Formelsammlung Mathematik: Skalarprodukte

Formelsammlung Mathematik

DefinitionBearbeiten

Reelles SkalarproduktBearbeiten

Definition. Bilineare Abbildung.

Eine Abbildung   heißt bilinear, wenn folgende Axiome für beliebige Argumente erfüllt sind:

  1.   (additiv im ersten Argument),
  2.   (additiv im zweiten Argument),
  3.   (homogen im ersten Argument),
  4.   (homogen im zweiten Argument).

Definition. Skalarprodukt.

Eine bilineare Abbildung   heißt Skalarprodukt, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1.   (symmetrisch),
  2.   für   (positiv definit).

Komplexes SkalarproduktBearbeiten

Definition. Sesquilinearform.

Eine Abbildung   heißt Sesquilinearform, wenn gilt:

  1.   (additiv im ersten Argument),
  2.   (additiv im zweiten Argument),
  3.   (konjugiert homogen im ersten Argument),
  4.   (homogen im zweiten Argument).

Definition. Skalarprodukt.

Eine Sesquilinearform   heißt Skalarprodukt, wenn gilt:

  1.   (hermitisch),
  2.   für   (positiv definit).

EigenschaftenBearbeiten

Es gilt:

 
 

Ein Skalarprodukt   induziert die Norm

 

WinkelBearbeiten

In einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt wird durch die Gleichung

 

der Winkel   definiert.

Definition. Orthogonalität.

 

KoordinatendarstellungBearbeiten

Sei   eine Basis eines reellen Vektorraums und sei

 

Sind die Skalarprodukte

 

gegeben, so kann das Skalarprodukt von beliebigen Vektoren nach der Formel

(1)   

berechnet werden. Die Zahlen   lassen sich zu einer Matrix   zusammenfassen. Außerdem lassen sich die Koordinaten   und   zu Tupeln   und   zusammenfassen. Nun kann Formel (1) in der Form

(2)   

formuliert werden, wobei mit den rechten Skalarprodukten das Standardskalarprodukt gemeint ist. Der letzte Ausdruck der Gleichungskette ist gültig, wenn man die Koordinatentupel   nicht als Elemente von   betrachtet, sondern als Spaltenvektoren, d. h. als Elemente aus  .

Die Matrix   ist immer symmetrisch und positiv definit, d. h. es gilt:

  •  ,
  • ist   ein Eigenwert von  , so gilt  .

Ist umgekehrt   eine positiv definite symmetrische Matrix, so ist

 

ein Skalarprodukt.

Ein Skalarprodukt lässt sich auch als konstanter metrischer Tensor interpretieren, und dann ist   die Koordinatendarstellung dieses Tensors. Das heißt: für

 

gilt:

 

Berechnet wird   durch Tensormultiplikation und anschließender Tensorkontraktion mit dualer Paarung  , was aber wieder in Formel (1) bzw. (2) resultiert.

Wichtig ist, dass Koordinatendarstellungen immer nur bezüglich einer bestimmten Basis gültig sind und beim Basiswechsel umgerechnet werden müssen.

OrthogonalbasenBearbeiten

Definition. Orthogonalbasis.

Eine Basis   heißt Orthogonalbasis, wenn gilt:

 

Sei   eine Orthogonalbasis und sei

 

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthogonalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt Komplexes Skalarprodukt
   

Außerdem gilt:

 

Für die Norm gilt:

 

OrthonormalbasenBearbeiten

Definition. Orthonormalbasis.

Eine Basis   heißt Orthonormalbasis, wenn gilt:

 

mit

 

Sei   eine Orthonormalbasis und sei

 

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt Komplexes Skalarprodukt
   

Außerdem gilt:

 

Für die Norm gilt:

 

Orthogonale ProjektionBearbeiten

Definition. Orthogonale Projektion.

Orthogonale Projektion von   auf  :

 

Kurzschreibweisen sind   und  .

Gram-Schmidt-VerfahrenBearbeiten

Für linear unabhängige Vektoren   wird durch

 

ein Orthogonalsystem   berechnet.

Speziell für zwei nicht kollineare Vektoren   gilt: