Statistik: Lineare Funktionen der Normalverteilung

Linearkombinationen normalverteilter Zufallsvariablen

Gegeben sind n normalverteilte Zufallsvariablen X_i (i = 1, ... , n), mit X_i ∼ N(μ_i;σ_i²). Die Linearkombination (lineare Funktion)

Y=a_{0}+a_{1}X_{1}+a_{2}X_{2}+...+a_{n}X_{n}=a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}

ist ebenfalls normalverteilt (Reproduktivität der Normalverteilung), und zwar mit dem Erwartungswert

EY=a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}EX_{i}=a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu _{i}

und, falls die X_i (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

\operatorname {var} Y=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {var} X_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}

.

Da die Varianz jedoch echt größer Null sein muss, muss zudem $a_{j}\neq 0$ für mindestens ein $j\in \{1,\dots ,n\}$ gefordert werden.

Verteilung des Stichprobendurchschnitts

Sind speziell die n Zufallsvariablen X_i (i = 1, ... , n) sämtlich normalverteilt mit gleichem μ und gleichem σ², ist die Linearkombination X mit a₀ = 0, a₁ = a₂ = ... = a_n = 1/n, also

{\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}

normalverteilt dem Erwartungswert

E{\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mu =\mu

und, falls die Xi (i = 1, ... , n) stochastisch unabhängig sind, mit der Varianz

\operatorname {var} {\bar {X}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sigma ^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}

.

Beispiel

Die Firma Ziemlich&Unbekannt produziert die Güter Ix und Ypsi. Die monatliche Produktionsmenge schwankt zufällig, so dass für die produzierten Mengen die Zufallsvariablen definiert werden: X und Y [ME]. Man weiß:

X ∼ N(20;5) und Y ∼ N(100;10).

Es wird vermutet, dass X und Y stochastisch unabhängig sind.

Wir interessieren uns für die monatlichen Gesamtkosten K in Crœtos (C):

Die monatlichen Fixkosten betragen a = 10.000 C, die variablen Kosten für X: b = 500 C und für Y: c = 200 C.

Die monatlichen Gesamtkosten können also dargestellt werden als

K = a + bX + cY = 10000 + 500X + 200Y.

Wie ist also K verteilt? Wegen der Reproduktivitätseigenschaft der Normalverteilung müsste K wieder normalverteilt sein. Seine Parameter sind

EK = a + b EX + c EY = 10.000 + 500·20 + 200·100 = 40.000

und

varK = b²varX + c²varY = 500²·5 + 200²·10 = 1.650.000.

Also ist K ∼ N(40.000; 1.650.000).

Mit welcher Wahrscheinlichkeit entstehen der Firma Gesamtkosten von mindestens 42.000 C?