Beweisarchiv: Arithmetik: Lösungen von Gleichungen: Gleichungen höheren Grades mit einer Variablen: Kubische Gleichungen

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Anzahl und Ordnung reeller Lösung einer kubischen Gleichung

Zielsetzung dieser Darstellung

Die Cardanischen Formeln lösen eine allgemeine kubische Gleichungen vollständig. Herleitung und Darstellung dieser Formeln erfordert die Verwendung komplexer Zahlen. Algebraisch begründete Aussagen über Anzahl und Ordnung der reellen Lösungen einer allgemeinen kubischen Gleichung sind jedoch auch ohne Verwendung komplexer Zahlen möglich. Hier wird ein solcher Zugang zu diesen Aussagen vorgestellt. Die bei Cardano definierte, recht einfach im Gedächtnis zu behaltende Diskriminante der kubischen Gleichung erweist sich interessanterweise auch hier als zur Fallunterscheidung geeignet.

Im folgenden Text verwendet werden Mittel der Kurvendiskussion, der Zwischenwertsatz, die Verwendung von Ableitungen als Monotoniekriterium, der Zusammenhang zwischen Ordnung einer Nullstelle und Funktionswert der Ableitungen, Eigenschaften einer ungeraden Funktion. Gemäß der Aufgabenstellung bezeichnet "Nullstelle" bzw. „Lösung“ ausschließlich eine reelle (nicht echt komplexe) Nullstelle bzw. Lösung. Der im Text eingeführte, sonst nicht allgemein übliche Begriff „Zwillingsfunktion“ vereinfacht die Fallunterscheidung deutlich.

Durchführung

A. Aus der Herleitung der Cardanischen Formeln übernommen wird die Umformung der allgemeinen kubischen Gleichung

$g:\quad Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0\quad \mid :A\neq 0\quad \mid x=z-{\tfrac {B}{3A}}$

zur reduzierten Form

$\quad z^{3}+pz+q=0$;

die Lösungen der reduzierten Gleichung sind genau die Nullstellen der ganzrationalen Funktion

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad z\to y=z^{3}+pz+q=f(z)$.

Wie die angegebenen Äquivalenzumformungen zeigen, lässt sich jede Nullstelle von $f(z)$ in eine Lösung von $g$ überführen und umgekehrt.

B. (1) $f(z)$ hat höchstens drei Nullstellen (wie sich etwa mit Zerlegung in Linearfaktoren begründen lässt).

(2) Hat $f(z)$ drei verschiedenen Nullstellen, so ist mit (1) jede derselben einfach.

(3) Ist von zwei verschiedenen Nullstellen von $f(z)$ eine mehrfach, so ist die mehrfache (mindestens, mit (1) höchstens) doppelt, die andere einfach.

(4) Alle $f(z)$ haben (mindestens) eine Nullstelle $z_{0}$, denn...

...eine Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen ergibt, dass $f(z)<0$ für ein hinreichend kleines $z$, aber $f(z)>0$ für ein hinreichend großes $z$; mit Zwischenwertsatz hat $f(z)$ eine Nullstelle in $\mathbb {R}$.

(5) Die ersten beiden Ableitungen von $f(z)$ sind:

$f'(z)=3z^{2}+p$

$f''(z)=6z$

(6) Der Graph von $f'(z)$ ist eine nach oben geöffnete, zur $y$-Achse symmetrische Parabel (zweiter Ordnung) mit dem Scheitel $(0|p)$.

(7) Die Ableitung $f'(z)$ habe die Nullstelle $z=u$. Das Intervall $I\subset \mathbb {R}$ sei eine echte Obermenge von $[u,u]$. Sei (überall) $\operatorname {sgn}(f'(z))\neq 0$ im (nicht abgeschlossenen) Intervall {$x\in I,x<u$} bzw. {$x\in I,x>u$}. Dann ist $f(z)$ streng monoton im (abgeschlossenen) Intervall {$x\in I,x\leqslant u$} bzw. {$x\in I,x\geqslant u$}, denn...

… das Teilintervall $[u,u]$ des abgeschlossenen Intervalls {$x\in I,x\leqslant u$} bzw. {$x\in I,x\geqslant u$} ist kein echtes Intervall im Sinne des hier verwendeten Monotoniekriteriums.

(8) $f_{-q}(z)=z^{3}+pz-q$ wird in diesem Text als Zwillingsfunktion von $f_{q}(z)=z^{3}+pz+q$ bezeichnet.

$f_{-q}(z)$ hat genau dann die Nullstelle $z=-u$, wenn $f_{q}(z)$ die Nullstelle $z=u$ hat, denn...

...in der Zerlegung $f(z)=f_{q=0}(z)+q$ ist die Summandenfunktion $f_{0}(z)$ ungerade. Also ist

$0=f_{-q}(-u)=f_{0}(-u)-q=-f_{0}(u)-q=(-1)\cdot (f_{0}(u)+q)\quad \Leftrightarrow \quad 0=f_{0}(u)+q=f_{q}(u).$

Die Nullstelle $z=-u$ von $f_{-q}(z)$ ist genau dann einfach bzw. mehrfach, wenn die Nullstelle $z=u$ von $f_{q}(z)$ einfach bzw. mehrfach ist, denn...

...mit (5) hängt $f'(z)$ nicht von $q$ ab, sodass $f_{-q}'(-u)=f_{q}'(u)$ (anschaulich mit (6)).

(9) Der Graph von $f(z)$ ist punktsymmetrisch zu $(0|q)$, denn...

...der Graph der ungeraden Funktion $f_{0}(z)$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung; mit der Zerlegung in (8) geht für vorgegebenes $p$ der Graph von $f_{q}(z)$ aus dem Graphen von $f_{0}(z)$ durch Parallelverschiebung in $y$-Richtung um $q$ hervor.

Fall 1: p $\geqslant$ 0

(10) Für $p\geqslant 0$ zeigt $\operatorname {sgn}(f'(z))$ $\mathrm {-}$ mit (7) auch für $p=0,z=0$ $\mathrm {-}$, dass $f(z)$ in ganz $\mathbb {R}$ streng monoton wächst, keinen Funktionswert an zwei verschiedenen Stellen annimmt, insbesondere keine von $z_{0}$ verschiedene Nullstelle hat.

(11) Die Nullstelle $z_{0}$ ist genau dann mehrfach, wenn außer $f(z_{0})=0$ auch $f'(z_{0})=0$. Für $f'(z)$ folgt genau dann aus $p\geqslant 0$ (mit (6) auch anschaulich) $p=0$ sowie $z_{0}=0$; aus $f(z_{0}=0)=0$ folgt $q=0$. In Fall 1 ist daher $f(z)=z^{3}$ die einzige Funktion $f(z)$ mit einer mehrfachen Nullstelle. Diese ist (wegen $f''(0)=0$ mindestens, wegen (1) höchstens) dreifach.

Fall 2: p < 0

(12) Für $-p>0$ hat $f'(z)$ die Nullstellen

$z_{M,m}=\pm {\sqrt {\frac {-p}{3}}}$.

$f(z_{M}<0)$ ist mit $f''(z_{M})<0$ ein lokales Maximum, $f(z_{m}>0)$ mit $f''(z_{m})>0$ ein lokales Minimum von $f(z)$.

(9) erleichtert die Veranschaulichung der von $q$ abhängigen Unterfälle von Fall 2 für ein beliebiges, aber festes $p$.

(Unterfall 2.1) Die Summandenfunktion $f_{0}(z)$ aus (8) hat drei einfache Nullstellen, denn...

...$z=0$ ist eine Nullstelle, da $f_{0}(z)$ eine ungerade Funktion ist. Weiter hat $f_{0}(z)$ ein Minimum mit dem Funktionswert

$f_{0}(z_{m}>0)=z_{m}(z_{m}^{2}+p)={\sqrt {\frac {-p}{3}}}{\biggl (}{\frac {-p}{3}}+p{\biggl )}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot {\frac {2p}{3}}<0$,

aber für ein hinreichend großes $z>z_{m}$ ist $f_{0}(z)>0$; also hat $f_{0}(z)$ mit Zwischenwertsatz eine Nullstelle $z_{1}\in (z_{m},\infty )$. Da $f_{0}(z)$ eine ungerade Funktion ist, hat sie eine weitere Nullstelle $-z_{1}\in (-\infty ,-z_{m})$. Die Nullstellen $0$, $z_{1}$, $-z_{1}$ sind gemäß ihrer Lage zu den angegebenen Intervallen verschieden, mit (2) einfach.

(13) Der Funktionswert des Maximums von $f_{0}$ ist $f_{0}(z_{M})=f_{0}(-z_{m})=-f_{0}(z_{m})>0.$

Für die folgenden Unterfälle 2.2, 2.3 und 2.4 wird q > 0 zusätzlich vorausgesetzt. Dann hat $f(z)$ genau eine einfache Nullstelle $z_{0}'\in (-\infty ,0]$, denn...

...$\operatorname {sgn}(f'(z))$ zeigt mit (7), dass $f(z)$ im Intervall $(-\infty ,z_{M}<0]$ überall streng monoton wächst und im Intervall $[z_{M},0]$ überall streng monoton fällt. Da $f(z)<0$ für hinreichend kleines $z<z_{M}$, aber $f(z_{M})=f_{0}(z_{M})+q>f_{0}(z_{M})>0$, hat $f(z)$ im Intervall $(-\infty ,z_{M})$ (mit Zwischenwertsatz mindestes und wegen strenger Monotonie höchstens) eine Nullstelle $z_{0}'$. Wegen $f'(z_{0}'\in (-\infty ,z_{M}))>0$ ist $z_{0}'$ einfach.

Da $f(z)$ im Intervall $[z_{M},0]$ überall streng monoton fällt, ist dort $f(0)=q>0$ der kleinste Funktionswert, weswegen $f(z)$ in diesem Intervall keine Nullstelle hat.

Für die Unterfälle 2.2, 2.3 und 2.4 bleibt $f(z)$ noch für $z\in (0,\infty )\Leftrightarrow$ z > 0 auf Nullstellen zu untersuchen.

(Unterfall 2.2) Für $0<q<-f_{0}(z_{m})\quad \Leftrightarrow \quad q+f_{0}(z_{m})<0$ hat $f(z)$ drei einfache Nullstellen, denn...

...$f(0)=q>0$, aber $f(z_{m}>0)=f_{0}(z_{m})+q<0$; also hat $f(z)$ mit Zwischenwertsatz eine Nullstelle im Intervall $(0,z_{m})$. Wegen $f(z_{m})<0$, aber $f(z)>0$ für hinreichend großes $z>z_{m}$ hat $f(z)$ mit Zwischenwertsatz auch eine Nullstelle im Intervall $(z_{m},\infty$). Mit (2) sind die insgesamt drei verschiedenen Nullstellen der Funktion einfach.

Mit (8) hat jede Zwillingsfunktion einer Funktion $f(z)$ des Unterfalls 2.2 ebenfalls drei einfache Nullstellen.

(Unterfall 2.3) Für $0<q=-f_{0}(z_{m})\quad \Leftrightarrow \quad q+f_{0}(z_{m})=f(z_{m})=0$ hat $f(z)$ eine einfache und eine doppelte Nullstelle, denn...

...die gemeinsame Nullstelle $z=z_{m}>0$ von $f(z)$ und $f'(z)$ ist eine mehrfache Nullstellen von $f(z)$. Mit (3) ist $z_{m}$ die doppelte der insgesamt zwei verschiedenen Nullstellen von $f(z)$.

Mit (8) und (3) hat jede Zwillingsfunktion einer Funktion $f(z)$ des Unterfalls 2.3 ebenfalls eine einfache und eine doppelte Nullstelle.

(Unterfall 2.4) Für $0<-f_{0}(z_{m})<q\quad \Leftrightarrow \quad q+f_{0}(z_{m})>0$ hat $f(z)$ genau eine einfache Nullstelle, denn...

...$\operatorname {sgn}(f'(z))$ zeigt mit (7), dass $f(z)$ im Intervall $[0,z_{m}]$ überall streng monoton fällt und im Intervall $[z_{m},\infty )$ überall streng monoton wächst. Daher ist $f(z_{m})=q+f_{0}(z_{m})>0$ der kleinste Funktionswert $f(z)$ im Intervall $[0,\infty )$, weswegen $f(z)$ in diesem Intervall keine Nullstelle hat.

Mit (8) hat jede Zwillingsfunktion einer Funktion $f(z)$ des Unterfalls 2.4 ebenfalls genau eine einfache Nullstelle.

C. Die Bedingungen der Fallunterscheidung für die Parameter $p,q$ lassen sich übersichtlicher darstellen.

Für Unterfall 2.2 bzw. 2.3 ist:

$-f_{0}(z_{m})\geqslant q>0$

$-{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot {\frac {2p}{3}}\geqslant q\quad \mid ^{2}$

Da beide Seiten der Gleichung positiv sind, bleibt das Ungleichheitszeichen bei Quadrierung erhalten.

${\frac {-p}{3}}\cdot {\frac {2^{2}p^{2}}{3^{2}}}\geqslant q^{2}\quad \mid :2^{2}\quad \mid -{\frac {q^{2}}{2^{2}}}\quad \mid \cdot (-1)$

$\Delta :=({\frac {p}{3}})^{3}+({\frac {q}{2}})^{2}\leqslant 0$

$\Delta$ heißt Diskriminante der reduzierten kubischen Gleichung.

Für Unterfall 2.1 ist wegen $p<0,q=0$ ebenfalls $\Delta <0$.

Für Unterfall 2.4 ist:

$q>-f_{0}(z_{m})>0$

$q>-{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cdot {\frac {2p}{3}}\quad \mid ^{2}$

$q^{2}>{\frac {-p}{3}}\cdot {\frac {2^{2}p^{2}}{3^{2}}}\quad \mid :2^{2}\quad \mid -{\frac {q^{2}}{2^{2}}}\quad \mid \cdot (-1)$

$0<({\frac {p}{3}})^{3}+({\frac {q}{2}})^{2}=\Delta$

Für Fall 1 ist wegen $p\geqslant 0$ genau dann $\Delta =0$, wenn $p=q=0$. Für alle anderen $f(z)$ in Fall 1 ist $\Delta >0$.

D. Aus den (Un)gleichungen für $\Delta ,p$ in C. folgt direkt die Anzahl der Nullstellen von $f(z)$ sowie deren jeweilige Ordnung, denn...

(14) ...für die Menge $M$ aller Funktionen $f(z)$ lassen sich vier paarweise disjunkte Teilmengen $M_{i}$, $i=1,2,3,4$ so definieren, dass

$M_{1}$ diejenigen $f(z)$ mit genau einer einfachen Nullstelle,

$M_{2}$ diejenigen mit drei einfachen Nullstellen,

$M_{3}$ diejenigen mit einer einfachen und einer doppelten Nullstelle und

$M_{4}$ diejenigen mit genau einer dreifachen Nullstelle

enthält.

(15) Die Ergebnisse von C. ergeben für die Funktion(en) je einer Menge $M_{i}$ eine einfache Bedingung $B_{i}$ so, dass die $B_{i}$ paarweise unvereinbar sind.

$M_{1}$ enthält alle Funktionen $f(z)$ des Falls 1, $p>0$ und des Unterfalls 2.4. Für diese Funktionen ist $\Delta >0$. ($B_{1}$)

$M_{2}$ enthält alle Funktionen $f(z)$ des Unterfalls 2.1 und des Unterfalls 2.2. Für diese Funktionen ist $\Delta <0$. ($B_{2}$).

$M_{3}$ enthält alle Funktionen $f(z)$ des Unterfalls 2.3. Für diese Funktionen ist $\Delta =0$, $p\neq 0$. ($B_{3}$)

$M_{4}$ enthält ausschließlich die Funktion $f(z)=z^{3}$ des Falls 1. Für diese Funktion ist $\Delta =0$, $p=0$. ($B_{4}$)

Wenn eine Menge $M_{i}$ eine Funktion $f(z)=f_{q>0}(z)$ der Fälle 2.2, 2.3 und 2.4 enthält, dann auch die zugehörige Zwillingsfunktion $f_{-q<0}(z)$. Für eine solche Zwillingsfunktion $f_{-q<0}(z)$ gilt die gleiche Bedingung $B_{i}$ wie für $f_{q>0}(z)$, da der Wert von $\Delta$ nicht vom Vorzeichen von $q$ abhängt.

Damit ist jede Funktion $f(z)\in M$ Element genau einer Menge $M_{i}$.

(16) Sei eine Funktion $f(z)$ vorgegeben. Dann erfüllen deren Parameter $p,q$ genau eine Bedingung $B_{i=j}$. Von allen $f(z)$ erfüllen genau die Elemente von $M_{i=j}$ die Bedingung $B_{j}$. Also ist $f(z)\in M_{j}$, womit die Anzahl der Nullstellen von $f(z)$ und deren jeweilige Ordnung gegeben sind:

Ist $\Delta >0$, so hat $f(z)$ genau eine einfache Nullstelle.

Ist $\Delta <0$, so hat $f(z)$ drei einfache Nullstellen.

Ist $\Delta =0$ und $p\neq 0$, so hat $f(z)$ eine einfache und eine doppelte Nullstelle.

Ist $\Delta =0$ und $p=0$, so hat $f(z)$ genau eine dreifache Nullstelle.

Dies ist bezüglich reeller Nullstellen der auch bei Cardano angegebene Zusammenhang.