1},\ldots ,d_{n})^{r}=\mathrm {diag} (d_{1}^{r},\ldots ,d_{n}^{r})$

Streichungsmatrizen

Sei $[A]_{ij}$ die Matrix, welche sich ergibt, wenn man von der Matrix $A$ die Zeile $i$ und die Spalte $j$ entfernt. Diese Matrix wird als Streichungsmatrix bezeichnet.

Die Zahlen $M_{ij}:=\det([A]_{ij})$ werden als Minoren der Matrix $A$ bezeichnet.

Die Kofaktoren von $A$ sind definiert durch

$\mathrm {cof} (A,i,j):=(-1)^{i+j}\det([A]_{ij}).$

Die Matrix $\mathrm {cof} (A)=(c_{ij})$ mit $c_{ij}=\mathrm {cof} (A,i,j)$ wird als Kofaktormatrix der Matrix $A$ bezeichnet.

Die Adjunkte von $A$ ist definiert durch

$\mathrm {adj} (A):=\mathrm {cof} (A)^{T}.$

Es gilt

$A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\mathrm {adj} (A).$

Laplacescher Entwicklungssatz:

$\mathrm {det} (A)=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}\mathrm {cof} (A,k,j)$,

$\mathrm {det} (A)=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}\mathrm {cof} (A,i,k)$.

Lineare Abbildungen

Basismatrix

Definition. Basismatrix.

Sei $B=(b_{1},b_{2})$ eine Basis von $K^{2}$, dem zweidimensionalen Koordinatenraum über dem Körper $K$.

Das Tupel $B\in (K^{2})^{2}$ lässt sich nun als Matrix $B\in K^{2\times 2}$ betrachten:

$B=(b_{1},b_{2})=({\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}b_{12}\\b_{22}\end{bmatrix}}){\hat {=}}{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}.$

Die Matrix $B$ nennt man Basismatrix bezüglich der Basis $B$.

Für den $K^{n}$ ist die Definition analog.

Darstellungsmatrix

Definition. Darstellungsmatrix.

Sei $A$ eine Basis von $V$ und $B$ eine Basis von $W$. Sei $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung.

Die Darstellungsmatrix $M_{B}^{A}(f)$ ist die Matrix, für die

$\forall v[w=f(v)\iff w_{B}=M_{B}^{A}(f)\,v_{A}]$

gilt, wobei $v_{A}$ und $w_{B}$ die Koordinatendarstellungen der Vektoren $v$ und $w$ sind.

Die Abbildung

$M_{B}^{A}\colon \,\operatorname {Hom} (V,W)\to K^{m\times n},\quad f\mapsto M_{B}^{A}(f)$

ist ein Isomorphismus zwischen $K$-Vektorräumen.

Somit gilt:

1. $M_{B}^{A}(f+g)=M_{B}^{A}(f)+M_{B}^{A}(g).$
2. $M_{B}^{A}(\lambda f)=\lambda M_{B}^{A}(f).\quad (\lambda \in K)$
3. Zu jeder linearen Abbildung gehört genau eine Darstellungsmatrix.
4. Zu jeder Darstellungsmatrix gehört genau eine lineare Abbildung.
5. Die Vektorräume $\operatorname {Hom} (V,W)$ und $K^{m\times n}$ sind isomorph.
6. Die Vektorräume $\operatorname {Hom} (K^{n},K^{m})$ und $K^{m\times n}$ sind isomorph.
7. $m=\operatorname {dim} (W)$ ist die Anzahl der Zeilen.
8. $n=\operatorname {dim} (V)$ ist die Anzahl der Spalten.

Transformationsmatrix

Definition. Transformationsmatrix.

Sind $B$ und $B'$ Basen von $V$, so bezeichnet man

$T_{B'}^{B}:=M_{B'}^{B}(\operatorname {id} )$

als Transformationsmatrix.

Eine Transformationsmatrix ist immer invertierbar und es gilt:

$T_{B'}^{B}=(T_{B}^{B'})^{-1}.$

Werden die Basen $B$ und $B'$ durch Basismatrizen dargestellt, so gilt:

$T_{B'}^{B}=(B')^{-1}B.$

Kürzungsregel:

$T_{B''}^{B'}T_{B'}^{B}=T_{B''}^{B}.$

Basiswechsel

Seien $B$ und $B'$ Basen von $V$ und $v\in V$ ein Vektor. Ist $v_{B}$ die Koordinatendarstellung von $v$ bezüglich $B$, so gilt:

$v_{B'}=T_{B'}^{B}v_{B}.$

Ist $f\colon V\to V$ ein Endomorphismus, so gilt:

$M_{B'}^{B'}(f)=T_{B'}^{B}\,M_{B}^{B}(f)\,T_{B}^{B'}.$

Seien $A,A'$ Basen von $V$ und $B,B'$ Basen von $W$. Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung, so gilt:

$M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^{B}\,M_{B}^{A}(f)\,T_{A'}^{A}.$