Statistik: Binomialverteilung

Binomialverteilung

Das Urnenmodell mit Zurücklegen bestimmt die binomialverteilte Zufallsvariable.

Gegeben ist eine Urne mit zwei Sorten Kugeln. Man spricht von einer dichotomen (griech: zweigeteilten) Grundgesamtheit. Es sind insgesamt N Kugeln in der Urne und M Kugeln der ersten Sorte. Der Anteil der Kugeln erster Sorte ist also

$\theta ={\frac {M}{N}}$ ,

(0 ≤ θ ≤ 1). Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Es ist die Zufallsvariable definiert:

X: Anzahl der Kugeln 1. Sorte unter den n gezogenen Kugeln.

Beispiele für binomialverteilte Zufallsvariablen

• In einer Urne befinden sich 3 schwarze und 12 weiße Kugeln. Es werden fünf Kugeln gezogen, wobei jede Kugel sofort wieder zurückgelegt wird (Modell mit Zurücklegen). Wir definieren X als Zahl der weißen Kugeln bei n = 5 Entnahmen.
• 10 mal Würfeln. X: Zahl der Würfe mit einer Augenzahl von mindestens 5.
• Einem sehr großen Fertigungslos von Kondensatoren werden 10 Kondensatoren entnommen. Erfahrungsgemäß sind 15% der Kondensatoren schadhaft. X: Zahl der schadhaften Kondensatoren.
• In einer Schulklasse mit 30 Schülern und Schülerinnen wird täglich ein Kind per Los zum Tafeldienst bestimmt. X: Zahl der Tage, die Paula innerhalb von n = 40 Tagen Tafeldienst machen musste.

Exkurs

Beispiel: Sie würfeln 5 mal. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten Sie zweimal Sechs?

Offensichtlich handelt es sich bei diesem Problem um ein Urnenmodell mit Zurücklegen. Es wäre beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten zwei Würfe Sechs ergeben:

$\theta ={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {5}{6}}=\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {5}{6}}\right)^{3}=0{,}01608$.

Insgesamt gibt es folgende Möglichkeiten, zwei Sechsen zu erhalten, nämlich:

(SSFFF), (FFFSS), (FFSFS), (FFSSF), (FSFFS), FSFSF), (FSSFF), (SFFFS), (SFFSF) und (SFSFF).

Hier bedeuten S: eine Sechs wird gewürfelt, F: keine Sechs wird gewürfelt. Es gibt insgesamt

${5 \choose 2}={\frac {5\cdot 4}{1\cdot 2}}=10$

verschiedene Möglichkeiten, zwei Sechsen zu erhalten. Wir erhalten für die gesamte Wahrscheinlichkeit P(X = 2), dass bei fünf Versuchen genau zwei Sechsen resultieren:

$P(X=2)={5 \choose 2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {5}{6}}\right)^{3}=10\cdot 0{,}01608=0{,}1608.$

Formale Darstellung

Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und θ. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet (0 ≤ θ ≤ 1)

$P(X=x)=b(x|n;\theta )={\begin{cases}{n \choose x}\theta ^{x}(1-\theta )^{n-x}&{\text{falls }}x=0,1,\dots ,n\\0&{\text{sonst.}}\end{cases}}$

Der Binomialkoeffizient berechnet sich als

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},\quad k,n\in N,\quad k,n\geq 0.$

Siehe auch in der Wikipedia: Binomialkoeffizient

Die Verteilungsfunktion P(X ≤ a) = B(a|n; θ) ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen, wie in Zufallsvariablen und Diskrete Zufallsvariablen erläutert.

Wie man der obigen Formel entnehmen kann, ist zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten die Kenntnis von N und M nicht erforderlich, es genügt die Bekanntheit von θ .

Weitere Kennwerte der Binomialverteilung sind

EX = n ·θ   und   varX = n · θ·(1 - θ) .

Beispiel: Verkehrszählung

Der Anteil der LKWs an den Kraftfahrzeugen auf deutschen Autobahnen soll für unser Beispiel 20% betragen. Im Rahmen einer Verkehrszählung an einer Auffahrt der Autobahn werden während einer Stunde 5 einfahrende Fahrzeuge zufällig erfasst.

1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich 2 LKWs in einer Stichprobe?
2. In wieviel Prozent der Stichproben befanden sich mindestens 2 LKWs in einer Stichprobe?

Es handelt sich offensichtlich um ein Modell mit Zurücklegen, denn ein Fahrzeug kann theoretisch auch mehrmals diese Auffahrt nehmen. Da wir die Fahrzeuge in LKW und Nicht-LKW unterscheiden, ist die betrachtete Grundgesamtheit dichotom (zwei Sorten Kugeln in der Urne). Wir definieren als Zufallsvariable X: Zahl der LKWs bei fünf gezählten Fahrzeugen.

X ist also binomialverteilt mit den Parametern n = 5 und θ = 0,2 (20%), in Kurzschreibweise

$X\sim b(x|5;0{,}2)$ .

Wir werden zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X bestimmen:

X = 0	${5 \choose 0}\cdot {\overset {\text{ }}{\left({\frac {1}{5}}\right)^{0}}}\cdot \left(1-{\frac {1}{5}}\right)^{5-0}=1\cdot 1\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{5}={\underset {\text{ }}{\frac {1024}{3125}}}$	0,32768
X = 1	${5 \choose 1}\cdot {\overset {\text{ }}{\left({\frac {1}{5}}\right)^{1}}}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{4}=5\cdot {\frac {4^{4}}{5^{5}}}=5\cdot {\underset {\text{ }}{\frac {256}{3125}}}$	0,4096
X = 2	${5 \choose 2}\cdot {\overset {\text{ }}{\left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{3}=10\cdot {\frac {4^{3}}{5^{5}}}=10\cdot {\underset {\text{ }}{\frac {64}{3125}}}$	0,2048
X = 3	${5 \choose 3}\cdot {\overset {\text{ }}{\left({\frac {1}{5}}\right)^{3}}}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{2}=10\cdot {\frac {4^{2}}{5^{5}}}=10\cdot {\underset {\text{ }}{\frac {16}{3125}}}$	0,0512
X = 4	${5 \choose 4}\cdot {\overset {\text{ }}{\left({\frac {1}{5}}\right)^{4}}}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{1}=5\cdot {\frac {4}{5^{5}}}=5\cdot {\underset {\text{ }}{\frac {4}{3125}}}$	0,0064
X = 5	${5 \choose 5}{\overset {\text{ }}{\cdot \left({\frac {1}{5}}\right)^{5}}}\cdot \left({\frac {4}{5}}\right)^{0}=1\cdot {\underset {\text{ }}{\frac {1}{3125}}}\cdot 1$	0,00032

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung
mit n = 5 und θ = 0,2

Wir erhalten dann die Wahrscheinlichkeitstabelle

xi	0	1	2	3	4	5
b(xi|5;0,2)	0,32768	0,4096	0,2048	0,0512	0,0064	0,00032

Wir können also die gesuchten Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ablesen

1. P(X = 2) = 0,2048
2. P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1- (0,3277 + 0,4096) = 0,2627

Eigenschaften der Binomialverteilung

Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen und zwei Sorten Kugeln (dichotome Grundgesamtheit) ist die Zahl der Kugeln erster Sorte bei n Entnahmen immer binomialverteilt.

Bei einem relativ kleinen Anteil θ ist die Verteilung rechtsschief (bzw. linkssteil), da die Wahrscheinlichkeit für ein kleines x groß ist. Bei einem relativ großen Anteil θ ist die Verteilung linksschief, da die Wahrscheinlichkeit für ein großes x eher groß ist.

Ist θ = 0,5, ist die Verteilung symmetrisch bezüglich $x={\frac {n}{2}}$.

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n = 5 und θ = 0,8

Wahrscheinlichkeitsfunktion der symmetrischen Binomialverteilung mit n = 5 und θ = 0,5

Bemerkung

Bei großem n wird die Berechnung der Binomialkoeffizienten ein numerisches Problem, das allerdings beispielsweise mit der Stirling-Formel gelöst werden kann. Bei der Berechnung von Verteilungswerten kann allerdings die Addition der Wahrscheinlichkeiten sehr umständlich werden. Unter Umständen kann man die Funktionswerte der Binomialverteilung durch die Poissonverteilung oder auch durch die Normalverteilung approximieren.

Siehe auch in der Wikipedia: Binomialverteilung

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