Vektoralgebra: Einleitung

Skalare Größen und vektorielle GrößenBearbeiten

In der Physik wird zwischen gerichteten und ungerichteten Größen (und Größenarten) unterschieden.

Ungerichtete Größen sind solche, die durch ihren Größenwert (das Produkt aus einem Zahlenwert und einer Einheit) vollständig beschrieben sind. Dazu gehören zum Beispiel die Temperatur und der Luftdruck in einem Punkt des Raumes.

Gerichtete Größen dagegen sind solche, zu deren vollständiger Beschreibung zusätzlich eine Richtungsangabe erforderlich ist. Gerichtete Größen sind zum Beispiel: Die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Körpers, die auf einen Körper wirkende Kraft, die elektrische und magnetische Feldstärke in einem Punkt des Raumes.

Ungerichtete Größen werden als skalare Größen (kurz: Skalare) bezeichnet, gerichtete Größen als vektorielle Größen (kurz: Vektoren).

(In dem Teilgebiet der Mathematik, das »Lineare Algebra« heißt, haben Vektoren eine etwas andere Bedeutung; wir beschäftigen uns hier jedoch nur mit physikalischen Vektoren und ihrer mathematischen Behandlung.)

In der Physik unterscheidet man verschiedene Arten von Vektoren:

Freie Vektoren können parallel zu sich selbst im Raum verschoben werden.

Linienflüchtige Vektoren (zum Beispiel Kräfte) sind an ihre Wirkungslinie gebunden und nur längs dieser verschiebbar.

Ortsgebundene Vektoren können überhaupt nicht verschoben werden. Dazu gehören die Feldvektoren, die einem bestimmten Punkt zugeordnet sind, und die Ortsvektoren, die immer im Ursprung des Basissystems beginnen.

Die Unterscheidung zwischen diesen Vektoren trifft die Experimentalphysik. Bei der Herleitung der Rechengesetze ist der Unterschied meist bedeutungslos.

Vom Schulunterricht her wird der Vektorbegriff oft mit einer Kraft verbunden, und tatsächlich wird seine Einführung genau in diesem Zusammenhang unumgänglich. Der einfachste und elementare Vektor aber ist der gerichtete Abstand zweier Punkte, und genau damit wollen wir beginnen.

Eine vektorielle Größe wird durch einen Pfeil dargestellt. Dieser Pfeil wird ebenfalls Vektor genannt. Er hat dieselbe Richtung wie die vektorielle Größe, die er darstellt. Seine Länge entspricht nach einem möglichst zweckmäßig zu wählendem Maßstab dem Größenwert der dargestellten Größe, d. h. sie ist ihm proportional. So kann zum Beispiel ein 3 cm langes Vektorsymbol (ein 3 cm langer Pfeil) eine Kraft von 300 Newton (N) darstellen. Der Abbildungsmaßstab ist in diesem Fall


 


Wie man sieht, ist der Maßstab selbst eine physikalische Größe. Um den Größenwert der dargestellten vektoriellen Größe zu erhalten, muss man – wie bei einer Landkarte – die Länge des Vektorsymbols durch den Maßstab M dividieren.

Die Länge des Vektorsymbols stellt also den Größenwert der abgebildeten Größe dar - das Produkt aus Zahlenwert und Einheit -, und wird Betrag des Vektors genannt. Die für den Betrag übliche Kennzeichnung sind zwei senkrechte Striche, wie sie aus der Algebra bekannt sind. Wenn immer möglich aber werden wir den Betrag eines Vektors mit einem normalen (nicht fett gedruckten) Kursivbuchstaben (z. B. V) bezeichnen, den Vektor selbst mit einem fett gedruckten Kursivbuchstaben (z. B. V).

Invarianz gegen BasiswechselBearbeiten

Die erste fundamentale Eigenschaft eines jeden Vektors V ist, dass sein Betrag V in jeder beliebigen (bei Geschwindigkeiten: nicht bewegten) Basis derselbe ist. Dies versteht sich von selbst, denn die durch einen Vektorpfeil dargestellte vektorielle Größe ist von der Basis, die der Beobachter willkürlich wählen kann, unabhängig. (Beispiele: Der Abstandsvektor zweier Punkte und die Gewichtskraft eines Körpers sind gleichsam »absolute Größen«, deren Größenwerte mit der benutzten Basis nichts zu tun haben.)

Die zweite fundamentale Eigenschaft eines Vektors ist, dass auch seine Richtung im Raum unabhängig von der benutzten Basis ist.

Was bedeutet das konkret?

Diese Aussage basiert auf der Vorstellung eines »absoluten Raumes«, in dem der Vektor eine bestimmte Lage hat. Da der absolute Raum nach der Speziellen Relativitätstheorie jedoch eine unhaltbare Fiktion ist, gehen wir etwas bescheidener vor. Wir richten in dem Punkt, in dem wir uns augenblicklich befinden, eine »Fundamentalbasis« B0 ein: Der erste Einheitsvektor dieser Basis sei nach Norden gerichtet, der zweite nach Westen, der dritte weise senkrecht nach oben, also zum Zenit. Bezüglich dieser Basis hat der betrachtete Vektor eine bestimmte Richtung, die durch die Winkel beschrieben werden kann, die er mit den drei Basisvektoren bildet. Mit den Basisvektoren einer anderen Basis bildet der Vektor im Allgemeinen andere Winkel, er hat also bezüglich dieser Basis eine andere Richtung. Es ist aber möglich, aus diesen Winkeln diejenigen Winkel zu berechnen, die der Vektor mit den Basisvektoren der Fundamentalbasis bildet. Und diese Berechnungen ergeben – unabhängig von der jeweils benutzten Basis – immer dieselben Werte.

Diese beiden fundamentalen Eigenschaften sind gemeint, wenn gesagt wird, Vektoren seien »vom Basissystem unabhängig« oder »invariant gegen Basiswechsel«. Daraus folgt unmittelbar, dass man auch ganz praktisch mit Vektoren unabhängig von irgendeinem Basissystem, Bezugssystem, Koordinatensystem rechnen kann. Erst dann, wenn es darum geht, dass das Rechenergebnis einen konkreten Bezug bekommen soll, spielen diese Systeme wieder eine Rolle. Hierzu transformiert man die Vektoren zurück in einen Kontext, z.B. in ein Koordinatensystem mit Maßeinheiten.