Diskussion:Mathe für Nicht-Freaks: Junktor

Korrektur zum Abschnitt "Implikation – die Wenn-dann-Verknüpfung"

Im Abschnitt "Implikation – die Wenn-dann-Verknüpfung" schreiben Sie: "Beachte auch, dass nach der Wahrheitstabelle die Implikation bereits dann wahr ist, wenn die Prämisse A falsch ist". Die Aussage ist so nicht ganz richtig. Die Implikation A => B ist falsch, wenn A=f und B=f ist. Die Falschheit von A ist kein hinreichendes Kriterium für die Korrektheit der Implikation, wie es der zitierte Satz suggeriert. Richtig müsste es heissen: "Beachte auch, dass nach der Wahrheitstabelle die Implikation stets dann wahr ist, wenn die Implikation B wahr ist - ungeachtet des Wahrheitswerts von A". -- Peter kaiser 16:58, 8. Jan. 2014 (Signatur nachgetragen von: Jürgen 17:18, 8. Jan. 2014 (CET) -- bitte künftig mit 4 Tilden ~~~~ selbst erledigen)

Hallo Peter,

danke für deinen Kommentar. Es ist aber so, dass die Implikation $A\Rightarrow B$ (per Definition) stets wahr ist, wenn $A$ falsch ist. Siehe hierzu die Wahrheitstabelle im Wikipedia-Artikel „Implikation“. Alternative Belege: [1] und [2]. Viele Grüße Stephan Kulla 00:10, 9. Jan. 2014 (CET)

Verständnisfrage zur Äquivalenz

Frage zum Abschnitt "Äquivalenz – die Genau-dann-wenn-Verknüpfung" ist die Äquivalenz dasselbe wie eine Tautologie (A=A)? Im Abschnitt heisst es ja, dass die Aussagen A und B immer denselben Wahrheitswert haben und beliebig gegeneinander austauschbar seien (hab ich zumindest so verstanden). Also wäre A identisch mit B. Ist also "A = B" nur eine andere Notation für "A <=> B"? Oder gibt es Zusammenhänge, in denen "A<=>B" zutrifft, nicht aber "A=B"? -- Peter kaiser 11:09, 10. Jan. 2014 (Signatur nachgetragen von Jürgen 14:47, 10. Jan. 2014 (CET) -- bitte künftig mit 4 Tilden ~~~~ selbst erledigen; diesen Hinweis hast du jetzt mehrfach bekommen, bitte beachte ihn!)

Bei der Tautologie steht:

Zwei Aussagen $A$ und $B$ sind nämlich dann genau äquivalent, wenn die zusammengesetzte Aussage $A\Leftrightarrow B$ eine Tautologie ist.

Die Tautologie sagt etwas über den Wahrheitswert einer einzigen Aussage aus (nämlich der zusammengesetzten Aussage "A <=> B"), während die Äquivalenz den Wahrheitswert einer Verknüpfung zweier Aussagen bestimmt. -- Jürgen 15:42, 10. Jan. 2014 (CET)

Hallo Peter, hier noch ein Beispiel: Nehme die Aussagen

A(x) = „x ist eine natürliche Zahl und es gibt eine natürliche Zahl k mit x=2k.“

B(x) = „x ist eine natürliche Zahl und x^2 ist durch 2 teilbar.“

Für jedes Objekt y, welches du für die Variable x in die Aussageformen A(x) und B(x) einsetzt, sind die beiden Aussagen A(y) und B(y) verschieden. Es gilt also $\forall y:A(y)\neq B(y)$.

Dennoch sind beide Aussageformen äquivalent im Sinne, dass $A(y)\Leftrightarrow B(y)$ für alle Objekte y gilt. Um also auf eine deiner Fragen zu antworten: Zwei Aussagen können äquivalent sein, auch wenn sie nicht identisch sind.

Du hast aber richtig festgestellt: Weil äquivalente Aussagen stets denselben Wahrheitswert haben, können sie oft vertauscht werden. Beispielsweise ist es egal, ob ich A(x) oder B(x) als Definition dafür hernehme, wann eine Zahl x gerade ist. Es gibt aber durchaus Aspekte, in denen sich zwei äquivalente Aussagen unterscheiden können. A(x) enthält zum Beispiel die gebundene Variable k und B(x) kommt ohne gebundene Variable aus. Ich hoffe, ich konnte dir helfen. Grüße Stephan Kulla 18:45, 19. Jan. 2014 (CET)

PS: Danke für dein Feedback. Bei Gelegenheit werde ich den entsprechenden Abschnitt ausbauen und auf Dinge eingehen, die du angesprochen hast. Stephan Kulla 20:02, 19. Jan. 2014 (CET)

Starke Verschränkung der Themen Junktoren und Wahrheitstabelle

Dieses Unterkapitel und das Unterkapitel Wahrheitstabelle sind stark miteinander verschränkt. Tatsächlich wird hier von der Wahrheitstabelle schon viel Gebrauch gemacht. Es erscheint mir daher naheliegend, das Thema Wahrheitstabelle hier zu integrieren und das Unterkapitel dann z.B. "Junktoren und Wahrheitstabellen" zu nennen. Der erste Abschnitt des Unterkapitels Wahrheitstabelle - das die Wahrheitstabelle an sich vorstellt - könnte dann an dritter Stelle stehen, unmittelbar bevor die einzelnen Junktoren erläutert werden. Der zweite Abschnitt von "Wahrheitstabelle" - das Erstellen (komplexer) Wahrheitstabellen - wäre an letzter Stelle ein schönes Beispiel für die Verknüpfung mehrerer Aussagen durch unterschiedliche Junktoren.--Michael Oestreicher 20:52, 9. Sep. 2016 (CEST)

@Michael Oestreicher: Vielen Dank für dein Feedback. Früher waren die Artikel zur Wahrheitstabelle und dem Junktor auch zusammen (genauso, wie du es beschreibst). Siehe diese Version. Ich werde das mal im Hinterkopf behalten und es mit dem Team besprechen. Die beiden Artikel habe ich erstellt, damit beide Artikel nicht zu lang sind. ToDo-Hinweis ist angelegt. -- Stephan Kulla 15:32, 10. Sep. 2016 (CEST)

Ergänzung: Ich bin in dieser Frage unentschieden. Auf der einen Seite sehe ich einen Mehrwert, wenn beide Begriffe zusammen erklärt werden. Zum anderen sollten unsere Kapitel nicht zu lang werden (im Kapitel zu Wahrheitswerttabellen will ich noch einen Abschnitt hinzufügen, wie man diese erstellt). Auch sollte es zu Begriffen, die Studenten/Studentinnen als Suchbegriffe in Google häufiger verwenden, bei uns einen entsprechenden Artikel geben. Als weitere Alternative kann ich mir vorstellen, dass wir im Junktor-Artikel einen kurzen Abschnitt zu Wahrheitstabellen hinzufügen (mit Beschränkung auf ein oder zwei freie Variablen). Quasi eine abgespeckte Variante von Mathe für Nicht-Freaks: Wahrheitstabelle#Die Wahrheitstabelle. -- Stephan Kulla 15:48, 10. Sep. 2016 (CEST)

Die Wahrheitstabellen sind umfassender als die Tabellen, die zur Erklärung für die Junktoren verwendet werden! Deshalb macht es m.E. Sinn, zunächst die Junktoren zu behandeln und dann - in einem zweiten Kapitel – die Wahrheitstabellen. Dazwischen wäre ohnehin ein Kapitel hilfreich, dass den (rekursiven) Aufbau der (aussagenlogischen) Formeln erklärt. Dann werden auch die Begriffe "Teilaussagen" und "atomare Aussagen" klarer. Diese Beghriffe werden ja im Kapitel "Wahrheitstabelle" benötigt. Ich habe daher das entsprechende TODO aus der Mathe für Nicht-Freaks: Sitemap entfernt.

Das Kapitel "Notwendige und hinreichende Bedingung" sollte in den Bereich "Beweise und Beweismethoden" verschoben werden. An der jetzigen Stelle ist es eher störend. -- Jürgen-Michael Glubrecht 12:09, 4. Nov. 2018 (CET)

@Jürgen-Michael Glubrecht: Ich habe das Kapitel verschoben. Dank dir für deine Antwort in diesem Thread. -- Stephan Kulla 19:31, 4. Nov. 2018 (CET)

Objekt- und Metasprache dringend notwendig! Ergänzend, bitte Folgerungspfeil ersetzen durch richtiges objektsprachliches Symbol

Im Artikel steht: "Eine wichtige Verknüpfung in der Aussagenlogik ist die Implikation, welche als Wenn-dann-Verknüpfung aufgefasst werden kann. Ihr Symbol ist $\Rightarrow$; weitere weniger gebräuchliche Schreibweisen sind $\rightarrow$ und $\supset$. So bezeichnet $A\Rightarrow B$ die Aussage „Wenn $A$, dann $B$"

Wo genau belegt sich, dass das Symbol $\Rightarrow$ grundsätzlich für die Implikation verwendet wird? Ich kann solche nicht finden, ganz im Gegenteil. Zudem wird hier auch nicht zwischen Objekt- und Metasprache unterschieden, was definitiv notwendig ist bei der Problematik von Antinomien, die sich schnell ergeben können.

Ich schlage also vor konsistent eine Umbenennung der Implikation auf allen Mathe Für Nicht-Freaks Seiten durchzuführen, in der das Symbol im objektsprachlichen Sinn (z.B. Aussagenlogik) gebraucht wird. Denn $\Rightarrow$ bezeichnet keine Implikation, sondern eine Inferenz im Sinne eines mechanischen Schließens von einer oder mehreren Prämissen auf eine Konklusion. Es ist zwar richtig, dass die Idee bzw. Form der Implikation sich auch im Schließen selbst finden lässt, dennoch sind beide gedanklich verschieden, auf anderen Ebenen operierend.

Das korrekte Formelsymbol ist also hier das Symbol $\rightarrow$ um damit die Implikation in der Objektsprache (z.B. Aussagenlogik oder Prädikatenlogik) zu beschreiben. Der Folgerungspfeil $\Rightarrow$ steht wiederum für das Schließen, einer Inferenz und befindet sich auf metasprachlicher Ebene. AloisIrlmaier 06:33, 10. Apr. 2023 (CEST)

Hallo AloisIrlmaier,

Dank dir für deine Ausführungen. Das Symbol $\implies$ für die Implikation kenne ich so aus vielen Grundlagenvorlesungen der Mathematik. Ein Beispiel hierfür ist https://agag-gathmann.math.rptu.de/class/gdm-2019/gdm-2019.pdf oder auch https://www.math.kit.edu/ianm3/lehre/mathe1infowirt2018w/media/skript_aussagenlogikmengen.pdf. Da sich dieser Artikel an Studienanfänger und nicht an Studierende der Vorlesung "Logik" richtet, möchte ich aus didaktischen Gründen der Reduktion auf ein Umschreiben verzichten. Liebe Grüße, Stephan Kulla 13:13, 6. Jun. 2023 (CEST)