Statistik: Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung

χ²-Verteilung

Beispiel

Wir haben 3 normalverteilte, paarweise stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X₁, X₂ und X₃ gegeben mit den Erwartungswerten μ₁, μ₂ μ₃ und den Varianzen σ₁², σ₂²,σ₃². Wir standardisieren diese Variablen und erhalten 3 standardnormalverteilte Zufallsvariablen Z₁, Z₂ und Z₃,

Z_{1}={\frac {X_{1}-\mu _{1}}{\sigma _{1}}},\;Z_{2}={\frac {X_{2}-\mu _{2}}{\sigma _{2}}},\;Z_{3}={\frac {X_{3}-\mu _{3}}{\sigma _{3}}}\;.

Dichtefunktion der χ²-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden

Nun werden die standardnormalverteilten Zufallsvariablen quadriert und aufsummiert. Wir erhalten eine neue Zufallsvariable

Y=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+Z_{3}^{2}\;.

Y ist χ²-verteilt mit 3 Freiheitsgraden.

Allgemein

Es gilt: Die Summe von m quadrierten, stochastisch unabhängigen, standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist χ²-verteilt mit m Freiheitsgraden.

Man sieht anhand der Grafik, dass sich die Dichtefunktion mit wachsenden Freiheitsgraden einer symmetrischen Kurve nähert.

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(Y ≤ a) = f_Y(a|n). Das p-Quantil ist χ²(p;n).

Die Verteilungsfunktion der χ²-Verteilung kann nicht analytisch ermittelt werden. Numerische Berechnungen können beispielsweise aus Tabellenwerken, etwa Tabelle der χ²-Verteilung ersehen werden. Da Y für jeden Freiheitsgrad eine eigene Verteilung besitzt, sind in kleineren Tabellen wie oben nur Quantile nach Freiheitsgraden und ausgewählten Wahrscheinlichkeiten aufgeführt. Es ist z. B. das 95%-Quantil (Spalte) der χ²-Verteilung mit 3 Freiheitsgraden (Zeile)

f_Y(0,95;3) = 7,81. Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit P(y ≤ 7,81) = 0,95.

Gilt n > 30, ist

Z={\sqrt {2X}}-{\sqrt {2n-1}}

näherungsweise standardnormalverteilt.

Nähere Erläuterungen zur χ²-Verteilung, beispielsweise ihre Dichtefunktion, findet man bei Wikipedia. Da die Dichtefunktion jedoch nicht für die Berechnung der Verteilungswerte unmittelbar verwendet werden kann, wird sie hier nicht angeführt.

Beispiele:

Sei Y χ²-verteilt mit 10 Freiheitsgraden. Es ist

$P(Y\leq 15{,}99)=0{,}9$
$P(Y>3{,}94)=1-P(Y\leq 3{,}94)=1-0{,}05=0{,}95$
$P(3{,}25\leq Y\leq 20{,}48)=P(Y\leq 20{,}48)-P(Y\leq 3{,}25)=0{,}975-0{,}025=0{,}95$
10%-Quantil von Y : $\chi ^{2}(0{,}1;10)=4{,}87$
95%-Quantil von Y : $\chi ^{2}(0{,}95;10)=18{,}31$

Sei Y χ²-verteilt mit 61 Freiheitsgraden. Gesucht ist $P(Y\leq 98)$ . Hier ist die Zahl der Freiheitsgrade k > 30. Es wird eine neue Zufallsvariable $X={\sqrt {2Y}}$ gebildet. X ist näherungsweise normalverteilt wie $N({\sqrt {2k-1}};1)=N(11;1)$ . $P(Y\leq 98)$ entspricht also $P(X\leq {\sqrt {2\cdot 98}})=P(X\leq 14)$

Es ist $\Phi _{X}(14|11;1)=$ $\Phi _{X}\left({\frac {14-11}{1}}\right)=\Phi _{X}(3)=0{,}9987.$

Bemerkung

Die χ²-Verteilung ist reproduktiv, d. h. die Summe von zwei stochastisch unabhängigen χ²-verteilten Zufallsvariablen mit m und n Freiheitsgraden ist wieder χ²-verteilt mit m+n Freiheitsgraden.

Die χ²-Verteilung ist eine so genannte Stichprobenverteilung.

Übung

Die Zufallsvariable X ist χ²-verteilt mit 12 Freiheitsgraden.
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner als 6,30 ist.
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 18,55 beträgt.
3. Bestimmen Sie das 5%-Quantil der Verteilung.
Die Zufallsvariable Y ist χ²-verteilt mit 40 Freiheitsgraden.
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Y kleiner als 40 ist.
2. Bestimmen Sie das 95%-Quantil der Verteilung.
Es sei U=X+Y.
1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von U.
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U kleiner als 40 ist.

F-Verteilung

Dichtefunktion der F-Verteilung mit m und n Freiheitsgraden

Beispiel

Wir haben die drei standardnormalverteilten Zufallsvariablen von oben und vier weitere Z₄, Z₅, Z₆ und Z₇ gegeben. Alle Variablen sind wieder stochastisch unabhängig. Der Quotient

F={\frac {\frac {Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+Z_{3}^{2}}{3}}{\frac {Z_{4}^{2}+Z_{5}^{2}+Z_{6}^{2}+Z_{7}^{2}}{4}}}

ist dann F-verteilt mit 3 und 4 Freiheitsgraden.

Allgemein

Der Quotient aus zwei χ²-verteilten Zufallsvariablen, jeweils geteilt durch ihre Freiheitsgrade, wobei die Zufallsvariable im Zähler m und die im Nenner n Freiheitsgrade hat, ist F-verteilt mit m und n Freiheitsgraden. Einzelheiten dazu gibt es auch in der Wikipedia. Man schreibt

F\sim F_{m;n}

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(F ≤ a) = f_F(a|m;n). Das p-Quantil ist F(p;m;n).

Auch die F-Verteilung liegt tabelliert vor und ist meistens nach ausgewählten Freiheitsgraden und Quantilen tabelliert. Eine nützliche Beziehung ist dabei

F(p;m;n)={\frac {1}{F(1-p;n;m)}}.

Die F-verteilung ist ebenfalls eine Stichprobenverteilung. Sie ist aber nicht reproduktiv.

t-Verteilung

Beispiel

Gegeben sind die standardnormalverteilten Zufallsvariablen von oben.

Der Quotient

t={\frac {Z_{1}}{\sqrt {\frac {Z_{2}^{2}+Z_{3}^{2}+Z_{4}^{2}+Z_{5}^{2}}{4}}}}

ist t-verteilt mit 4 Freiheitsgraden.

Allgemein

Der Quotient aus einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen und der Wurzel einer χ²-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden, geteilt durch ihre Freiheitsgrade, ist t-verteilt mit n Freiheitsgraden.

Die Wahrscheinlichkeit wird bezeichnet als P(t ≤ a) = f_t(a|n). Das p-Quantil ist t(p;n).

Die Dichtefunktion der t-Verteilung ist, ähnlich wie die der Standardnormalverteilung, symmetrisch bezüglich des Erwartungswertes 0. Es gilt daher für die Berechnung der Verteilungswerte: