Wie Einstein mal wieder die Welt erklärt

Einleitung 1 Luftdruck - 2 Brown - 3 Gasmodell - 4 Kontinuitätsgleichung - 5 Bernoulli - 6 Flügelprofil - 7 Asymmetrie - 8 Stromlinien - 9 Relativbewegung - 10 Modellvorstellungen

Das mittlere Verschiebungsquadrat

Simulierte Bewegung eines großen Teilchens (gelb) durch Stöße kleiner Teilchen (grau) in ungeordneter Bewegung

Anfang des 20. Jahrhunderts entwickelten unabhängig voneinander die Physiker A. Einstein (1879-1955) und M. Smoluchowski (1872-1917) eine mathematische Theorie zur Beschreibung der Verschiebung größerer Teilchen in einem System von kleinen Teilchen in ungeordneter Bewegung. Der Kernbegriff ist das "mittlere Verschiebungsquadrat". In der abgebildeten Simulation ist dies das Quadrat des geradlinigen Abstands zwischen Anfangs- und Endpunkt der Bewegung des gelben Teilchens.

Man betrachte ein System von vielen kleinen Teilchen in ständiger ungeordneter Bewegung (grau). In diesem befindet sich ein größeres Teilchen (gelb). Ist das große Teilchen hinreichend klein, so werden die Stöße durch die kleineren Teilchen zunehmend unausgeglichen sein, mal werden die Stöße von der einen Seite überwiegen, im nächsten Moment die von einer anderen Seite. Auf diese Weise wird das große Teilchen Stück für Stück von seinem Ursprungsort verschoben.

Nach den Theorien von Einstein, Smoluchowski und später noch einmal von P. Langevin (1872-1946) ist die Länge dieses Verschiebung je größer, desto kleiner das beobachtete Teilchen ist, desto länger der Prozess andauert und desto höher die Temperatur ist, bei dem der Prozess beobachtet wird. Diese mathematische Theorie ließ sich perfekt auf das Phänomen der Brownschen Bewegung anwenden. Es begann eine Zeit der Experimente - vor allem durch J.B. Perrin (1870-1942) - in denen man den Radius kleiner (gelber) Teichen zu bestimmen suchte und ihr mittleres Verschiebungsquadrat vermaß, um so auf Anzahl, Masse und Geschwindigkeit der unsichtbaren (grauen) Atome zu schließen. Die Ergebnisse passten gut zu anderen, weiter unten beschriebenen, Erkenntnissen, was letztlich der Vorstellung von unsichtbaren Atomen als kleinste Teilchen eines Gases zum Durchbruch verhalf.

Die kinetische Gastheorie

Ungeordnete thermische Bewegung

Die Descart'sche Vorstellung von Atomen in Gestalt verschiedener geometrischer Formen mit Haken und Ösen, wurde ersetzt durch das Bild von kleinsten Kugeln in ständiger ungeordneter Bewegung. Mit der nunmehr akzeptierten Deutung der Brownschen Bewegung, verursacht durch die ständige ungeordnete Bewegung von unsichtbaren Atomen, wurde die kinetische Gastheorie entwickelt. Die kinetischen Gastheorie beschreibt ein Ideales Gas auf der Grundlage folgender Annahmen:

1. Die Atome verhalten sich wie kleine elastische Kugeln.
2. Sie sind in ständiger ungeordneter Bewegung, obwohl das Gas äußerlich in Ruhe bleibt.
3. Die einzige Wechselwirkung sind elastische Stöße untereinander und mit den Begrenzungsflächen (sie verhalten sich anschaulich wie Billardkugeln auf einem Billardtisch).
4. Elektrische, magnetische, chemische Wechselwirkungen finden nicht statt.
5. Das Volumen der Atome ist vernachlässigbar klein, mathematisch werden sie als punktförmig angenommen.

Mit diesem einfachen Modell eines Idealen Gases lassen sich viele Phänomene erklären, beobachtbare Gesetzmäßigkeiten herleiten und physikalische Größen quantitativ berechnen. Obwohl die Atome der meisten Gase nicht die Form von Kugeln haben und z.B. elektrische Kräfte zwischen ihnen wirken, verhalten sich viele reale Gase in guter Näherung wie ein Ideales Gas.

Der Gasdruck (qualitativ erklärt)

Die oben gezeigte Animation verdeutlicht die ungeordnete Bewegung der kleinsten Teilchen in einem Idealen Gas. Einige Teilchen sind rot dargestellt, um deren Bewegung besser nachverfolgen zu können. Die Teilchen bewegen sich mit unterschiedlicher Geschwindigkeit in unterschiedliche Richtungen. Wenn sie zusammenstoßen ändern sich Geschwindigkeit und Richtung der Teilchen. Stoßen Teilchen an die Wand so werden sie reflektiert. Diese Reflexion von Teilchen bewirken den Gasdruck auf die Begrenzungsflächen eines Gasvolumens. Man nennt diesen Gasdruck auch "statischen Druck". Man erkennt sofort eine charakteristische Eigenschaft des statischen Drucks, er wirkt gleichmäßig in alle Richtungen, wie es schon das Milchbüchsenbeispiel gezeigt hat.

Es gibt zwei Möglichkeiten, diesen statischen Druck in einem Gas zu verändern.

• Beim Aufblasen eines Luftballon oder Autoreifens werden viel mehr Teilchen pro Volumen zusammengebracht, als sich normalerweise in der Umgebungsluft pro Volumen befinden. Man vergleiche die Teilchendichte in den beiden Animationen, die obere Animation entspricht z.B. einem aufgeblasenen Luftballon, die untere z.B. der Umgebungsluft. Eine andere Möglichkeit die Teilchendichte zu erhöhen besteht übrigens darin, ein abgeschlossenes Volumen zu verkleinern, also zu komprimieren.
  

Bei einer erhöhten Teilchendichte stoßen im gleichen Zeitraum viel mehr Teilchen von innen gegen die Begrenzungswand als von außen, d.h. im Volumen herrscht ein größerer statischer Druck im Vergleich zum umgebenden Luftdruck, also ein Überdruck.

• Beim Erwärmen eines abgeschlossenen Gasvolumens bleibt die Teilchenzahl konstant, aber es wird deren Energie erhöht. Von außen betrachtet erhöht die Energiezufuhr beim Erwärmen die Temperatur, aus Sicht der kinetischen Gastheorie erhöht sich die kinetische Energie der ungeordneten Bewegung.
  

Bei einer erhöhten kinetischen Energie der Teilchen stoßen diese heftiger von innen gegen die Begrenzungswand als von außen, d.h. im Volumen herrscht ein größerer statischer Druck im Vergleich zum umgebenden Luftdruck, also auch ein Überdruck.

Weiterführende Gedanken

Der Gasdruck (quantitativ hergeleitet)

Vereinfachte Betrachtung zur kinetischen Gastheorie

Die in der kinetischen Gastheorie gemachten Annahmen können zu Herleitung einer Formel für den inneren Druck $p$ eines Gases benutzt werden. Dazu muss man wissen, welche Kraft eine Begrenzungswand erfährt, wenn ein Teilchen gegen sie stößt und reflektiert wird. Diese Kraftwirkung ist abhängig von der Masse und der Geschwindigkeit eines Teilchens. Der entscheidende Begriff ist hier der des Impulses (= Produkt aus Masse und Geschwindigkeit). Dazu vereinfacht man zuerst die ungeordnete Bewegung gemäß dem folgendem Bild. Wir betrachten ein quaderförmiges Volumen der Kantenlänge x, in dem sich $N$ Teilchen der Masse $m$ mit der mittleren Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ bewegen, und zwar je 1/6 der Teilchen in jede der 6 Raumrichtungen. Wie groß ist der mittlere Impulsübertrag pro Zeit, wenn alle $1/6N$ Teilchen einmal gegen die Fläche $A$ gestoßen sind?
Ein Teilchen, welches mit ${\bar {v}}$ gegen die Fläche $A$ stößt, wird mit $-{\bar {v}}$ von der Fläche reflektiert. Der Impulsübertrag eines Teilchens durch die Reflexion an der Fläche $A$ ist also

$2m{\bar {v}}$

In dem Volumen bewegen sich 1/6 aller Teilchen in Richtung auf die Fläche $A$. Der Gesamtimpulsübertrag dieser Teilchen ist demnach

${1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}$

Diese Impulsänderung erfolgt in der Zeit $t$, die das am weitest entfernte Teilchen (an der gegenüberliegenden Wand) braucht, um zur Fläche $A$ zu gelangen. Diese Zeit, die das Teilchen mit der Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ braucht, um die Strecke $x$ zurückzulegen ist

$t={x \over {\bar {v}}}$.

Die Kraft $F$, welche die Fläche $A$ erfährt, ist so groß wie der gesamte Impulsübertrag $1/6N2m{\bar {v}}$ dividiert durch die dafür benötigte Zeit $t=x/{\bar {v}}$. Berücksichtigt man, dass man durch einen Bruch dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, erhält man für die Kraft

$F={1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}\cdot {1 \over t}={1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}\cdot {{\bar {v}} \over x}={1 \over 6}N\cdot {2m{\bar {v}}^{2} \over x}$

Der Druck $p$, der von dem Gas auf die Fläche $A$ ausgeübt wird, berechnet sich nach

$p={F \over A}$

Damit erhält man

$p={1 \over 6}N\cdot {2m{\bar {v}}^{2} \over x\cdot A}$

Der Teiler entspricht dem Volumen $V=x\cdot A$ des Würfels

$p={1 \over 6}N\cdot {2m{\bar {v}}^{2} \over V}$

Nach Multiplikation mit $V$

$p\,V={1 \over 6}N\cdot 2m{\bar {v}}^{2}$

Für eine bessere Interpretation formt man die rechte Seite um zu

$p\,V={2 \over 6}N\cdot m{\bar {v}}^{2}={1 \over 3}N\cdot m{\bar {v}}^{2}=={2 \over 3}N\cdot {1 \over 2}m{\bar {v}}^{2}={2 \over 3}N\cdot {\bar {E}}_{kin}$ (GL. 1)

Diese Betrachtung zeigt, das Produkt aus Gasdruck $p$ und Gasvolumen $V$ ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der ungeordneten Bewegung ${\bar {E}}_{kin}$ und zu der Anzahl der Teilchen $N$, vermittelt durch einen Proportionalitätsfaktor 2/3.
Interessant ist an dieser Stelle, dass der Gasdruck $p$ in einem gegebenen Volumen unabhängig von der Masse $m$ der Gasteilchen ist. Der Gasdruck ist nicht proportional zur Dichte $\rho$ des Gases, sondern proportional zur Anzahl $N$ von kleinsten Teilchen, d.h. der Menge des Gases. Schon weit vor der allgemeinen Akzeptanz der kinetischen Gastheorie formulierte A. Avrogado (1776–1856) das nach ihm benannte Avogadrosches Gesetz, wonach alle Gase in gleichen Volumina (bei gleicher Temperatur und gleichem Druck) dieselbe Anzahl kleinster Teilchen enthalten. Das ist nicht selbstverständlich, denn es hat zur Konsequenz, dass gleiche Volumina unterschiedlicher Gase sich in physikalischer Hinsicht gleich verhalten. D.h. in erster Näherung verhalten sich 1 l Sauerstoff oder 1 l Stickstoff oder 1 l Luft - bei gleichem Druck und gleicher Temperatur - physikalisch gleich. Man braucht z.B. zwischen reinen Gasen und Gasgemischen nicht zu unterscheiden, zumindest solange die Annahmen der kinetischen Gastheorie hinreichend erfüllt werden.
Die kinetische Gastheorie zeigt als weitere Konsequenz, dass sich schwerere Teilchen bei gleicher Temperatur entsprechend langsamer bewegen müssen als leichte Gasteilchen, und zwar so, dass sie bei ihren Stößen auf eine Begrenzungswand denselben Druck ausüben.
Um die gefundene Beziehung weiter zu interpretieren und mit der beobachtbaren Erfahrung zu verknüpfen, braucht man einen Zusammenhang zwischen der mikroskopisch mittleren kinetischen Energie der ungeordneten Teilchenbewegung ${\bar {E}}_{kin}$ und der makroskopisch messbaren Temperatur $T$.

Die Verknüpfung von innerer Energie und Temperatur eines Gases

Insbesondere J.C. Maxwell (1831-1879) beschäftigte sich mit der Geschwindigkeitsverteilung der kleinsten Teilchen in einem Idealen Gas und formulierte, dass bei gegebener Temperatur die gesamte kinetische Energie eines Idealen Gases das Produkt der Freiheitsgrade eines Systems mit einer universellen Konstante sein müsse. Ein Gas mit als kugelförmig betrachteten Teilchen besitzt z.B. 3 Freiheitsgrade, weil sich die Energie auf 3 Bewegungsrichtungen verteilen kann.
L. Boltzmann (1844-1906) entwickelte diese statistische Betrachtung weiter und stellte für die mittlere kinetische Energie eines einatomigen Gases den Zusammenhang mit der makroskopisch messbaren Temperatur T fest.

${1 \over 2}m{\bar {v}}^{2}=3\cdot {1 \over 2}k_{B}T$ (Gl. 2)

Die Boltzmann-Konstante $k_{B}$ ist der Proportionalitätsfaktor zwischen der mikroskopischen Energie und der makroskopischen Temperatur und gehört zu den Fundamentalkonstanten in der Physik.
Die Summe der kinetischen Energie der ungeordneten Bewegung bezeichnet man als die „innere Energie“ $U$ des Systems. Sie ist proportional zu der Temperatur T des Systems und der Menge N an Gasteilchen.

$U=N\cdot {1 \over 2}m{\bar {v}}^{2}={3 \over 2}Nk_{B}T$

Zustandsgleichung von Gasen

Die aus der kinetischen Gastheorie hergeleiteten Gl. 1 und Gl. 2 kann man verknüpfen und erhält eine Gleichung in der nur noch makroskopische (messbare) Größen enthalten sind

$p\,V=N\,k_{B}\,T$ (Gl. 3)

dabei ist

$p$ = statischer Druck, innerer allseitiger Druck des Gases

$V$ = Volumen des Gases

$N$ = Anzahl der Gasteilchen im Volumen

$T$ = Temperatur in °Kelvin

$k_{B}\,T$ = Größe des typischen zufälligen Energieaustauschs zwischen zwei stoßenden Teilchen

Diese Gleichung beschreibt ganz allgemein das Verhältnis von Druck, Volumen und Temperatur einer gegebenen Menge von N Gasteilchen. Diese Gleichung ist unabhängig von der konkreten Gasart, solange das Gas den Annahmen des Idealen Gases hinreichend entspricht. Weil die Anzahl der Teilchen sehr groß ist benutzt man im Allgemeinen die größere Einheit $mol$ für die Stoffmenge. Ein $mol$ eines Gases nimmt bei Normalbedingungen ($p_{0}$ = 1013,25 hPa und $T_{0}$ = 273,15 K, bzw. 0°C) ein Volumen von 22,414 l ein und enthält darin

$N_{A}=6{,}022\,140\,76\cdot 10^{23}\,\,[\mathrm {mol} ^{-1}]$

Teilchen. Diese Zahl wird auch Avogadro-Konstante genannt. Man bezeichnet mit $n$ die Anzahl der $mole$, also

$n={\frac {N}{N_{A}}}\,\,[\mathrm {mol} ]$ bzw. $N=n\,N_{A}\,\,[\mathrm {mol} ]$

Damit erhält man die oft verwendete Schreibweise für die thermische Zustandsgleichung idealer Gase, die sogenannte allgemeine Gasgleichung

$p\,V=n\,N_{a}\,k_{B}\,T$

$p\,V=n\,R\,T$ (Gl. 4)

dabei ist

$R=N_{A}\,k_{B}=8{,}31447~[{\frac {\mathrm {J} }{{\mathrm {mol} }\cdot \mathrm {K} }}]$

n = Anzahl der Mole

Der entstandene Proportionalitätsfaktor wird universelle Gaskonstante $R$ genannt. Er bezeichnet anschaulich die Energiemenge pro $mol$ und ° Temperaturänderung. $R$ hat für alle Gase denselben Wert, welche den Annahmen der kinetischen Gastheorie entsprechen. Die universelle Gaskonstante kann für viele reale Gase in einem großem Druck- und Temperaturbereich mit guter Genauigkeit angewandt werden.

Die allgemeine Gasgleichung beschreibt das Verhalten vieler Gase, weil sie sich auf gleiche Mengen bezieht, d.h. - bei derselben Temperatur und demselben Druck - auf gleiche Volumina bzw. gleiche Teilchenanzahl. Konkret heißt das, dass bei gleichem Druck (z.B. Umgebungsdruck) und gleicher Temperatur (z.B. 127 °C (ca. 400 K) sich 1 l Wasserstoffgas - in physikalischer Hinsicht - genauso verhält wie 1 l Wasserdampf weil 1 l Wasserstoffgas genauso viele Teilchen enthält wie 1 l Wasserdampf.

Das gilt aber nicht, wenn man sich stattdessen auf gleiche Massen bezieht. Z.B. hat 1 kg Wasserstoffgas bei 100 °C (ca. 373 K) und Umgebungsdruck ein Volumen von ca. 17.000 l, während 1 kg Wasserdampf unter denselben Bedingungen nur ein Volumen von ca. 1.600 l einnimmt, also aus viel weniger aber schwereren Teilchen besteht. Um aus der allgemeinen Gasgleichung die thermische Zustandsgleichung eines speziellen Gases zu erhalten, ersetzt man die Anzahl der Mole n durch die aktuelle Masse $m$, dividiert durch die Masse eines Mols $M$

$p\,V=n\,R\,T$

$p\,V={\frac {m}{M}}\,R\,T$

$p\,V=m\,{\frac {R}{M}}\,T$

Damit erhält man die thermische Zustandsgleichung eines speziellen Gases

$p\,V=m\,R_{s}\,T$ (Gl. 5)

dabei ist

$R_{s}={\frac {R}{M}}$ = stoffspezifische Gaskonstante

Der Proportionalitätsfaktor $R_{s}$ wird spezielle Gaskonstante bezeichnet. $R_{s}$ hat für jedes Gas einen anderen Wert. Die spezifische Gaskonstante eines Gases erhält man durch Division der universellen Gaskonstante $R$ mit der Molaren Masse $M$ des Gases. Die universellen Gaskonstante $R$ bezeichnet anschaulich die Energiemenge pro $kg$ und ° Temperaturänderung.