Statistik: Poissonverteilung

Wir betrachten eine poissonverteilte Zufallsvariable X mit den Ausprägungen 0, 1, 2, ....

Typische Beispiele für eine poissonverteilte Zufallsvariable sind:

• Es betreten in einer Minute durchschnittlich λ = 2 Kunden einen Kassenschalter. Wir definieren als X: Zahl der Kunden, die während einer bestimmten Minute an den Bankschalter kommen.
• Die Studentin Paula kauft sich in der Cafeteria ein Stück Rührkuchen. Wir definieren als X: Zahl der Rosinen in diesem Kuchenstück. Der Bäcker rechnet bei 20 Stück Kuchen mit 100 Rosinen. X ist also poissonverteilt mit dem Parameter λ = 5.
• Wir definieren als X: Zahl der Schadensfälle einer Versicherung im nächsten Jahr. Man weiß, daß pro Jahr durchschnittlich 500.000 Schadensfälle auftreten. Der Parameter ist hier λ = 500.000.

Man geht also typischerweise von den folgenden Fragestellungen aus: Anzahl des Auftretens eines Phänomens in einer Zeit- , Gewichts- oder sonstigen Einheit. Die Zufallsvariable X ist poissonverteilt mit dem Parameter λ.

Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet ($\lambda >0$)

$P(X=x)=p(x|\lambda )={\begin{cases}{\frac {e^{-\lambda }\cdot \lambda ^{x}}{x!}}&{\mbox{ für x = 0, 1, ... }}\\0&{\mbox{ sonst}}\end{cases}}$

Die Verteilungsfunktion P(X≤a) = Px(a|λ) ergibt sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Zufallsvariablen, wie in Zufallsvariablen oder Diskrete Zufallsvariablen erläutert.

Es gilt bei der Poissonverteilung: EX = varX = λ.

Die Poissonverteilung ist reproduktiv: Eine Summe von n stochastisch unabhängigen poissonverteilten Zufallsvariablen X_i (i = 1, ... , n), mit jeweils dem Parameter λ_i, ist wiederum poissonverteilt, und zwar mit dem Parameter

$\lambda =\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}$

Beispiel:

Von den mundgeblasenen Gläsern einer Glashütte ist bekannt, dass im Durchschnitt 0,2 Fehler pro Glas auftreten.

Es ist die diskrete Zufallsvariable X: „Die Zahl der Unreinheiten in einem Glas“ annähernd poissonverteilt:

$X\rightarrow p(x|0{,}2)$ .

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Glas genau einen Fehler?

$P(X=1)={\frac {e^{-0{,}2}\cdot 0{,}2^{1}}{1!}}=0{,}2\cdot e^{-0{,}2}=0{,}1637$

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Glas mindestens zwei Fehler?

$P(X\geq 2)=1-P(X\leq 1)=1-\left({\frac {e^{-0{,}2}\cdot 0{,}2^{0}}{0!}}+{\frac {e^{-0{,}2}\cdot 0{,}2^{1}}{1!}}\right)$

$=1-e^{-0{,}2}-0{,}1637=1-0{,}8187-0{,}1637=0{,}0175.$

c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten drei Gläser zusammen mindestens zwei Fehler? Man geht davon aus, dass die Fehler der Gläser stochastisch unabhängig sind.

Man definiert als neue Zufallsvariable Y = X₁ + X₂ + X₃, mit X₁ als Zahl der Fehler des ersten Glases usw. Es ist dann $\lambda _{y}=0{,}2+0{,}2+0{,}2=0{,}6$ und

$P(Y\geq 2)=1-P(Y\leq 1)=1-\left({\frac {e^{-0{,}6}\cdot 0{,}6^{0}}{0!}}+{\frac {e^{-0{,}6}\cdot 0{,}6^{1}}{1!}}\right)$

$=1-\left(e^{-0{,}6}+0{,}6\cdot e^{-0,6}\right)=0{,}1219.$

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