Statistik: Diskrete Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable ist diskret, wenn sie in fast jedem beschränkten Intervall der reellen Zahlen nur endlich viele Ausprägungen annehmen kann. Die diskrete Zufallsvariable kann endlich oder abzählbar unendlich viele Werte x_i ( i = 1,2,..., m bzw. i = 1,2,... ) annehmen.

Beispiele

• Zahl der Schadensleistungen, die in einem Jahr bei einer Versicherung auftreten
• Kinderzahl von Konsumenten
• Zahl der defekten Kondensatoren in einem Fertigungslos

Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist

$P(X=x)=f(x)={\begin{cases}f(x_{i})&{\mbox{für }}x=x_{i}\\0&{\mbox{sonst}}\end{cases}}$

Es gilt

$\sum _{i}f(x_{i})=1\;.$

Die Verteilungsfunktion P(X ≤ a) = F(a) ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten f(x_i) für x_i ≤ a.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist der Durchschnitt des Auftretens ihrer Realisationen. Bei einer diskreten Zufallsvariablen beträgt er

$EX=\sum _{i}x_{i}f(x_{i})\;,$

falls EX existiert, d.h. $EX=\sum _{i}|x_{i}|f(x_{i})\;$ nicht unendlich wird.

Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen berechnet sich als

$\operatorname {Var} \,X=\sum _{i}(x_{i}-EX)^{2}f(x_{i})\;.$

Nach dem sog.Verschiebungssatz ist auch

$\operatorname {Var} \,X=(\sum _{i}x_{i}^{2}f(x_{i}))-(EX)^{2}=EX^{2}-(EX)^{2}\;,$

im Beispiel:

${\begin{matrix}\operatorname {Var} \,X&=&30^{2}\cdot 0{,}4+50^{2}\cdot 0{,}3+60^{2}\cdot 0{,}2+100^{2}\cdot 0{,}1-49^{2}\\&=&360+750+720+1000-2401=429\;.\end{matrix}}$

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