Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Logik und Aussagen

Notiz zu unentscheidbaren Aussagen

Ein Benutzer hat mich durch seinen Edit darauf aufmerksam gemacht, dass viele von mir als unentscheidbare Aussagen deklarierte Aussagen doch entscheidbar sind. Die Version mit seinen Edit findet ihr hier [1]. Ich habe nun den Abschnitt „Eindeutig entscheidbare Aussagen“ entfernt, da dieser IMHO für das Einführungskapitel zu weit geht. Vielleicht könnte man ja daraus in der Aufgabensammlung Mathematik eine Aufgabe erstellen. Grüße Stephan Kulla 23:44, 9. Jul. 2011 (CEST)

Nichtentscheidbare Aussagen

Ich habe die Aussage "Dieser Satz ist falsch" zunächst mißverstanden. Erst als ich den folgenden Hinweis las, dass der Satz rekursiv gemeint sei, hatte ich ihn im Sinne des Verfassers gelesen. Das Beispiel würde sofort verständlich sein, wenn man sagte: Der sich selbst referenzierende Satz: "Dieser Satz ist falsch"...

Dieser Satz ist weder falsch noch richtig, da er nix behauptet. Sätze können hinsichtlich grammatischer Regeln falsch sein. Ansonsten sind Sätze weder falsch noch richtig. Für sie gelten NUR die Regeln der Grammatik und Semantik. Verstößt ein Satz gegen die Regeln der Grammatik, kann er zwar noch eine sinnvolle Aussage beinhalten, wäre (grammatisch) aber falsch. Wird gegen die Regeln der Semantik verstoßen, wird der Satz sinnlos - ist dann weder falsch noch richtig. Beispiel: "Bundeskanzlerin Merkel ruft im Januar 2014 den allgemeinen Wohlstand aus." Da man einen Wohlstand nicht ausrufen kann (man kann ihn schaffen oder feststellen, beiseitigen oder ermöglichen, aber nicht ausrufen), ist der Satz aufgrund semantischer Regeln sinnlos.

Richtig bzw wahr sind nur Aussagen. Aussagen behaupten einen Sachverhalt (einen Zusammenhang zwischen mehr als einem Denk-Objekt oder zwei Aspekten desselben Denk-Objekts). Die Aussage: "der Satz, den sie hier gerade lesen, ist falsch" ist semantisch zweideutig. Er könnte bedeuten: "der Satz, den sie gerade lesen, behauptet einen falschen Sachverhalt", ODER: "der Satz, den sie gerade lesen, ist hinsichtlich grammatischer Regeln falsch".

Die erste Interpretation zeigt: Der Satz behauptet ja gar keinen Sachverhalt. Somit ist er sinnlos - zumindest keine Aussage. Die zweite Interpretation ("ist grammatisch falsch") behauptet zwar einen einen Sachverhalt, ist aber entscheidbar: Er ist FALSCH.

Mit Sprache bilden wir (unter Anderem) Sachverhalte ab. Ein rekursiver Satz bezieht sich nicht auf einen Sachverhalt, sondern auf sich selbst. Man kann zwar sinnvoll über Sprache und ihre Struktur oder ihre Funktion sprechen (Metasprachen), aber da beziehen sich die Sätze auf ein konkretes Objekt: die jeweilige Sprache (oder Sprache allgemein). Ein rekursiver Satz bezieht sich auf seinen eigenen Wortlaut, nicht auf den Inhalt, behauptet also keinen Sachverhalt und ist somit keine Aussage. -- ‎Peter kaiser 12:24, 31. Dez. 2013 (Signatur nachgetragen von: Jürgen 12:48, 31. Dez. 2013 (CET) -- bitte künftig mit 4 Tilden ~~~~ selbst erledigen)

Hallo Peter,

wegen der Möglichkeit den Satz „Dieser Satz ist falsch“ auf verschiedene Arten und Weisen zu interpretieren, gebe ich dir Recht (dies war mir vor deinem Post auch nicht so bewusst). Hier merkst wieder einmal den Nachteil, den natürlichsprachliche Ausdrücke für die Mathematik haben: Selbst bei einfachsten Ausdrücken kann es mehrere Interpretationsmöglichkeiten geben.

Beachte aber, dass du die Definition des Begriffs „Aussage“ verwendest, die auch in diesem Kapitel verwendet wird:

„Eine Aussage ist ein aus Wörtern und/oder mathematischen Zeichen aufgebauter Ausdruck, bei dem es sinnvoll ist zu fragen und zu entscheiden, ob dieser Ausdruck wahr oder falsch ist.“ Link zur Definition

Beim Ausdruck „Dieser Satz ist falsch“ ist es schon sinnvoll zu fragen, ob er wahr ist, man kann ihm nur nicht sinnvoll einen Wahrheitswert zuordnen. Dementsprechend ist der Ausdruck auch keine Aussage (Wenn der Satz wahr wäre, müsste er falsch sein und umgekehrt).

Natürlich gibt es in anderen wissenschaftlichen Bereichen auch andere Definitionen des Begriffs „Aussage“ und ich glaube selbst in der Mathematik gibt es keine einheitliche Definition dieses Begriffs. Je nah zugrunde liegender Definition kommt man auch zu anderen und zum Teil zu widersprüchlichen Behauptungen darüber, was eine Aussage ist und was nicht. Insofern ist es nicht verwunderlich, wenn du bei einer anderen Definition zu einer anderen Begründung kommst, warum der erwähnte Ausdruck keine Aussage ist.

Nur eine kleine Nachfrage zu deiner Definition: Warum behauptet „der Satz, den sie gerade lesen, behauptet einen falschen Sachverhalt“ keinen Sachverhalt? Dem Denk-Objekt „Satz, den man gerade liest“ wird ja eine Eigenschaft zugeordnet „behauptet einen falschen Sachverhalt“. Oder sind Eigenschaftszuordnungen keine Aussagen in deiner Definition? Wenn dem so wäre, dann wäre aber auch der Ausdruck „Die Zahl 4 ist teilbar.“ keine Aussage, was aber, wie ich denke, eine zu starke Einschränkung des Begriffs „Aussage“ wäre.

Viele Grüße und entschuldige die verspätete Antwort, Stephan Kulla 19:59, 19. Jan. 2014 (CET)

Das Wort unentscheidbar kenne ich in zwei Bedeutungen (vgl. Wikipedia zu undecidable): 1) In der theoretischen Informatik ist ein Ja/Nein-Problem genau dann unentscheidbar, wenn es keinen Algorithmus gibt, der stets die richtige Antwort liefert. Klassisches Beispiel: Halteproblem. 2) In der Logik ist ein Satz genau dann unentscheidbar (Synonym: unabhängig), wenn er weder beweis- noch widerlegbar ist. Beispiel: Kontinuumshypothese in ZFC. (Elementares Beispiel: „Dieser Satz ist wahr.“ Formal: Wir definieren P nur dadurch, dass P äquivalent zu P ist. Dann ist P unentscheidbar, aus den Axiomen folgt weder P noch die Negation von P.) Wenn ein Ausdruck, egal welcher, überhaupt einen Wahrheitswert hat, dann ist das Problem, ob er wahr ist, selbstverständlich entscheidbar: Entweder ist er wahr oder falsch, in beiden Fällen gibt es einen Algorithmus, der die richtige Antwort liefert (print("wahr") resp. print("falsch")), auch wenn keine der beiden Antworten beweisbar ist. So wie der Ausdruck gemeint ist, ist er auch im zweiten Sinn entscheidbar, führt allerdings zu einem Widerspruch; ein konsistentes System erfordert also, ohne eine solche Aussage auszukommen. Was soll dann aber heißen, dass ich „sinnvoll“ fragen kann, ob der Ausdruck wahr oder falsch ist? Ich kann das natürlich fragen, aber ebenso kann ich fragen, ob eine Frage wahr oder falsch ist. Beide Fragen gehen dann fälschlicherweise davon aus, dass das Angesprochene einen Wahrheitswert hat. Der Punkt ist doch nur, dass es sich um einen Ausdruck handelt, der grammatikalisch die Form eines Aussagesatzes hat, aber als wohlgeformte Formel zur Inkonsistenz führen würde. Als nicht wohlgeformter Ausdruck könnte er vielleicht unentscheidbar in dem Sinn genannt werden, dass er einfach keinen entscheidbaren Satz darstellt (obgleich er sowieso keinen Wahrheitswert besitzt, der zu entscheiden wäre, und die Benennung somit als Kategorienfehler gelten könnte, ähnlich wie „Die abelsche Gruppe ist unbewaffnet/unbrennbar“), aber dann sind Frage- und Befehlssätze auch „unentscheidbar“. -- IvanP 08:56, 21. Nov. 2015 (CET) (Bearbeitet: -- IvanP 19:31, 4. Jan. 2019 (CET))

Der Begriff 'unentscheidbar' hat in der Mathematischen Logik in der Tat eine feste Bedeutung. Deswegen sollte er in diesem Zusammenhang nicht verwendet werden. Ich habe ihn daher durch den Begriff 'problematisch' ersetzt. Man könnte dazu ausführen, das solche Sätze der Metatheorie zugeordnet werden und die Vermengung von Objekt- und Metasprache genau die beschriebenen Probleme auslöst. Das zu thematisieren ist aber an dieser Stelle, wo es um eine Einführung in den folgenden Stoff geht, nicht sinnvoll. -- Jürgen-Michael Glubrecht 19:05, 5. Jan. 2019 (CET)

x < 0 keine Aussage?

Hier hieß es, dass $x<0$ keine Aussage ist. Wenn man allerdings x als eine Individuenkonstante definiert waäre der Satz entscheidbar. In mathematische Formeln ist es auch nicht so leicht zu entsceiden, was der Fall ist. Normalerweise sagt man etwas wie: „Wenn x eine reelle Zahl ist, gilt: $x<0$“ , also wörtlich übersetzt ausgedrückt: $x\in \mathbb {R} \rightarrow x<0$. Die Aussage wäre ja auch falsch (unter den üblichen mathematischen Axiomen).

$\forall x\in \mathbb {R} :x<0$ wäre allerdings gleichbedeutend, in dem Fall wäre $x$ eine Variable.

Einfach nur alleinstehend aus den mathematischen Axiomen folgend sieht man eine solche Aussage aber selten, da sie für alles mögliche stehen könnten, z. B. Mengen, ich weiß auch nicht, ob es überhaupt eine EInschränkung in den Axiomen gibt, sonst könnten sie ja auch für Weihnatsbäume stehen. Aber nur fehlender praktisher Sinn macht eine Aussage noch nicht falsch. --David23x 15:49/15:50, 22. Jul. 2015 (CEST)

@David23x: Wichtig ist die Unterscheidung, ob die Variable frei oder gebunden im Ausdruck vorkommt. Per Definition sind Ausdrücke mit freien Variablen Aussageformen (sofern diese Ausdrücke zu Aussagen werden, wenn man für die Variable was einsetzt). Insofern muss beim Ausdruck $x<0$ schon unterschieden werden, ob $x$ eine Variable ist oder eine Konstante.

Im Übrigen ist $x\in \mathbb {R} \rightarrow x<0$ nicht äquivalent zu $\forall x\in \mathbb {R} :x<0$, sondern $\forall x(x\in \mathbb {R} \rightarrow x<0)$. Im letzten Ausdruck ist $x$ durch den Allquantor gebunden, so dass der letzte Ausdruck im Gegensatz zu „$x\in \mathbb {R} \rightarrow x<0$“ eine Aussage ist.

Habe die Tabelle etwas ergänzt. Denkst du, sie ist jetzt verständlich? Viele Grüße, Stephan Kulla 00:05, 23. Jul. 2015 (CEST) PS: Auf Wikibooks kannst du \R anstelle von \mathbb{R} schreiben.

Aufgefallene Dinge

In Rechtschreibung bin ich nicht so der Knüller, mir sind da eher größere Sachen aufgefallen, die ich nicht direkt ändern wollte:

Man spricht auch dann nicht von einer Aussage, wenn der Ausdruck unabhängig von der Belegung der freien Variablen immer wahr ist. So ist der Ausdruck x + x = 2 x {\displaystyle x+x=2x} x+x=2x keine Aussage. Später werden wir für solche Ausdrücke mit freien Variablen den Begriff Aussageform kennen lernen. Leider ist es nicht so einfach, dass alle Ausdrücke mit Variablen Aussageformen sind.

Warum nicht? "Ist es wahr, dass gilt: x+x=2x ?" funktioniert in naiver Betrachtung. Und was ist diese Aussageform? Könnte man das dort zumindest verlinken?

„Für alle reellen Zahlen $x$ gilt $x\geq 5$“

Ich weiß aber noch nicht, was diese Aussageform ist, und jetzt ist etwas, was ich nicht kenne etwas nicht?

"Beachte, dass die obige Definition nicht ganz sauber ist. So ist nicht genau geklärt, was ein sinnvoller Ausdruck ist. Meist genügt hier die menschliche Intuition, jedoch kann damit eine gewisse Subjektivität nicht vermieden werden. Für unsere Zwecke reicht aber obige Definition vollkommen. In Vorlesungen zur mathematischen Logik wirst du im Übrigen eine präzisere Definition der Aussage kennen lernen."

Welche Definition? Die mit der Frage? Ja, es steht da, aber ich finde, durch die Komplexität des Textes hat man das zu dem Zeitpunkt schon wieder vergessen, weil mehrfach etwas gesagt wird, was dann doch wieder anders ist.

Ist jetzt nur mein Eindruck.

Vorschlag (wobei ich nicht weiß, ob ich das fachlich alles richtig hab):

Beachte, dass die Definition nicht ganz sauber ist. So wurde nicht genau geklärt, was ein sinnvoller Ausdruck ist. Meist genügt hier die menschliche Intuition, jedoch kann damit eine gewisse Subjektivität nicht vermieden werden. Für unsere Zwecke reicht sie aber vollkommen. In Vorlesungen zur mathematischen Logik wirst du eine präzisere Definition der Aussage kennen lernen.

Zurück zur Definition der Aussage: Der Ausdruck „5 ist eine Primzahl.“ ist beispielsweise eine Aussage, weil die Frage „Ist es wahr, dass gilt: 5 ist eine Primzahl?“ sinnvoll gestellt und beantwortet werden kann. Demgegenüber ist der Ausdruck „Ist 5 eine Primzahl?“ keine Aussage, da der Ausdruck „Ist es wahr, dass gilt: Ist 5 eine Primzahl? ?“ keinen Sinn ergibt. Es ist keine sinnvolle Frage (Beachte das doppelte Fragezeichen). Fragen, Satzfragmente und Befehle können keine Aussagen sein, da ihnen ein Wahrheitswert nicht sinnvoll zugeordnet werden kann.

Auch sprachliche Gebilde wie „$x\geq 5$“, in denen freie Variable vorkommen, sind keine Aussagen. Dies liegt daran, dass bei solchen Ausdrücken der Wahrheitswert vom Wert der Variablen abhängt. So ist „$x\geq 5$“ für die Belegung $x=42$ wahr und für $x=1$ falsch. Daher kann nicht eindeutig entschieden werden, ob dieser Ausdruck wahr oder falsch ist. Man spricht auch dann nicht von einer Aussage, wenn der Ausdruck unabhängig von der Belegung der freien Variablen immer wahr ist, weil... (Erklärung wäre toll!). So ist der Ausdruck $x+x=2x$ keine Aussage. Später werden wir für solche Ausdrücke mit freien Variablen den Begriff Aussageform kennen lernen.

Leider ist es jedoch nicht so einfach, dass alle Ausdrücke mit Variablen Aussageformen sein müssen. So ist der Ausdruck „Für alle reellen Zahlen $x$ gilt $x\geq 5$“ dennoch eine Aussage und keine Aussageform. Der Grund ist, dass hier $x$ durch den so genannten Quantor „für alle“ gebunden wird und nicht mehr frei ist. Was genau freie und gebundene Variablen sowie Aussageformen sind, werde ich dir im Kapitel „Aussageform und Substitution“ erklären.

An dieser Stelle muss ich leider erstmal aufhören zu lesen. Hoffe es hilft. Gruß Axel --HirnSpuk 14:27, 1. Sep. 2016 (CEST)

Kapitel umbenennen

Der Ausdruck Aussagenlogik hat eine ganz spezielle Bedutung., s. z.B. w:Aussagenlogik Diese wird aber in diesem Kapitel nicht behandelt. Ich habe in der Mathe für Nicht-Freaks: Sitemap ein Kapitel "Aussagenlogik" vorgesehen. Ich schlage deshalb vor, dieses Kapitel umzubenennen in "Aussagen" oder "Logik und Aussagen". -- Jürgen-Michael Glubrecht 20:44, 10. Nov. 2018 (CET)

@Jürgen-Michael Glubrecht: "Logik und Aussagen" finde ich gut. Werde ich umsetzen... -- Stephan Kulla 17:41, 12. Nov. 2018 (CET)

@Jürgen-Michael Glubrecht: Done. Unter https://de.wikibooks.org/w/index.php?title=Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aussagenlogik&redirect=no kannst du das neue Kapitel erstellen. -- Stephan Kulla 17:50, 12. Nov. 2018 (CET)

Danke Stephan Kulla -- Jürgen-Michael Glubrecht 18:35, 12. Nov. 2018 (CET)