Was uns ein Autostau über Luftströmungen verrät

Einleitung 1 Luftdruck - 2 Brown - 3 Gasmodell - 4 Kontinuitätsgleichung - 5 Bernoulli - 6 Flügelprofil - 7 Asymmetrie - 8 Stromlinien - 9 Relativbewegung - 10 Modellvorstellungen

Die Kontinuitätsgleichung

1797 veröffentlicht Giovanni Battista Venturi (1746-1822) seine Untersuchungen zur Fließgeschwindigkeit von Wasser in Rohren mit veränderlichen Querschnitten . Daraus entstand die Kontinuitätsgleichung für die Strömung von kompressiblen und inkompressiblen Flüssigkeiten und Gasen (Fluiden). Die Kontinuitätsgleichung soll an einer Betrachtung zum Autoverkehr verdeutlicht werden.

Wie müssen sich Autofahrer verhalten, um bei einer Verengung einen Stau zu vermeiden?

Man stelle sich eine vierspurige Autobahn vor, auf der es wegen einer Baustelle zu einer Verengung auf zwei Fahrspuren kommt. Wie müssen sich die Autofahrer bei der Halbierung dieser Fahrbahn verhalten um einen Stau zu vermeiden? Es gibt grundsätzlich zwei Möglichkeiten:

1. Bei gleichem Abstand fahren die Autos doppelt so schnell (Vergrößerung der Geschwindigkeit).
2. Bei gleicher Geschwindigkeit verringern die Autos den Abstand untereinander auf die Hälfte (Vergrößerung der Verkehrsdichte).

Natürlich gibt es auch die Kombination aus erhöhter Geschwindigkeit und verringertem Abstand. Ob es Autofahrern auf diese Weise gelingt einen konstanten Verkehrsfluss aufrechtzuerhalten, hängt außerdem vom Sicherheitsabstand und der erreichbaren Höchstgeschwindigkeit ab. Ist die Fahrgeschwindigkeit vor der Baustelle schon nahe der Höchstgeschwindigkeit, kann bei gleichem Abstand die Geschwindigkeit nicht mehr verdoppelt werden. Ist auf der anderen Seite die Verkehrsdichte vor der Baustelle schon sehr hoch, kann der Abstand nicht ausreichend verringert werden, zumindest nicht von verantwortungsvollen Autofahrern, die den Sicherheitsabstand einhalten wollen. D.h. in der Verengung wird der Verkehrsfluss langsamer und vor der Verengung kommt es zu zähfließendem Verkehr oder sogar zu einem Stau mit Stillstand.

Die Luft kennt keinen Stau

Die Luftteilchen dagegen benutzen die beiden oben genannten Möglichkeiten bei der Umströmung eines Hindernisses voll aus. In der Natur gibt es bei Strömungen keinen Stau wie beim Autoverkehr. Was hereinfließt, fließt genauso wieder heraus. Dafür verändert die strömende Luft ihre Geschwindigkeit und Dichte. Das ist die Grundaussage der Kontinuitätsgleichung. In einer Gleichung zusammengefasst sieht das so aus:

$\rho _{1}\cdot v_{1}\cdot A_{1}=\rho _{2}\cdot v_{2}\cdot A_{2}=\rho _{3}\cdot v_{3}\cdot A_{3}$

mit

$\rho$ = Dichte

$v$ = Strömungsgeschwindigkeit

$A$ =Strömungsquerschnittsfläche

Bei Strömungen weit unterhalb der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit verhält sich die Strömungsgeschwindigkeit umgekehrt proportional zum Strömungsquerschnitt

Bei einer Luftströmung verhält es sich so, dass bei kleinen Geschwindigkeiten im Vergleich zur Wellenausbreitungsgeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) vor allem der 1. Effekt (Vergrößerung der Strömungsgeschwindigkeit) bei weitem überwiegt, d.h. die Dichte in der Luftströmung bleibt konstant. Eine Luftströmung verhält sich also ähnlich wie eine Wasserströmung. Das ist nicht selbstverständlich, weil (ruhende) Luft im Gegensatz zu Wasser leicht komprimiert werden kann. Aber strömende Luft verhält sich ungefähr so inkompressibel wie Wasser. Dadurch vereinfacht sich die Kontinuitätsgleichung hin zu der Formulierung durch Venturi, dass sich bei einer Verkleinerung der Strömungsquerschnittsfläche die Strömungsgeschwindigkeit entsprechend vergrößert und umgekehrt. Die Kontinuitätsgleichung einer inkompressiblen Strömung lautet:

$v_{1}\cdot A_{1}=v_{2}\cdot A_{2}=v_{3}\cdot A_{3}$

Erst bei höheren Geschwindigkeiten bekommt der 2. Effekt der Kompressibilität (Vergrößerung der Dichte) zunehmend Einfluss. Um z.B. das Verhalten einer Strömungen nahe der Schallgeschwindigkeit zu beschreiben, ist die Berücksichtigung der Kompressibilität in der Strömung von unverzichtbarer Bedeutung.

Weiterführender Gedanke

Die Schallgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich Schallwellen ausbreiten. In der Luft am Erdboden beträgt die Schallgeschwindigkeit 1.236 km/h. Die Schallgeschwindigkeit nimmt mit der Höhe in der Atmosphäre ab und beträgt z.B. in einer typischen Reiseflughöhe von 10 km nur noch 1076 km/h

Die Schallgeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich Druckänderungen oder Störungen in einem Körper oder Fluid fortbewegen. Von daher kann man sich vorstellen, dass mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit die Information einer Verengung (d.h. die damit verbundene Veränderung der Druck- und Strömungsverhältnisse) immer kurzfristiger bei einem anströmenden Gasvolumen ankommt. Im Fall einer Strömung mit Schallgeschwindigkeit „bemerkt“ ein Gasvolumen erst unmittelbar vor einem Hindernis dessen Existenz. Ein Effekt davon ist die sogenannte Schallmauer.

Aber auch bei Bewegungen unterhalb der Schallgeschwindigkeit treten schon Kompressibilitätseffekte auf, d.h. beim Auftreffen auf ein Hindernis und dem Umströmen wird die Luft nicht nur beschleunigt, sondern sie wird auch komprimiert, wie es in der allgemeinen Formulierung der Kontinuitätsgleichung enthalten ist. In der Fliegerei geht man i. Allg. davon aus, dass für langsame Kleinflugzeuge bis ca. 300 km/h der inkommpressible Ansatz die Strömungsverhältnisse ausreichend genau beschreibt. Mit zunehmender Geschwindigkeit hat die Kompression der Luft einen immer größer werdenden Einfluss. Für die Beschreibung der Strömungsverhältnisse bei Verkehrsflugzeugen mit ca. 900 km/h Reisegeschwindigkeit müssen deswegen stets Kompressibilitätseffekte berücksichtigt werden.