Beweisarchiv: Zahlentheorie: Algebraische Zahlentheorie: Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie

Beweisarchiv: Zahlentheorie

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Algebraische Zahlentheorie: Pythagoraszahl nicht-reeller Körper · Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie · Zerlegungsgesetz
Analytische Zahlentheorie: Irrationalität von · Primzahlsatz



Korrespondenzsatz der algebraischen Zahlentheorie Bearbeiten

Satz: Sei   (   kein Quadrat ) eine Fundamentaldiskriminante. Dann gibt es eine bijektive Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen bijektiv quadratischer Formen mit Diskriminante   und den Äquivalenzklassen im engeren Sinne von Idealen von  . Insbesondere ist die Anzahl   der Äquivalenzklassen von Idealen im engeren Sinne gleich der Klassenzahl  .

Beweis: Sei   ein von   verschiedenes Ideal von  , so ist   und wegen   folgt, dass  , also auch  . Damit nimmt die Abbildung

 

Werte in   an.   besitzt eine Basis  . Damit ist   und es lässt sich   als Funktion   auf   auffassen:

 

Wir erhalten also eine binäre quadratische Form:

 

Für die Diskriminante findet man leicht

 

wobei die Diskriminante   definiert ist als das Quadrat der Determinante von  . Nun sind sowohl   , also auch   und damit auch  . Somit besitzt die Form   ganzzahlige Koeffizienten und Diskriminante  . Ist nun   eine weitere Basis von  , dann hängen   und   durch die Matrix   mit Determinante   zusammen. Aus der obigen Abbildung   erhalten wir die zur Basis   gehörende Form  , indem wir   durch   transformieren. Eine Basis   von   heißt positiv orientiert, wenn für die rationale Zahl   gilt. Diese Betrachtung ist zweckmäßig, da   sowohl positiv als auch reell ist. Damit hat die Matrix eines Basiswechsels zwischen positiv orientierten Basen immer die Determinante  . Lässt man also nur positiv orientierte Basen zu, dann hängt die von oben definierte Form   bis auf echter Äquivalenz nur vom Ideal   und nicht von der Basiswahl ab. Ersetzen wir nun das Ideal   durch   mit   und  , dann ist   eine positiv orientierte Basis für   und  . Damit stimmt die zum Ideal   gehörende Form

 

mit der Form   überein. Es kann also in eindeutiger Weise jeder Idealklasse im engeren Sinne eine echte Äquivalenzklasse von binär quadratischen Formen mit Diskriminante   zugeordnet werden. Können wir zeigen, dass die Zuordnung bijektiv ist, dann sind wir fertig. Sei also

 

eine quadratische Form mit Diskriminante  . Nun ist   eine Fundamentaldiskriminante, also ist ggT  und damit   eine primitive Form. Sei zunächst  . Dann erhalten wir als Lösung der quadratischen Gleichung   die Nullstellen  .

Nun ist  . Wir zeigen, dass   ein ganzes Ideal ist. Ist nun   mit  mod 2 und   dann ist

 

und damit  . Zudem gilt:          . Aus   erhalten wir, dass die Basis   positiv orientiert ist. Das Ideal   hat die Diskriminante

 

und da wie in   gesehen   gilt, folgt  . Wir erhalten also für die zum Ideal   zugehörige Form

 

Ist hingegen   ein Ideal mit positiv orientierter Basis   mit  , dann erhalten wir mit den Substitutionen für   wie in  

 

Damit ist also   zum Ideal   Äquivalent im engeren Sinne.

Sei nun  , also  . Ist nun   ein Ideal mit   und  . Dann ist   eine positiv orientierte Basis. Die zum Ideal   gehörende Form ist also wiederum  . Insbesondere liefert jedes Ideal   mit positiv orientierter Basis Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle \left\{\alpha,\beta\right\}} und   eine primitive Form   mit  , für die das Ideal   im engeren Sinne Äquivalent zum Ideal   ist. Insbesondere folgt  . Also ist die Korrespondenz zwischen den echten Äquivalenzklassen von Formen und den Idealklassen im engeren Sinne bijektiv und der Satz damit bewiesen.

 

Wikipedia-Verweise Bearbeiten


Literatur Bearbeiten

  • Don B. Zagier: Zetafunktionen und Quadratische Körper:Eine Einführung in die höhere Zahlentheorie , Springer, Berlin, 1981, 13: 9783540106036.
  • Candy Walter: Quadratische Zahlkörper und die Geschlechtertheorie. Leibniz Universität Hannover, 2009, DOI: 10.13140/RG.2.2.24046.84800.