Formelsammlung Mathematik: Skalarprodukte

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Definition

Reelles Skalarprodukt

Definition. Bilineare Abbildung.

Eine Abbildung $f\colon V\times W\to U$ heißt bilinear, wenn folgende Axiome für beliebige Argumente erfüllt sind:

1. $f(v_{1}+v_{2},w)=f(v_{1},w)+f(v_{2},w)$ (additiv im ersten Argument),
2. $f(v,w_{1}+w_{2})=f(v,w_{1})+f(v,w_{2})$ (additiv im zweiten Argument),
3. $f(\lambda v,w)=\lambda f(v,w)$ (homogen im ersten Argument),
4. $f(v,\lambda w)=\lambda f(v,w)$ (homogen im zweiten Argument).

Definition. Skalarprodukt.

Eine bilineare Abbildung $f(v,w)=\langle v,w\rangle ,\,f\colon V\times V\to \mathbb {R}$ heißt Skalarprodukt, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. $\langle v,w\rangle =\langle w,v\rangle$ (symmetrisch),
2. $\langle v,w\rangle >0$ für $v\neq 0$ (positiv definit).

Komplexes Skalarprodukt

Definition. Sesquilinearform.

Eine Abbildung $f\colon V\times V\to \mathbb {C}$ heißt Sesquilinearform, wenn gilt:

1. $f(v_{1}+v_{2},w)=f(v_{1},w)+f(v_{2},w)$ (additiv im ersten Argument),
2. $f(v,w_{1}+w_{2})=f(v,w_{1})+f(v,w_{2})$ (additiv im zweiten Argument),
3. $f(\lambda v,w)={\overline {\lambda }}f(v,w)$ (konjugiert homogen im ersten Argument),
4. $f(v,\lambda w)=\lambda f(v,w)$ (homogen im zweiten Argument).

Definition. Skalarprodukt.

Eine Sesquilinearform $f(v,w)=\langle v,w\rangle ,\,f\colon V\times V\to \mathbb {C}$ heißt Skalarprodukt, wenn gilt:

1. $\langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}$ (hermitisch),
2. $\langle v,v\rangle >0$ für $v\neq 0$ (positiv definit).

Eigenschaften

Es gilt:

$\langle v,v\rangle \geq 0,$

$\langle v,v\rangle =0\iff v=0.$

Ein Skalarprodukt $\langle v,w\rangle$ induziert die Norm

$\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}.$

Winkel

In einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt wird durch die Gleichung

$\langle v,w\rangle =\|v\|\cdot \|w\|\cdot \cos \varphi$

der Winkel $\varphi =\angle (v,w)$ definiert.

Definition. Orthogonalität.

$v\perp w\;:\Longleftrightarrow \;\langle v,w\rangle =0.$

Koordinatendarstellung

Sei $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ eine Basis eines reellen Vektorraums und sei

$\textstyle v:=\sum _{k=1}^{n}v^{k}b_{k},\quad w:=\sum _{k=1}^{n}w^{k}b_{k}.$

Sind die Skalarprodukte

$g_{ij}:=\langle b_{i},b_{j}\rangle$

gegeben, so kann das Skalarprodukt von beliebigen Vektoren nach der Formel

(1)  $\langle v,w\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}v^{i}w^{j}$

berechnet werden. Die Zahlen $g_{ij}$ lassen sich zu einer Matrix $G=(g_{ij})$ zusammenfassen. Außerdem lassen sich die Koordinaten $v^{k}$ und $w^{k}$ zu Tupeln $x:=(v^{k})$ und $y:=(w^{k})$ zusammenfassen. Nun kann Formel (1) in der Form

(2)  $\langle v,w\rangle =\langle Gx,y\rangle =\langle x,Gy\rangle =x^{T}G\,y,$

formuliert werden, wobei mit den rechten Skalarprodukten das Standardskalarprodukt gemeint ist. Der letzte Ausdruck der Gleichungskette ist gültig, wenn man die Koordinatentupel $x,y$ nicht als Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$ betrachtet, sondern als Spaltenvektoren, d. h. als Elemente aus $\mathbb {R} ^{n\times 1}$.

Die Matrix $G$ ist immer symmetrisch und positiv definit, d. h. es gilt:

• $g_{ij}=g_{ji}$,
• ist $\lambda$ ein Eigenwert von $G$, so gilt $\lambda >0$.

Ist umgekehrt $G$ eine positiv definite symmetrische Matrix, so ist

$f(x,y):=\langle Gx,y\rangle ,\;f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

ein Skalarprodukt.

Ein Skalarprodukt lässt sich auch als konstanter metrischer Tensor interpretieren, und dann ist $g_{ij}$ die Koordinatendarstellung dieses Tensors. Das heißt: für

$g:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}b^{i}\otimes b^{j}$

gilt:

$\langle v,w\rangle =g(v,w).$

Berechnet wird $g(v,w)$ durch Tensormultiplikation und anschließender Tensorkontraktion mit dualer Paarung $b^{i}(b_{j})=\delta _{ij}$, was aber wieder in Formel (1) bzw. (2) resultiert.

Wichtig ist, dass Koordinatendarstellungen immer nur bezüglich einer bestimmten Basis gültig sind und beim Basiswechsel umgerechnet werden müssen.

Orthogonalbasen

Definition. Orthogonalbasis.

Eine Basis $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ heißt Orthogonalbasis, wenn gilt:

$i\neq j\implies \langle b_{i},b_{j}\rangle =0.$

Sei $B$ eine Orthogonalbasis und sei

$\textstyle v:=\sum _{k=1}^{n}v_{k}b_{k},\quad w:=\sum _{k=1}^{n}w_{k}b_{k}.$

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthogonalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt	Komplexes Skalarprodukt
$\langle v,w\rangle =\sum _{k=1}^{n}\langle b_{k},b_{k}\rangle \,v_{k}w_{k}$	$\langle v,w\rangle =\sum _{k=1}^{n}\langle b_{k},b_{k}\rangle \,{\overline {v_{k}}}w_{k}$

Außerdem gilt:

$v_{k}={\frac {\langle b_{k},v\rangle }{\langle b_{k},b_{k}\rangle }}.$

Für die Norm gilt:

$\|v\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|b_{k}\|^{2}|v_{k}|^{2}.$

Orthonormalbasen

Definition. Orthonormalbasis.

Eine Basis $B=(b_{1},\ldots ,b_{n})$ heißt Orthonormalbasis, wenn gilt:

$\langle b_{i},b_{j}\rangle =\delta _{ij}$

mit

$\delta _{ij}:={\begin{cases}1&{\text{wenn}}\;i=j,\\0&{\text{wenn}}\;i\neq j.\end{cases}}$

Sei $B=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ eine Orthonormalbasis und sei

$\textstyle v:=\sum _{k=1}^{n}v_{k}e_{k},\quad w:=\sum _{k=1}^{n}w_{k}e_{k}.$

Das Skalarprodukt lässt sich bei der Darstellung von Vektoren bezüglich einer Orthonormalbasis nach einer einfachen Formel berechnen:

Reelles Skalarprodukt	Komplexes Skalarprodukt
$\langle v,w\rangle =\sum _{k=1}^{n}v_{k}w_{k}$	$\langle v,w\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\overline {v_{k}}}w_{k}$

Außerdem gilt:

$v_{k}=\langle e_{k},v\rangle .$

Für die Norm gilt:

$\|v\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.$

Orthogonale Projektion

Definition. Orthogonale Projektion.

Orthogonale Projektion von $v$ auf $w$:

$P[w](v):={\frac {\langle v,w\rangle }{\langle v,v\rangle }}\,w.$

Kurzschreibweisen sind $P_{w}(v)$ und $v_{w}$.

Gram-Schmidt-Verfahren

Für linear unabhängige Vektoren $v_{1},\ldots ,v_{n}$ wird durch

$w_{k}:=v_{k}-\sum _{i=1}^{k-1}P[w_{i}](v_{k})$

ein Orthogonalsystem $w_{1},\ldots ,w_{n}$ berechnet.

Speziell für zwei nicht kollineare Vektoren $v_{1},v_{2}$ gilt:

$w_{1}:=v_{1},$

$w_{2}:=v_{2}-P[w_{1}](v_{2}).$