Vektoranalysis: Teil II

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Skalare und vektorielle Felder und Feldgrößen

Ein physikalisches Feld ist – wie eingangs schon erklärt – ein Teilgebiet des Raumes, in welchem in jedem Punkt eine eindeutig bestimmte skalare oder vektorielle physikalische Größe (»Feldgröße« genannt) anzutreffen ist.

Bei Skalarfeldern ist die (skalare) Feldgröße U eine skalare Funktion des Ortsvektors r des betrachteten Punktes P:

$U=U({\vec {r}})=U(x,y,z).$

Beispiele für skalare Feldgrößen aus der Physik sind Druck und Temperatur in der Atmosphäre, das Gravitationspotential in der Umgebung einer Masse (z. B. der Erde), das Potential in der Umgebung eines elektrisch geladenen Körpers, die Lautstärke in einem Schallfeld.

Bei Vektorfeldern ist die (vektorielle) Feldgröße V eine Vektorfunktion von r:

${\vec {V}}={\vec {V}}({\vec {r}})={\vec {V}}(x,y,z).$

Beispiele für vektorielle Feldgrößen sind die elektrische und die magnetische Feldstärke, die Gravitationsfeldstärke, die Geschwindigkeit von Gasen und Flüssigkeiten in Strömungsfeldern.

Ein wichtiges Beispiel für ein Vektorfeld und ein Skalarfeld

Die elektrische Feldstärke E im Feld einer punktförmigen elektrischen Ladung vom Betrag Q, die sich in O befindet, ist

${\vec {E}}({\vec {r}})={\frac {1}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{3}}}{\vec {r}}.$

Das Potential φ eines Punktes P in einem beliebigen elektrischen Feld ist definiert als die »ladungsbezogene Arbeit« W/q, die aufzuwenden ist, um die Ladung q aus unendlicher Entfernung zu dem Punkt P zu bringen. (Ein Punkt eines Feldes besitzt nur dann ein definiertes Potential, wenn diese Arbeit vom Weg unabhängig ist, auf dem die Ladung nach P gebracht wird. – Dieses Problem wird später noch genauer untersucht.) Also:

${\mbox{Potential}}\;\varphi ={\frac {W}{q}}.$

Diese Definition gilt analog auch für das Potential eines Gravitationsfeldes, wobei lediglich q durch die Masse m des bewegten Körpers zu ersetzen ist.

Für das oben beschriebene zentralsymmetrische elektrische Feld, in dem – wie später gezeigt wird – jedem Punkt ein Potential zugeordnet werden kann, errechnet man die Arbeit durch eine Integration:

$W=\int \limits _{\infty }^{r}{{\vec {F}}\,\operatorname {d} {\vec {s}}}.$

Da in diesem Feld die Arbeit vom gewählten Weg unabhängig ist, denken wir uns die Ladung q einfach radial nach innen bewegt, wobei dann Kraft- und Wegvektor gleich- oder entgegengesetzt gerichtet sind. Allerdings ist der Vektor ds dem Vektor dr entgegengesetzt gerichtet, da die Bewegung in Richtung abnehmendem r erfolgt: ds = - dr.

In einem Punkt mit der Feldstärke E erfährt die Ladung q eine Kraft vom Betrag F = E q, also ist

$W=-\int \limits _{\infty }^{r}{F\,\operatorname {d} r}=-{\frac {q\,Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\int \limits _{\infty }^{r}{{\frac {1}{r^{2}}}\operatorname {d} r}={\frac {q\,Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}\left|{\frac {1}{r}}\right|_{\infty }^{r}={\frac {q\,Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r}}.$

Damit erhalten wir für das Potential

$\varphi ={\frac {W}{q}}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r}}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.$

Da das Potential (definitionsgemäß) ein Skalar ist, ist das Potentialfeld ein Skalarfeld.

Für r = konst. ist auch φ = konst. Die Punkte gleichen Potentials liegen also auf einer Kugelfläche um O. Die »Äquipotentialflächen« oder »Niveauflächen« dieses Feldes sind also Kugeln (siehe Abbildung). Das elektrische Potential wird in Volt (V) gemessen.

Äquipotentialflächen einer Kugelladung

 

Anstieg und Steigung einer skalaren Feldgröße

Wir begeben uns nun zu einem Punkt P(x, y, z) eines Skalarfeldes mit der Feldgröße U(r) und fragen zunächst nach dem Anstieg ΔU der Feldgröße auf der Strecke Δs und dann nach der mittleren Steigung ΔU/Δs der Feldgröße auf derselben Strecke. (Die Feldgröße könnte z. B. die Temperatur, der Luftdruck oder das Potential eines Feldes sein. )

Dazu brauchen wir zunächst die Steigung der Feldgröße in Richtung der drei Koordinatenachsen.

Die Differentialrechnung liefert für die Steigung der Feldgröße U in Richtung der drei Koordinatenachsen im Punkt P:

${\frac {\partial U}{\partial x}}={\lim _{\Delta x\to 0}}{\frac {\Delta U}{\Delta x}}\quad y,\;z\;\;{\mbox{konst}}{\mbox{.}}$

${\frac {\partial U}{\partial y}}={\lim _{\Delta y\to 0}}{\frac {\Delta U}{\Delta y}}\quad x,\;z\;\;{\mbox{konst}}{\mbox{.}}$

${\frac {\partial U}{\partial z}}={\lim _{\Delta z\to 0}}{\frac {\Delta U}{\Delta z}}\quad x,\;y\;\;{\mbox{konst}}{\mbox{.}}$

Der Anstieg ΔU der Feldgröße U längs einer Strecke Δ s = (Δx   Δy   Δz) ist dann - dies ist ebenfalls ein Ergebnis der Differentialrechnung - für hinreichend kleine Δx, Δy, Δz

$\Delta U\approx {\frac {\partial \,U}{\partial \,x}}\,\Delta \,x+{\frac {\partial \,U}{\partial \,y}}\,\Delta \,y+{\frac {\partial \,U}{\partial \,z}}\Delta \,z,$

und die mittlere Steigung ΔU/Δs der Feldgröße U auf der Strecke Δ s ist

${\frac {\Delta U}{\Delta s}}\approx {\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\Delta x}{\Delta s}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {\Delta y}{\Delta s}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\frac {\Delta z}{\Delta s}}.$

Die Quotienten Δx/Δs, Δy/Δs, Δz/Δs sind die Richtungskosinus des Vektors Δ s:

${\frac {\Delta x}{\Delta s}}=\cos \alpha ,\quad {\frac {\Delta y}{\Delta s}}=\cos \beta ,\quad {\frac {\Delta z}{\Delta s}}=\cos \gamma .$

Sie sind vom Betrag Δs des Vektors Δs unabhängig und bleiben auch für Δs gegen null unverändert. Sie sind die skalaren Komponenten des Einheitsvektors e_Δs, der dieselbe Richtung hat wie Δ s:

${\overrightarrow {e}}_{\Delta {\overrightarrow {s}}}={\begin{pmatrix}{\cos \alpha }&{\cos \beta }&{\cos \gamma }\end{pmatrix}}$

Damit wird

${\frac {\Delta U}{\Delta s}}\approx {\frac {\partial U}{\partial x}}\cos \alpha +{\frac {\partial U}{\partial y}}\cos \beta +{\frac {\partial U}{\partial z}}\cos \gamma .$

Daraus ergibt sich für Δs gegen null die Steigung der Feldgröße U in Richtung Δs:

${\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} s}}=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta U}{\Delta s}}={\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} s}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} s}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} s}}$

oder

${\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} s}}={\frac {\partial U}{\partial x}}\cos \alpha +{\frac {\partial U}{\partial y}}\cos \beta +{\frac {\partial U}{\partial z}}\cos \gamma .$

 

Richtungsableitung und Gradient einer skalaren Feldgröße

Der soeben gefundene Term für die Steigung der Feldgröße U in der durch den Vektor (cos α  cos β  cos γ) beschriebenen Richtung kann interpretiert werden als das Skalarprodukt des Vektors

${\overrightarrow {v}}={\frac {\partial U}{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\overrightarrow {k}}$

und des Vektors

${\overrightarrow {\operatorname {e} }}_{\Delta {\overrightarrow {s}}}={\overrightarrow {i}}\cos \alpha +{\overrightarrow {j}}\cos \beta +{\overrightarrow {k}}\cos \gamma .$

Der Vektor v hat bemerkenswerte, für die Untersuchung von Feldern sehr nützliche Eigenschaften, weshalb er einen eigenen Namen erhalten hat: Gradient U (grad U). (»Gradient« ist ein aus einem lateinischen Stamm abgeleitetes Kunstwort, das man etwa mit »Steigungszeiger« übersetzen könnte.) Damit gilt für die so genannte Richtungsableitung der Feldgröße U in der Richtung des Vektors (cos α  cos β  cos γ)

${\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} s}}=\operatorname {grad} \,U\cdot {\overrightarrow {\operatorname {e} }}_{\Delta {\overrightarrow {s}}}=\operatorname {grad} \,U\cdot \left({{\overrightarrow {i}}\cos \alpha +{\overrightarrow {j}}\cos \beta +{\overrightarrow {k}}\cos \gamma }\right).$

Die besonderen Eigenschaften des Vektors grad U ergeben sich so:

Das Skalarprodukt zweier Vektoren v und w ist gleich dem Produkt ihrer Beträge v und w und dem Kosinus des Winkels δ zwischen den beiden Vektoren:

${\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {w}}=v\,w\,\cos \delta .$

Bei gegebenen Werten von v und w ist der Wert des Skalarprodukts maximal (nämlich gleich u v), wenn δ = 0 ist. Die Richtungsableitung (= Steigung) der Feldgröße U ist also dann am größten, wenn der Vektor e_Δs (oder der Vektor Δ s) dieselbe Richtung wie der Vektor grad U hat. Anders herum gesagt:

Der Vektor grad U weist in die Richtung, in der die Feldgröße U die größte Steigung hat (am stärksten steigt).

Steht dagegen der Vektor e_Δs auf dem Vektor grad U senkrecht, dann ist dU/ds = 0. Das bedeutet, der Vektor e_Δs liegt in der Tangentialebene der Niveaufläche U = konst. des betrachteten Punktes P. Daraus folgt:

Der Vektor grad U steht auf der Niveaufläche durch den Punkt P senkrecht.

Ferner: Der Maximalwert der Steigung (oder der Richtungsableitung) ist der Maximalwert des obigen Skalarprodukts:

$\left({\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} s}}\right)_{\max }=\left|{\operatorname {grad} \,U}\right|\cdot \left|{{\overrightarrow {\operatorname {e} }}_{\Delta {\overrightarrow {s}}}}\right|=\left|{\operatorname {grad} \,U}\right|.$

Das bedeutet: Der Betrag des Vektors grad U ist gleich dem Maximalwert der Steigung der Feldgröße im betrachteten Punkt.

 

Beispiel: Gesucht ist der Gradient des Potentials φ einer elektrischen Punkt- (oder Kugel-)ladung Q.

Für das Potential gilt, wie früher gezeigt wurde,:

$\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r}}={\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}.$

Die partiellen Ableitungen werden am einfachsten nach der Kettenregel gebildet:

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{2}}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{3}}}x\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

$\operatorname {grad} \,\varphi =-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{3}}}\left({x{\overrightarrow {i}}+y{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}}\right)=-{\frac {Q}{4\pi \,\varepsilon _{0}r^{3}}}{\overrightarrow {r}}=-{\overrightarrow {E}}.$

 

Rechengesetze für Gradienten

Es seien U, U₁ und U₂ skalare Ortsfunktionen, und C eine reelle Zahl. Dann gelten, wie man leicht zeigen kann, folgende Rechengesetze:

$\operatorname {grad} \,{\mbox{C}}=0$

$\operatorname {grad} \,\left({{\mbox{C}}U}\right)={\mbox{C}}\,{\mbox{grad}}\,U$

$\operatorname {grad} \,\left({U_{1}\pm U_{2}}\right)=\operatorname {grad} \,U_{1}\pm \operatorname {grad} \,U_{2}$

$\operatorname {grad} \,\left({U_{1}\,U_{2}}\right)=\left({\operatorname {grad} \,U_{1}}\right)U_{2}+U_{1}\,\operatorname {grad} \,U_{2}$

$\operatorname {grad} \,U^{\mbox{n}}={\mbox{n}}\,U^{{\mbox{n}}-1}\operatorname {grad} \,U$

$\operatorname {grad} \,f(U)={\frac {\operatorname {df} (U)}{\operatorname {d} U}}\operatorname {grad} \,U$

 

Potentialfelder

Die Physik lehrt, dass elektrostatische Felder und stationäre Gravitationsfelder - unabhängig von der Anzahl und der Anordnung der Ladungen bzw. Massen, die das Feld aufbauen - so genannte Potentialfelder sind. Das bedeutet: Um eine Ladung q bzw. eine Masse m aus unendlicher Entfernung zu einem bestimmten Punkt P des Feldes zu bringen, ist eine (positive oder negative) Arbeit aufzuwenden, die unabhängig von dem Weg ist, auf dem die Ladung bzw. die Masse transportiert wird.

Da die aufzuwendende Arbeit proportional der Ladung bzw. Masse ist, erhält man eine nur von der Lage des Punktes P abhängige skalare Größe, wenn man die Arbeit durch die Ladung bzw. Masse dividiert. Diese Größe, also die »ladungs- bzw. massebezogene Arbeit«, heißt das Potential φ des Punktes P:

${\mbox{Potential}}\;\varphi (P)=\varphi ({\overrightarrow {r}})={\frac {W}{q}}\;\;{\mbox{bzw}}{\mbox{.}}\;\;{\frac {W}{m}}.$

Potential und Feldstärke

Der Vektor der Feldstärke ist definiert als die ladungs- bzw. massebezogene Kraft, die eine Ladung q bzw. eine Masse m in einem Punkt des Feldes erfährt:

${\text{Elektrische Feldst}}\mathrm {\ddot {a}} {\text{rke}}\quad {\overrightarrow {E}}={\frac {\overrightarrow {F}}{q}},$

$\mathrm {Gravitationsfeldst{\ddot {a}}rke} \quad {\overrightarrow {g}}={\frac {\overrightarrow {F}}{m}}.$

Wegen der formalen Übereinstimmung der entsprechenden Gleichungen für das elektrische Feld und das Gravitationsfeld und wegen der sich dadurch anbietenden Vereinfachung bezeichne ich im Folgenden die Feldstärke allgemein und neutral mit V. Die Größe q kann fortan sowohl eine elektrische Ladung als auch eine »schwere Ladung«, das heißt eine Masse, bedeuten.

In einem Punkt A des Feldes habe das Potential den Wert φ_A, in einem Punkt B den Wert φ_B. Dann ist der Potentialunterschied der beiden Punkte

$\Delta \varphi _{AB}=\varphi _{B}-\varphi _{A}={\frac {W_{B}}{q}}-{\frac {W_{A}}{q}}={\frac {\Delta W_{AB}}{q}}.$

Dabei ist ΔW_AB die Arbeit, die aufzuwenden ist, um die Ladung Q von A nach B zu transportieren. Für sie gilt:

$\Delta W_{AB}\approx {\overrightarrow {F}}_{A}\cdot \Delta {\overrightarrow {r}}_{AB}={\overrightarrow {F}}_{A}\cdot \left({{\overrightarrow {r}}_{B}-{\overrightarrow {r}}_{A}}\right),$

wobei F_A die in A auf die Ladung wirkende Kraft sein soll. Damit wird

$\Delta \varphi _{AB}\approx {\frac {{\overrightarrow {F}}_{A}\cdot \Delta {\overrightarrow {r}}_{AB}}{q}}.$

Da die »arbeitende Kraft« der vom Feld auf die Ladung ausgeübte »Feldkraft« F_Feld entgegengesetzt gleich und andererseits F_Feld/q gleich der Feldstärke V ist, folgt

$\Delta \varphi _{AB}\approx -{\overrightarrow {V}}_{A}\cdot \Delta {\overrightarrow {r}}_{AB}=$

$=-\left({V_{x}{\overrightarrow {i}}+V_{y}{\overrightarrow {j}}+V_{z}{\overrightarrow {k}}}\right)\left({\Delta x_{AB}{\overrightarrow {i}}+\Delta y_{AB}{\overrightarrow {j}}+\Delta z_{AB}{\overrightarrow {k}}}\right)=$

$=-\left({V_{x}\Delta x_{AB}+V_{y}\Delta y_{AB}+V_{z}\Delta z_{AB}}\right),$

wobei Vx usw. die Komponenten des Vektors V an der Stelle A sind.

Wählt man Δr_AB so, dass Δy_AB = Δz_AB = 0 ist, dann wird daraus

$\Delta \varphi _{AB}\approx -V_{x}\Delta x_{AB}\quad {\mbox{und}}\quad {\frac {\Delta \varphi _{AB}}{\Delta x_{AB}}}\approx -V_{x}.$

Lässt man B unbeschränkt gegen A rücken, so wird

$\lim _{{B}\to {A}}{\frac {\Delta \varphi _{AB}}{\Delta x_{AB}}}=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{A}=-V_{x}.$

Analog findet man

$\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{A}=-V_{y}\quad {\mbox{und}}\quad \left({\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)_{A}=-V_{z}.$

Daraus folgt weiter (jetzt ohne Indices geschrieben):

${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\overrightarrow {k}}=-V_{x}{\overrightarrow {i}}-V_{y}{\overrightarrow {j}}-V_{z}{\overrightarrow {k}}=-{\overrightarrow {V}}.$

Der Term auf der linken Seite aber ist der Vektor grad φ. Daher gilt für jedes beliebige Potentialfeld

$\operatorname {grad} \,\varphi =-{\overrightarrow {V}}.$

Umgekehrt gelesen:

Der Feldstärkevektor eines jeden Potentialfeldes ist gleich dem negativen Gradienten des Potentials.

 

Verschiebungsarbeit in einem Potentialfeld

In einem Potentialfeld werde eine Ladung q gegen die Kraft des Feldes von A nach B verschoben. Die dazu aufzuwendende Arbeit ist

$W=\int \limits _{A}^{B}{{\overrightarrow {F}}\cdot \operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}$

und wegen

${\overrightarrow {F}}=-q\,{\overrightarrow {V}}=q\,\operatorname {grad} \,\varphi$

$W=q\int \limits _{A}^{B}{\operatorname {grad} \,\varphi \cdot \operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}$

$=q\int \limits _{A}^{B}{\left({{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\overrightarrow {k}}}\right)\left({\operatorname {d} x\,{\overrightarrow {i}}+\operatorname {d} y\,{\overrightarrow {j}}+\operatorname {d} z\,{\overrightarrow {k}}}\right)}$

$=q\int \limits _{A}^{B}{\left({{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\operatorname {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\operatorname {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\operatorname {d} z}\right)}=q\int \limits _{A}^{B}{\operatorname {d} \varphi }=q\left({\varphi _{B}-\varphi _{A}}\right).$

(Der Integrand ist das vollständige Differential dφ des nur vom Ort abhängigen Potentials φ = φ(x, y, z).)

Also:

$W=\int \limits _{A}^{B}{{\overrightarrow {F}}\cdot \operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}=q\left({\varphi _{B}-\varphi _{A}}\right).$

Die Arbeit W hängt also nur vom Potential des Anfangs- und Endpunktes des Weges ab, nicht aber vom Verlauf des Weges; das entsprechende Linienintegral ist »wegunabhängig«.

Wird die Ladung q zunächst auf einem beliebigen Weg von A nach B gebracht und danach auf einem anderen Weg von B zurück nach A, so ist

$W_{AB}=q\left({\varphi _{B}-\varphi _{A}}\right)\quad {\mbox{und}}\quad W_{BA}=q\left({\varphi _{A}-\varphi _{B}}\right)$

und daher

$\,W_{ABA}=W_{AB}+W_{BA}=0.$

Das heißt: Das Linienintegral wird null, wenn man es über einen geschlossenen Weg bildet.

$\oint {{\mathbf {F} }\cdot \operatorname {d} {\mathbf {r} }=0}$

Zusammenfassung:

In einem Vektorfeld,

• zu dem ein Potentialfeld gehört,

• oder, was dasselbe ist, dessen Feldvektor der negative Gradient eines Skalarfeldes ist,

ist das Arbeitsintegral über einen geschlossenen Weg gleich null.

Das bedeutet, dass man durch Herumführen einer Ladung auf einem geschlossenen Weg weder Arbeit gewinnen kann noch Arbeit investieren muss.

Ein solches Vektorfeld und die in ihm auf eine Ladung ausgeübte Kraft heißen konservativ.

 

Welche Bedingungen muss der Feldvektor V erfüllen, damit er der negative Gradient eines Skalarfeldes mit der Feldfunktion U(x, y, z) sein kann?

Wenn

${\mathbf {V} }\equiv {\begin{pmatrix}{V_{x}}&{V_{y}}&{V_{z}}\end{pmatrix}}=-\,\operatorname {grad} \;U\equiv -{\begin{pmatrix}{\frac {\partial U}{\partial x}}&{\frac {\partial U}{\partial y}}&{\frac {\partial U}{\partial z}}\\\end{pmatrix}}$

sein soll, muss

$V_{x}={\frac {\partial U}{\partial x}},\quad V_{y}={\frac {\partial U}{\partial y}},\quad V_{z}={\frac {\partial U}{\partial z}}$

sein. Diese Forderung ist keineswegs selbstverständlich oder trivial, denn V_x, V_y und V_z können im Allgemeinen drei von einander völlig unabhängige Funktionen sein.

Nach dem Satz von SCHWARZ muss

${\frac {\partial \left({\frac {\partial U}{\partial x}}\right)}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial ^{2}U}{\partial x\;\partial y}}={\frac {\partial \left({\frac {\partial U}{\partial y}}\right)}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y\;\partial x}},$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial y\;\partial z}}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial z\;\partial y}}$

und

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial z\;\partial x}}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x\;\partial z}}$

sein. Das heißt: Bei der Bildung der zweiten partiellen Ableitung nach verschiedenen Variablen ist die Reihenfolge beliebig.

Auf unser Problem angewendet, bedeutet das: Wenn der Feldvektor V der negative Gradient eines Skalarfeldes mit der Feldfunktion U sein soll, muss

${\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}={\frac {\partial V_{y}}{\partial x}},\quad {\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}={\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}\quad {\mbox{und}}\quad {\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}={\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}$

sein. Dann und nur dann ist (V_x dx + V_y dy + V_z dz) das vollständige Differential dU einer Funktion U, und nur dann kann daraus durch Integration eine Funktion U bestimmt werden, deren negativer Gradient dann der Vektor V ist. (Und nur dann ist auch der Wert des Arbeitsintegrals vom Weg unabhängig.)

Später wird sich zeigen, dass die oben beschriebene Bedingung identisch ist mit der Forderung, dass das Feld mit dem Feldvektor V wirbelfrei ist, (d. h., dass überall rot V = 0 ist.)

Beispiel:

Der Feldvektor

${\overrightarrow {V}}={\frac {1}{r^{3}}}{\overrightarrow {r}}={\frac {1}{\left({x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)^{\frac {3}{2}}}}{\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}$

erfüllt – wie man leicht durch Rechnung bestätigen kann - die oben beschriebene »Integrabilitätsbedingung«, und es ist

$U={\frac {1}{r}}+{\mbox{C}}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}+{\mbox{C}}{.}$

 

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