Statistik: Zentraler Grenzwertsatz
Gegeben sind die stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen Xi (i = 1, 2,...). Die Verteilungen der Summen Yi
- Y1 = X1 , Y2 = X1 + X2 , ..., Yn = X1 + X2 + ... + Xn , ...
streben mit wachsendem n gegen die Normalverteilung. Als Faustregel gilt, daß die Verteilung einer Summe von mehr als 30 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen schon sehr gut annähernd mit der Normalverteilung bestimmt werden kann (n > 30).
Diese Regel ermöglicht zum einen die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten unbekannt verteilter Zufallsvariablen, zum anderen kann die Bestimmung kompliziert zu berechnender Wahrscheinlichkeitswerte mit der Normalverteilung angenähert (approximiert) werden.
Als Beispiel wurden je 1000 Zufallszahlen von im Intervall [0;1] gleichverteilten Zufallsvariablen erzeugt. Der Graph ihrer Dichtefunktion bildet ein Rechteck. Das Histogramm der Zufallszahlen lässt bei 1000 Werten deutlich das Rechteck erkennen. Bei der Summe von zwei gleichverteilten Variablen zeichnet sich die unimodale symmetrische Struktur schon deutlich ab, wobei zu bemerken ist, dass die Summe von zwei gleichverteilten Zufallsvariablen eine Dreiecksverteilung ergibt. Bei 31 Variablen ist die Näherung zur Normalverteilung schon sehr ausgeprägt.
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