Vektoralgebra: Vektoren in kartesischen Basissystemen

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Einleitung • Addition und Subtraktion von Vektoren • Multiplikation von Vektoren • Vektoren in kartesischen Basissystemen • Geometrische Anwendungen von Vektoren

Einführung eines kartesischen Basissystems

Drei aufeinander senkrechte Einheitsvektoren (Vektoren vom Betrag 1, die durch eine beliebig gewählte Strecke dargestellt werden), bilden die Basis B{e₁, e₂, e₃} eines kartesischen oder orthonormalen »Basissystems«. Dieses entsteht aus der Basis durch geradlinige Verlängerung der Basisvektoren in beiden Richtungen. Die Basisvektoren bilden in der genannten Reihenfolge ein Rechtssystem.

Abb. 4.1

Die Richtung der Basis zur Zeichenebene ist beliebig wählbar.

Wir betrachten nun einen beliebig im Raum gelegenen Vektor V, den wir zunächst parallel zu sich selbst verschieben, sodass sein Fußpunkt im Ursprung O der Basis zu liegen kommt. Auf die folgenden Überlegungen hat die Parallelverschiebung keinen Einfluss.

Abb. 4.2

Die (senkrechten) Projektionen V₁, V₂, V₃ des Vektors V auf die Achsen des Basissystems heißen seine vektoriellen Komponenten, deren Beträge heißen seine skalaren Komponenten im gegebenen Basissystem. Durch seine skalaren oder seine vektoriellen Komponenten ist der Vektor im Basissystem eindeutig beschrieben:

${\boldsymbol {V}}=\left({V_{1},\,V_{2},\,V_{3}}\right)={\boldsymbol {V}}_{1}+{\boldsymbol {V}}_{2}+{\boldsymbol {V}}_{3}=V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}.$

Eine zweite Möglichkeit, den Vektor zu beschreiben, ist die Angabe seines Betrages und der drei Winkel (»Richtungswinkel«) φ₁, φ₂, φ₃, die er mit den Basisvektoren bildet:

${\boldsymbol {V}}=(V,\,\,\varphi _{1},\,\,\varphi _{2},\,\,\varphi _{3}).$

Abb. 4.3

Für die Richtungswinkel gilt die beim Skalarprodukt getroffene Verabredung: Die Winkel sind nicht gerichtet und es gilt

$0\leqslant \varphi _{i}\leqslant \pi ,\quad i=1,2,3.$

Zwischen den skalaren Komponenten und den »Richtungskosinus« besteht – wie man der Abbildung 4.3 entnehmen kann - folgender Zusammenhang:

(4.1)

${\frac {V_{1}}{V}}=\cos \varphi _{1},\quad {\frac {V_{2}}{V}}=\cos \varphi _{2},\quad {\frac {V_{3}}{V}}=\cos \varphi _{3}.$

Wegen

(4.2)

$V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}=V^{2}$

ist

(4.3)

$\cos ^{2}\varphi _{1}+\cos ^{2}\varphi _{2}+\cos ^{2}\varphi _{3}=1.$

 

Rechnen mit Vektoren in Komponentendarstellung

Summe und Differenz zweier Vektoren

Es sei

${\boldsymbol {V}}=\left({V_{1},\,\,V_{2},\,\,V_{3}}\right)\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {W}}=\left({W_{1},\,\,W_{2},\,\,W_{3}}\right).$

Dann ist

${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {V}}\pm {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\pm \left({W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)$

und wegen der Assoziativ- und Distributivgesetze

(4.4)

${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {V}}\pm {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}\pm W_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({V_{2}\pm W_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({V_{3}\pm W_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}.$

 

Übung 4.1:

Gegeben V = (V₁, V₂, V₃) und W = (W₁, W₂,W₃). Berechnen Sie die skalaren Komponenten des Vektors U = V + W, sowie seinen Größenwert und seine Richtungskosinus cos ψ_i (i = 1, 2, 3).

Skalarprodukt zweier Vektoren

Aus der Definition des Skalarprodukts ergibt sich für die Skalarprodukte von je zwei Basisvektoren

(4.5)

${\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}=1$

und

(4.6)

${\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{2}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{3}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}=0.$

Unter Verwendung des KRONECKER-Symbols δ_ik, für das gilt

(4.7)

$\delta _{ik}=\left\{{\begin{matrix}\;0\quad {\mbox{wenn}}\quad i\neq k\\\;1\quad \,{\mbox{wenn}}\quad i=k\end{matrix}}\right.,$

kann man dafür einfach schreiben

(4.8)

${\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {e}}_{k}=\delta _{ik}.$

Für das Skalarprodukt von V und W gilt dann

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\cdot \left({W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)$

und wegen des Distributivgesetzes

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{1}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{1}W_{3}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\cdot {\boldsymbol {e}}_{3}}\right)+\cdots \quad {\mbox{oder}}\\\\{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{1}\delta _{11}+V_{1}W_{2}\delta _{12}+V_{1}W_{3}\delta _{13}+V_{2}W_{1}\delta _{21}+V_{2}W_{2}\delta _{22}+V_{2}W_{3}\delta _{23}\\+V_{3}W_{1}\delta _{31}+V_{3}W_{2}\delta _{32}+V_{3}W_{3}\delta _{33},\end{matrix}}$

und daher

(4.9)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}.$

Insbesondere ist

(4.10)

${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {V}}=V_{1}V_{1}+V_{2}V_{2}+V_{3}V_{3}=V_{1}^{2}+V_{2}^{2}+V_{3}^{2}=V^{2}.$

Übung 4.2:

Berechnen Sie den von V und W (siehe Übung 4.1) eingeschlossenen Winkel.

Vektorprodukt zweier Vektoren

Aus der Definition des Vektorprodukts ergibt sich für die Vektorprodukte von je zwei Basisvektoren:

(4.11)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3},\quad \,\,\,{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {e}}_{1},\quad \,\,\,{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2},\\{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{1}=-{\boldsymbol {e}}_{3},\quad {\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{2}=-{\boldsymbol {e}}_{1},\quad {\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{3}=-{\boldsymbol {e}}_{2},\\{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{1}={\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{3}={\boldsymbol {0}}.\end{matrix}}$

Für das Vektorprodukt zweier Vektoren gilt wegen der Distributivität

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}=\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\times \left({W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\\\=V_{1}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{1}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{1}W_{3}\left({{\boldsymbol {e}}_{1}\times {\boldsymbol {e}}_{3}}\right)\\+V_{2}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{2}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{2}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{2}W_{3}\left({{\mathbf {e} }_{2}\times {\mathbf {e} }_{3}}\right)\\+V_{3}W_{1}\left({{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{1}}\right)+V_{3}W_{2}\left({{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{2}}\right)+V_{3}W_{3}\left({{\boldsymbol {e}}_{3}\times {\boldsymbol {e}}_{3}}\right),\end{matrix}}$

woraus sich mit den Gleichungen (4.11) ergibt:

(4.12)

${\begin{matrix}{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}=V_{1}W_{2}{\boldsymbol {e}}_{3}-V_{1}W_{3}{\boldsymbol {e}}_{2}-V_{2}W_{1}{\boldsymbol {e}}_{3}+V_{2}W_{3}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{3}W_{1}{\boldsymbol {e}}_{2}-V_{3}W_{2}{\boldsymbol {e}}_{1}\\\\=\left({V_{2}W_{3}-V_{3}W_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({V_{3}W_{1}-V_{1}W_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({V_{1}W_{2}-V_{2}W_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}.\end{matrix}}$

Die rechte Seite dieser Gleichung kann als Determinante geschrieben und in dieser Form leichter gemerkt werden:

(4.13)

${\mathbf {V} }\times {\mathbf {W} }={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}.$

Analog ergibt sich das Vektorprodukt

(4.14)

${\boldsymbol {W}}\times {\boldsymbol {V}}=-\left({\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}\right)={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}.$

Das Spatprodukt

Für das Spatprodukt lautet die Komponentendarstellung

(4.15)

$\left({\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}\cdot \left(W_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+W_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+W_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}\right)$

$=\left(U_{2}V_{3}-U_{3}V_{2}\right)W_{1}+\left(U_{3}V_{1}-U_{1}V_{3}\right)W_{2}+\left(U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}\right)W_{3}$

$={\begin{vmatrix}{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\\{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}.$

Bei der letzten Umformung wurden die Zeilen der Determinante zyklisch vertauscht, wodurch der Größenwert der Determinante unverändert bleibt.

Vektorprodukt dreier Vektoren (»Entwicklungssatz«)

Für das doppelte Vektorprodukt (U x V) x W kann man schreiben

(4.16)

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{U_{1}}&{U_{2}}&{U_{3}}\\{V_{1}}&{V_{2}}&{V_{3}}\end{vmatrix}}\times {\mathbf {W} }\\\\=\left[{\left({U_{2}V_{3}-U_{3}V_{2}}\right){\boldsymbol {e}}_{1}+\left({U_{3}V_{1}-U_{1}V_{3}}\right){\boldsymbol {e}}_{2}+\left({U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}}\right){\boldsymbol {e}}_{3}}\right]\times {\boldsymbol {W}}.\end{matrix}}$

Bezeichnet man die Klammernterme der Reihe nach mit K₁, K₂, K₃, so kann man dafür schreiben

$\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {e}}_{1}}&{{\boldsymbol {e}}_{2}}&{{\boldsymbol {e}}_{3}}\\{K_{1}}&{K_{2}}&{K_{3}}\\{W_{1}}&{W_{2}}&{W_{3}}\end{vmatrix}}.$

Die Berechnung der Determinante ergibt für den Faktor von e₁:

${\begin{matrix}K_{2}W_{3}-K_{3}W_{2}=\left({U_{3}V_{1}-U_{1}V_{3}}\right)W_{3}-\left({U_{1}V_{2}-U_{2}V_{1}}\right)W_{2}\\=U_{3}V_{1}W_{3}-U_{1}V_{3}W_{3}-U_{1}V_{2}W_{2}+U_{2}V_{1}W_{2}\\=\left({U_{3}W_{3}+U_{2}W_{2}}\right)V_{1}-\left({V_{3}W_{3}+V_{2}W_{2}}\right)U_{1}.\end{matrix}}$

Addiert man beim ersten Term das Produkt U₁V₁W₁ und subtrahiert es beim zweiten Term, so erhält man

${\begin{matrix}\left({U_{1}W_{1}+U_{2}W_{2}+U_{3}W_{3}}\right)V_{1}-\left({V_{1}W_{1}+V_{2}W_{2}+V_{3}W_{3}}\right)U_{1}\\=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{1}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{1}.\\\end{matrix}}$

Analog erhält man den Faktor von e₂:

$\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{2}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{2}$

und für den Faktor von e₃:

$\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{3}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{3}.$

Also ist

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}=\left[{\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{1}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{1}}\right]{\boldsymbol {e}}_{1}\\+\left[{\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{2}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{2}}\right]{\boldsymbol {e}}_{2}\\+\left[{\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)V_{3}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)U_{3}}\right]{\boldsymbol {e}}_{3}\\\\=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\left({V_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+V_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+V_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right)-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\left({U_{1}{\boldsymbol {e}}_{1}+U_{2}{\boldsymbol {e}}_{2}+U_{3}{\boldsymbol {e}}_{3}}\right),\end{matrix}}$

und schließlich

(4.17)

$\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)\times {\boldsymbol {W}}=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right){\boldsymbol {V}}-\left({{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right){\boldsymbol {U}}.$

Analog findet man

${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)=\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}-\left({{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right)\cdot {\boldsymbol {W}}.$

Dies ist der so genannte Entwicklungssatz. Das doppelte Vektorprodukt ist demnach eine Linearkombination der Vektoren U und V, also ein Vektor, der in der Ebene der Vektoren U und V liegt.

 

Übung 4.3

Gegeben die Vektoren U = (1, 2, 3), V = (1, 3, -2) und W = (-2, -1, 0). Berechnen Sie:

1. U · V,

2. U x V,

3. U · (V x W),

4. U x (V x W),

5. (U x V) x W.

Weitere Produkte mit vektoriellen Faktoren

Mit den bisher abgeleiteten Regeln lassen sich weitere beweisen:

(4.18)

${\begin{matrix}\left({{\boldsymbol {T}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {V}}}&{{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\\{{\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {W}}}&{{\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\end{vmatrix}},\\\\\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)^{2}={\begin{vmatrix}{{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {V}}}&{{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\\{{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}}&{{\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {W}}}\end{vmatrix}},\\\\\left({{\boldsymbol {T}}\times {\boldsymbol {U}}}\right)\times \left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {V}}\left[{\boldsymbol {TUW}}\right]-{\boldsymbol {W}}\left[{\boldsymbol {TUV}}\right].\end{matrix}}$

Die in eckigen Klammern stehenden Produkte sind Spatprodukte (siehe dort).