Statistik: Test auf Varianz

Herleitung der Prüfgröße

Betrachten wir eine normalverteilte Grundgesamtheit. Die Schätzung für die Varianz $\sigma ^{2}$ ist hier

${\hat {\sigma }}^{2}=s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.

Jedem Beobachtungswert $x_{i}$ liegt eine normalverteilte Zufallsvariable $X_{i}$ zu Grunde.

Wir wollen nun eine passende Prüfgröße für einen Varianztest herleiten. Wir gehen von $n$ vielen stochastisch unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen $X_{i}(i=1,\ldots ,n)$ aus, alle mit gleichem Erwartungswert $\mu$ und gleicher Varianz $\sigma ^{2}$.

Durch Standardisieren der $X_{i}$ erhalten wir die standardnormalverteilten Zufallsvariablen

$Z_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }},$

die ebenfalls stochastisch unabhängig sind. Die Summe der Quadrate

$Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+\ldots +Z_{n}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{Z_{i}^{2}}$

ist $\chi ^{2}$-verteilt mit $n$ Freiheitsgraden.

Da wir $\mu$ im Allgemeinen nicht kennen, schätzen wir diesen Parameter mit

${\hat {\mu }}={\bar {x}}$.

Durch diesen Ersatz geht unserer Quadratsumme ein Freiheitsgrad verloren. Die resultierende Quadratsumme

$Y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sigma ^{2}}}$

mit den Summanden $(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$ statt $(X_{i}-\mu )^{2}$ ist $\chi ^{2}$-verteilt mit $n-1$ Freiheitsgraden.

Wir werden jetzt diese Summe mit $S^{2}$ verquicken, um eine Prüfgröße für den Test zu erhalten. Mathematisch ist

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {S^{2}\cdot (n-1)}{\sigma ^{2}}}$.

Deshalb ist $Y={\frac {S^{2}\cdot (n-1)}{\sigma ^{2}}}$ ebenfalls $\chi ^{2}$-verteilt mit $n-1$ Freiheitsgraden.

Unter der Nullhypothese $H_{0}:\sigma ^{2}=\sigma _{0}^{2}$ ist dann

$Y={\frac {S^{2}\cdot (n-1)}{\sigma _{0}^{2}}}$

analog zu oben verteilt mit dem Parameter $\sigma _{0}^{2}$.

Wir wollen nun für $H_{0}:\sigma ^{2}=\sigma _{0}^{2}$ den Nichtablehnungsbereich für den Test angeben. Die Hypothese wird nicht abgelehnt, wenn die Prüfgröße $y$ in das Intervall

$\left[\chi ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}};n-1\right);\chi ^{2}\left(1-{\frac {\alpha }{2}};n-1\right)\right]$

fällt, wobei $\chi ^{2}(p;k$) das $p$-Quantil der $\chi ^{2}$-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist.

Die Nichtablehnungsbereiche für die Bereichshypothesen werden analog zu der Vorgehensweise bei Erwartungswerten festgelegt:

Bei der Mindesthypothese $H_{0}:\sigma ^{2}\geq \sigma _{0}^{2}$ wird die Hypothese abgelehnt, wenn die Prüfgröße

$Y<\chi ^{2}(\alpha ;n-1)$ ist.

Bei der Höchsthypothese $H_{0}:\sigma ^{2}\leq \sigma _{0}^{2}$ wird die Hypothese abgelehnt, wenn die Prüfgröße

$Y>\chi ^{2}(1-\alpha ;n-1)$ ist.

Beispiel für eine Punkthypothese

Ein großer Blumenzwiebelzüchter hat eine neue Sorte von Lilien gezüchtet. Die Zwiebeln sollen im Verkauf in verschiedenen Größenklassen angeboten werden. Um das Angebot planen zu können, benötigt der Züchter eine Information über die Varianz der Zwiebelgröße. Es wurden 25 Zwiebeln zufällig ausgewählt und gemessen. Man erhielt die Durchmesser (cm)

8 10 9 7 6 10 8 8 8 6 7 9 7 10 9 6 7 7 8 8 8 10 10 7 7

Es soll die Hypothese überprüft werden, dass die Varianz der Zwiebelgröße 3 cm² beträgt (α = 0,05).

Die Nullhypothese lautet $H_{0}:\sigma ^{2}=\sigma _{0}^{2}=3$

Nichtablehnungsbereich für die Prüfgröße y ist

$\left[\chi ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}};n-1\right);\chi ^{2}\left(1-{\frac {\alpha }{2}};n-1\right)\right]=$

$[\chi ^{2}(0{,}025;24);\chi ^{2}(0{,}975;24)]=[12{,}40;39{,}36]$.

Es ergab sich für die Stichprobe ${\bar {x}}=8$ und $s^{2}={\frac {42}{24}}=1{,}75$. Die Prüfgröße errechnet sich als

$y={\frac {S^{2}\cdot (n-1)}{\sigma _{0}^{2}}}={\frac {1{,}75\cdot 24}{3}}=14$ .

Die Hypothese kann nicht abgelehnt werden.

Beispiel für eine Bereichshypothese

An einer Abfüllanlage werden Tagesdosen für ein sehr teures flüssiges Medikament in Plastikschälchen eingebracht. Da das Medikament hochwirksam ist, soll die Abweichung der Füllmenge vom Mittelwert möglichst wenig schwanken. Man weiß, dass die Füllmenge normalverteilt ist. Zur Kontrolle soll die Hypothese getestet werden, dass die Varianz höchstens 0,01 ml² beträgt ($\alpha =0{,}1$). Eine Stichprobe von 20 Schälchen ergab den Mittelwert 0,5 und die Varianz 0,014.

Zu testen ist $H_{0}:\sigma ^{2}\leq \sigma _{0}^{2}$ .

Die Prüfgröße für H₀ ist $Y={\frac {S^{2}\cdot (n-1)}{\sigma _{0}^{2}}}$.

Die Hypothese wird abgelehnt, wenn $y>\chi ^{2}(1-\alpha ;n-1)=\chi ^{2}(0{,}9;19)=27{,}20$ ist.

Die Stichprobe ergab

$y={\frac {0{,}014\cdot 19}{0{,}01}}=26{,}6$

Die Hypothese wird nicht abgelehnt. Man geht davon aus, dass die Varianz der Füllmenge sich nicht verändert hat.

Bemerkung: Hier wurde das angestrebte Ergebnis als Nullhypothese formuliert. Würde man stattdessen die Arbeitshypothese $H_{0}:\sigma ^{2}\geq \sigma _{0}^{2}$ testen, würde die Hypothese erst für eine Stichprobenvarianz kleiner als ca. 0,006 ml², abgelehnt werden, was eine strenge Vorgabe ist und so den Produktionsprozess sehr behindern würde.

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