Vektoralgebra: Geometrische Anwendungen von Vektoren

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Geraden im Raum

Punkt-Richtungs-Gleichung

Durch einen Punkt P₀ des Raumes gehe eine Gerade von gegebener Richtung. Der Punkt P₀ werde durch seinen »Ortsvektor«

${\overrightarrow {OP_{0}}}={\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},\,\,y_{0},\,\,z_{0})=x_{0}{\boldsymbol {e}}_{1}+y_{0}{\boldsymbol {e}}_{2}+z_{0}{\boldsymbol {e}}_{3}$

beschrieben, die Richtung der Geraden durch einen Vektor V oder den entsprechenden Einheitsvektor V₀.

Abb. 5.1

Dann kann der Ort eines Punktes P der Geraden gekennzeichnet werden durch seinen Ortsvektor

(5.1)

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda \,{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{0}{\boldsymbol {V}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}+{\frac {\lambda _{0}}{V}}{\boldsymbol {V}},$

wobei λ eine reelle Zahl ist, ein »Parameter«. Wenn λ alle Werte von -unendlich bis +unendlich annimmt, durchläuft der Punkt P alle Punkte der Geraden. Der Vektor v = (v_x, v_y, v_z), wird beschrieben durch seine skalaren Komponenten, die hier identisch mit den Richtungskosinus des Einheitsvektors V₀ sind. Die Vektorgleichung (5.1) ist äquivalent mit den drei skalaren Komponentengleichungen

(5.2)

$x=x_{0}+\lambda V_{x},\,\,\,\,y=y_{0}+\lambda V_{y},\,\,\,\,z=z_{0}+\lambda V_{z},$

die auch geschrieben werden können

(5.3)

${\frac {x-x_{0}}{V_{x}}}={\frac {y-y_{0}}{V_{y}}}={\frac {z-z_{0}}{V_{z}}}.$

Die Geradengleichung kann auch als parameterfreie Vektorgleichung geschrieben werden:

(5.4)

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}=0.$

Begründung: Da der Vektor r – r₀ parallel zu V ist, ist das Vektorprodukt null.

Solche parameterfreien Vektorgleichungen – wie sie uns immer wieder begegnen werden – sind implizit, d. h. nicht nach r aufgelöst (und auch nicht auflösbar). Doch kann daraus die Parameterdarstellung seiner Komponenten gewonnen werden.

Übung 5.1

Gegeben ein Punkt P₀ (-2; 5; 3) und ein Vektor V (6, 4, 2).

1. Gesucht sind die Vektorgleichung der Geraden durch P₀ mit dem Richtungsvektor V sowie die Komponenten des Ortsvektors r(x, y, z) eines Punktes der Geraden.

2. Aus der parameterfreien Vektorgleichung (5.4) sollen die Komponenten des Ortsvektors r in Abhängigkeit von einem Parameter κ bestimmt werden.

Zwei-Punkte-Gleichung

Hier wird die Gerade durch zwei Punkte P₁ und P₂ definiert, durch die sie gehen soll. Die Ortsvektoren der beiden Punkte seien r₁ und r₂. Die beiden Punkte (bzw. ihre Ortsvektoren) definieren einen Richtungsvektor r₂ - r₁, wodurch dieser Fall auf die Punkt-Richtungs-Gleichung zurückgeführt ist.

Abb. 5.2

(5.5)

${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}=\lambda \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)$

Die äquivalenten Koordinatengleichungen lauten dann

$x-x_{1}=\lambda \left({x_{2}-x_{1}}\right),\,\,\,\,y-y_{1}=\lambda \left({y_{2}-y_{1}}\right),\,\,\,\,z-z_{1}=\lambda \left({z_{2}-z_{1}}\right)$

oder

(5.6)

${\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}.$

Die parameterfrei Vektorgleichung ist analog zu Gleichung 5.4

(5.7)

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right)=0.$

Daraus kann wieder die Parameterdarstellung der Komponenten von r gewonnen werden.

Übung 5.2

Gegeben zwei Punkte P₁(4; 2; 5) und P₂(-3; -1; 6). Bestimmen Sie aus Gleichung (5.7) eine Parameterdarstellung der Geraden P₁P₂.

Übung 5.3

Geben Sie eine in Vektoren ausgedrückte Bedingung dafür an, dass drei Punkte P_i mit i = 1, 2, 3 auf einer Geraden liegen. Was folgt daraus für ihre Koordinaten / für die Komponenten ihrer Ortsvektoren?

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Die Gerade sei durch einen ihrer Punkte und ihren Richtungsvektor bestimmt.

Abb. 5.3

Für den Abstandsvektor d gilt dann ( siehe Übung 3.4):

(5.8)

${\boldsymbol {d}}=\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)-\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)_{\boldsymbol {V}}=\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)-{\frac {\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\cdot {\boldsymbol {V}}}{V^{2}}}{\boldsymbol {V}}.$

Der Größenwert d von d lässt sich einfacher mit dem Vektorprodukt darstellen, weil nämlich

(5.9)

${\frac {d}{\left|{{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right|}}=\sin \varphi \quad {\text{und}}\quad {\text{sin}}\varphi ={\frac {\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}}\right|}{\left|{{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right|V}},$

woraus folgt

(5.10)

$d={\frac {\left|{\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times {\boldsymbol {V}}}\right|}{V}}.$

Schnittpunkt zweier Geraden

Abb. 5.4

Die beiden Geraden g und h seien durch je einen Punkt und ihren Richtungsvektor gegeben. Dann lauten ihre Gleichungen:

$g:\quad {\boldsymbol {r}}_{g}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}+\lambda \,{\boldsymbol {V}},\quad \quad h:\quad {\boldsymbol {r}}_{h}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}+\kappa \,{\boldsymbol {W}}.$

Für die Ortsvektoren des Schnittpunkts S gilt dann

(5.11)

${\boldsymbol {r}}_{S}^{(g)}={\boldsymbol {r}}_{S}^{(h)}\quad {\text{oder}}\quad {\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}+\lambda _{S}{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}+\kappa _{S}{\boldsymbol {W}}\quad \Rightarrow \quad \lambda _{S}{\boldsymbol {V}}-\kappa _{S}{\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}.$

Aus irgend zwei der drei Komponentengleichungen können λ_S und κ_S bestimmt werden. (Zur Berechnung des Schnittpunkts genügt bereits eine der beiden Größen.) Wenn die Geraden einander schneiden, erfüllen λ_S und κ_S auch die dritte Gleichung.

Übung 5.4

Zwei Gerade g und h seien wie oben durch ihre Punkt-Richtungs-Gleichungen gegeben. Geben Sie die Bedingung dafür an, dass g und h einander schneiden. Was folgt daraus für die Komponenten von r₀^(g), r₀^(h), V und W?

Abstand zweier windschiefer Geraden

Windschiefe Geraden sind solche, die einander nicht schneiden und nicht parallel sind. Unter dem Abstand zweier windschiefer Geraden versteht man die kürzeste Entfernung zwischen einem Punkt der einen und einem Punkt der anderen Geraden.

Abb. 5.5

Wir denken uns eine auf der Geraden g senkrechte Ebene E und verbinden den Schnittpunkt G der Geraden g mit E mit dem Schnittpunkt H der Geraden h mit E. Der Winkel zwischen GH und h sei φ. Wenn die Ebene E sich sehr weit nach oben bewegt, geht φ stetig gegen null, wenn sich E sehr weit nach unten bewegt, geht φ stetig gegen π/2. Folglich muss es dazwischen eine Position der Ebene E geben, in der φ ein rechter Winkel ist. Die Entfernung d der beiden Geraden an dieser Stelle ist »der Abstand der beiden Geraden«.

Übung 5.5 Vervollständigen Sie den Beweis, dass die Strecke d der kürzeste Abstand zwischen irgend zwei Punkten der beiden Geraden ist.

Abb. 5.6

Der Vektor d bildet mit V und W in der Reihenfolge V, W, d ein Rechtssystem. Der dazu gehörige Einheitsvektor ist daher

(5.12)

${\boldsymbol {d}}_{0}={\frac {{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}{\left|{{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right|}}.$

Der Vektor d ist die (rechtwinklige) Projektion des Vektors r₀^(h) - r₀^(h) auf d₀, also ist

(5.13)

$d=\left|{{\boldsymbol {d}}_{0}\cdot \left({{\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}}\right)}\right|={\frac {\left|{\left({{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right)\cdot \left({{\boldsymbol {r}}_{0}^{(h)}-{\boldsymbol {r}}_{0}^{(g)}}\right)}\right|}{\left|{{\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {W}}}\right|}}.$

Die Betragszeichen im Zähler sind notwendig, weil das Skalarprodukt negativ sein kann.

Ebenen im Raum

Eine Ebene im Raum kann bestimmt werden

• durch einen Punkt und zwei nicht parallele Vektoren
• durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen,
• durch einen Punkt und den Normalenvektor der Ebene (Punkt-Richtungs-Gleichung)

Ebene durch einen Punkt mit zwei Richtungsvektoren

Abb. 5.7

Der Ortsvektor r eines jeden Punktes P der Ebene lässt sich beschreiben durch

(5.14)

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\kappa \,{\boldsymbol {V}}+\lambda \,{\boldsymbol {W}},$

κ, λ reelle Zahlen, V und W nicht parallel.

Ebene durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen

Dieser Fall kann auf den vorgehenden zurückgeführt werden, indem man statt der Vektoren U und V die Vektoren r₁ - r₀ bzw. r₂ - r₀ benutzt.

Abb. 5.8

Die Ebenengleichung lautet dann

(5.15)

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+\kappa \left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)+\lambda \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right).$

Zu einer parameterfreien Darstellung der Ebenengleichung gelangt man, wenn man die Tatsache nutzt, dass das von den drei in der Ebene liegenden Vektoren

${\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0},\,\,\,{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}\,\,\,{\text{und}}\,\,\,\,{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}$

aufgespannte Parallelepiped (Spat) das Volumen null hat, also das Spatprodukt der drei Vektoren null sein muss:

(5.16)

$\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\cdot \left[{\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\times \left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)}\right]=\left[{\left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\left({{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)\left({{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)}\right]=0.$

Diese Gleichung kann mit einer Determinante wie folgt geschrieben werden:

(5.17)

${\begin{vmatrix}{x-x_{0}}&{y-y_{0}}&{z-z_{0}}\\{x_{1}-x_{0}}&{y_{1}-y_{0}}&{z_{1}-z_{0}}\\{x_{2}-x_{0}}&{y_{2}-y_{0}}&{z_{2}-z_{0}}\end{vmatrix}}=0.$

Daraus kann die Gleichung der Ebene in der Standardform

$\,ax+by+cz+d=0$

gewonnen werden.

Übung 5.6

Leiten Sie aus Gleichung (5.16) die Gleichung (5.17) her.

Punkt-Richtungsgleichung der Ebene

Hier ist ein Punkt P₀ der Ebene gegeben und ein auf der Ebene senkrecht stehender Vektor (Normalenvektor) n.

Abb. 5.9

Da r – r₀ und n aufeinander senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt null:

(5.18)

${\boldsymbol {n}}\cdot \left({{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0}}\right)=0\quad {\mbox{oder}}\quad {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.$

Übung 5.7

Leiten Sie aus Gleichung (5.18) die Ebenengleichung in der Standardform her.

Die Hessesche Normalform der Ebenengleichung

In der Hesseschen Normalform wird die Ebene beschrieben durch den Normalenvektor und ihren Abstand p vom Ursprung.

Abb. 5.10

Die Projektion des Ortsvektors r von P auf den Einheitsvektor n₀ hat den Größenwert p, also ist

(5.19)

${\mathbf {r} }\cdot {\mathbf {n} }_{0}=p.$

Setzt man in den Komponentengleichungen jeweils z = 0, so kommt man leicht zur Hesseschen Normalform einer Geraden in der XY-Ebene.

Übung 5.8

Geben Sie die Hessesche Normalform der Gleichung einer Ebene durch drei Punkte an, deren Ortsvektoren r_i sind (i = 1, 2, 3).

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Abb. 5.11

Wie Abbildung 5.11 zeigt, ist

(5.20)

$d={\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}-p\quad {\text{bzw}}{\text{.}}\quad d={\boldsymbol {n}}_{0}\left({{\boldsymbol {r}}_{0}-{\boldsymbol {r}}_{1}}\right),$

wobei r₁ der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene ist.

Wenn P₀ und O auf verschiedenen Seiten der Ebene liegen, ist d > 0, anderenfalls ist d < 0.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

Der Schnittpunkt ist am einfachsten zu finden, wenn man von der Punkt-Richtungs-Gleichung der Geraden g und der Hesseschen Normalform der Ebene E ausgeht:

$g:\,\,\,\,{\boldsymbol {r}}_{}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda {\boldsymbol {V}},\quad \quad E:\,\,\,\,{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{}=p.$

Dann gilt für den Ortsvektor des Schnittpunkts S:

${\boldsymbol {r}}_{S}={\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{S}{\boldsymbol {V}}\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{S}=p.$

Daraus folgt

${\boldsymbol {n}}_{0}\cdot \left({{\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{S}{\boldsymbol {V}}}\right)=p\quad \Rightarrow \quad {\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}+\lambda _{S}{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {V}}=p$

und schließlich

(5.21)

$\lambda _{S}={\frac {p-{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}}{{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {V}}}}\quad {\mbox{und}}\quad {\boldsymbol {r}}_{S}={\boldsymbol {r}}_{0}+{\frac {p-{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}}{{\boldsymbol {n}}_{0}\cdot {\boldsymbol {V}}}}{\boldsymbol {V}}.$

Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene

Der Winkel φ zwischen einer Geraden und einer Ebene ist definiert als der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion auf die Ebene. Daraus folgt, dass stets

$0\leqslant \varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.$

Berechnet wird φ am einfachsten über den Winkel ψ zwischen der Geraden (Richtungsvektor V) und dem Normalenvektor n der Ebene, für die gilt: ψ = π/2 - φ. Wegen

(5.22)

$\cos \psi ={\frac {{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {V}}}{nV}}=\sin \varphi \quad \Rightarrow \quad \varphi =\arcsin {\frac {\left|{{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {V}}}\right|}{nV}}.$

Schnittgerade zweier Ebenen

Aus den Ebenengleichungen in der Hesseschen Normalform:

$E_{1}:\,\,\,\,\,{\boldsymbol {n}}_{0}^{(1)}{\boldsymbol {r}}=p_{1},\quad \quad E_{2}:\,\,\,\,\,{\boldsymbol {n}}_{0}^{(2)}{\boldsymbol {r}}=p_{2}$

folgt für den Ortsvektor r der Punkte der Schnittgeraden:

(5.23)

${\boldsymbol {r}}\cdot \left({{\boldsymbol {n}}_{0}^{(2)}-{\boldsymbol {n}}_{0}^{(1)}}\right)=p_{2}-p_{1}\,.$

//Die Gleichung stellt allerdings wieder eine Ebene dar die die Gerade enthält und nicht die Gerade selbst.

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel φ zwischen zwei Ebenen ist definiert als der kleinere der beiden Winkel, den ihre (ungerichteten) Flächennormalen bilden, wenn sie zum Schnitt gebracht werden. Demgemäß ist stets

$\varphi \leqslant {\frac {\pi }{2}}.$

Wenn die Ebenen wieder wie oben definiert sind, ist

(5.24)

$\varphi =\arccos \left|{{\boldsymbol {n}}_{0}^{(1)}\cdot {\boldsymbol {n}}_{0}^{(2)}}\right|=\arccos {\frac {{\boldsymbol {n}}^{(1)}\cdot {\boldsymbol {n}}^{(2)}}{n^{(1)}n^{(2)}}}.$

Wiederholungsaufgaben

A Beweisen Sie grafisch: Jeder Vektor v kann in eine Komponente parallel zu einem beliebigen Vektor u und in eine dazu senkrechte Komponente zerlegt werden:

${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {v}}_{\boldsymbol {u}}^{\bot }$

B Berechnen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts den Vektor vu und dann die dazu senkrechte Vektorkomponente.

C Beweisen Sie den so genannten Entwicklungssatz für Vektorprodukte

$\left({{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}\right)\times {\boldsymbol {w}}=\left({{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right){\boldsymbol {v}}-\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {w}}}\right){\boldsymbol {u}}.$

D Zeigen Sie, dass (u x v) x w ein Vektor ist, der in der Ebene von u und v liegt.

E Drei Vektoren u, v, w heißen linear abhängig, wenn

${\boldsymbol {w}}=a{\boldsymbol {u}}+b{\boldsymbol {v}},$

wobei a und b reelle Zahlen sind. Dann ist selbstverständlich auch

${\boldsymbol {u}}=c{\boldsymbol {v}}+d{\boldsymbol {w}}\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

E 1 Zeigen Sie: Die drei Vektoren liegen in einer Ebene,

E 2 Zeigen Sie: Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann ist

$\left({{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}\right)\cdot {\boldsymbol {w}}\neq 0.$

E 3 Beweisen Sie: Wenn u, v und w linear unabhängig sind, dann sind auch die Vektoren

${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},\quad {\boldsymbol {s}}={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {w}},\quad {\boldsymbol {t}}={\boldsymbol {w}}\times {\boldsymbol {u}}$

linear unabhängig.

F Zeigen Sie, dass

${\boldsymbol {v}}=\left({{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {e}}}\right){\boldsymbol {e}}-\left({{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {e}}}\right)\times {\boldsymbol {e}},$

wobei e ein beliebiger Einheitsvektor ist.

G Eine Aufgabe für zuverlässige und ausdauernde Rechner:

Jede Vektorgleichung ist äquivalent mit drei skalaren Gleichungen. Schreiben Sie die drei skalaren Gleichungen an, die der Vektorgleichung

$k{\mathbf {v} }+{\mathbf {v} }\times {\mathbf {a} }={\mathbf {b} },$

entsprechen, wobei k ein Skalar ist und a und b konstante Vektoren sind.

Lösen Sie diese drei Gleichungen nach v₁, v₂, und v₃ auf.

Zeigen Sie dann, dass die Lösung durch folgende Vektorgleichung beschrieben werden kann:

${\boldsymbol {v}}={\frac {k^{2}{\boldsymbol {b}}+\left({{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {a}}}\right){\boldsymbol {a}}-k\left({{\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {a}}}\right)}{k\left({k^{2}+\left|{\boldsymbol {a}}\right|^{2}}\right)}}.$