Physikalische Grundlagen der Nuklearmedizin/ Dämpfung von Gammastrahlen

Einleitung

Dies ist das sechste Kapitel des Wikibooks Physikalische Grundlagen der Nuklearmedizin.

Wir haben die Wechselwirkung von Gammastrahlen mit Materie im letzten Kapitel von einem beschreibenden Standpunkt aus kennen gelernt und sahen, dass der Compton Effekt und der photoelektrische Effekt die beiden wesentlichen Mechanismen darstellen. Wir werden uns hier noch einmal mit diesem Thema auseinander setzen, diesmal jedoch aus einem analytischen Blickwinkel. Dies wird uns ein universelleres Verständnis dieser Vorgänge ermöglichen.

Man bemerke, dass die hier vorgeführte Behandlung des Stoffs gleichermaßen für Röntgenstrahlen gilt, da, wie wir bereits wissen, Gammastrahlen und Röntgenstrahlen unterschiedliche Erscheinungen desselben physikalischen Phänomens sind.

Unsere Behandlung beginnt mit der Beschreibung eines einfachen Strahlungsexperiments, welches leicht in einem Labor durchgeführt werden kann und welches von vielen frühen Pionieren auf diesem Gebiet durchgeführt wurde. Wir werden hierauf aufbauend eine einfache Gleichung ableiten und sie mit einigen einfachen Konzepten soweit generalisieren, dass wir sie auf beliebige Dämpfungsprobleme anwenden können.

Absorptionsexperiment

Das Experiment ist recht einfach. Es besteht darin einen dünnen Gammastrahl auf ein Material zu schießen und zu messen wie viel Strahlung hindurch kommt. Wir können sowohl die Energie der Gammastrahlen als auch die Art des Absorbermaterials ändern, wie auch seine Dicke, oder seine Dichte.

Der experimentelle Aufbau ist in der Abbildung unten gezeigt. Wir bezeichnen die Intensität die auf den Absorber auftrifft als die einfallende Intensität $I_{0}$, und die Intensität der die durch den Absorber hindurch kommt als die transmittierte Intensität $I_{x}$. Mit $x$ bezeichnen wir die Dicke des Absorbers:

Aus dem letzten Kapitel wissen wir, dass Gammastrahlen Wechselwirkungen wie dem photoelektrischen Effekt und dem Compton Effekt ausgesetzt sein werden während sie den Absorber passieren. Die transmittierten Strahlen werden im wesentlichen diejenigen sein, die überhaupt keine Wechselwirkung mit dem Absorbermaterial hatten.

Wir können also erwarten, dass die transmittierte Intensität geringer sein wird als die einfallende Intensität, dass heißt:

$I_{x}<I_{0}~$

Man mag sich jedoch fragen um wie viel kleiner? Bevor wir dies klären, wollen wir erst einmal den Unterschied zwischen $I_{x}$ und $I_{0}$ als $\triangle I$ bezeichnen, formal schreiben wir:

$\triangle I=I_{0}-I_{x}$

Einfluss der Kernladungszahl

Wir wollen damit anfangen, die Änderung der Größe $\triangle I$ zu untersuchen, indem wir unterschiedliche Absorber in den Strahlengang bringen. Wir stellen dabei fest, dass $\triangle I$ sehr stark von der Kernladungszahl des Absorbermaterials abhängt. Zum Beispiel finden wir, dass $\triangle I$ im Falle eines Absorbers aus Kohlenstoff (Z=6) ziemlich klein, jedoch im Falle von Blei (Z=82) sehr groß ist.

Wir können uns dies anhand der folgenden Grafik veranschaulichen:

In dieser Graphik sind die Atome mit großer Kernladungszahl als große Kreise und solche mit kleiner Kernladungszahl als kleine Kreise dargestellt. Die von links in den jeweiligen Absorber einfallende Strahlung wird durch Pfeile angedeutet. Man beachte, dass die Atome mit größerer Kernladungszahl größere Ziele für die Strahlung darstellen und somit die Chancen für eine Wechselwirkung über den photoelektrischen und den Compton-Effekt relativ hoch sind. Die Dämpfung sollte daher recht hoch sein.

Im Falle niedriger Kernladungszahl sind jedoch die einzelnen Atome kleiner und daher sind die Chancen für Wechselwirkungen geringer. Anders ausgedrückt, hat die Strahlung eine größere Chance, durch den Absorber hindurch zu kommen und die Dämpfung ist entsprechend geringer als im Falle großer Kernladungszahl.

In der Analogie mit dem Raumschiff, die wir im letzten Kapitel hergestellt haben, kann man sich die Kernladungszahl als die Größe der einzelnen Meteore in der Meteorwolke vorstellen.

Würden wir ein präzises Experiment durchführen und die Ergebnisse detailliert untersuchen, so stellten wir fest, dass:

$\triangle I\propto Z^{3}$

Wenn wir also die Kernladungszahl des Absorbers verdoppeln, erhöhen wir die Dämpfung um einen Faktor 2³, also 8, wenn wir sie verdreifachen, erhöht sich die Dämpfung um den Faktor 27 usw.

Aus diesem Grunde werden Materialien mit großer Kernladungszahl, wie zum Beispiel Blei, gerne im Strahlenschutz verwendet.

Einfluss der Dichte

Als zweites untersuchen wir, wie sich die Größe $\triangle I$ ändert, wenn wir die Dichte des Absorbers verändern. Aus der Abbildung unten sehen wir, dass eine geringere Dichte, zu einer geringeren Dämpfung führt, da die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung der Strahlung mit der Materie geringer ist.

In unserer Analogie mit dem Raumschiff, können wir uns die Dichte, als Anzahl der Meteore pro Raumeinheit vorstellen. Eine geringe Dichte bedeutet hier also auch eine geringe Wahrscheinlichkeit für einen Zusammenstoß des Raumschiffs mit einem Meteor. Quantitativ erhält man, dass die Dämpfung der Dichte ρ proportional ist:

$\triangle I\propto \rho$

Einfluss der Dicke

Drittens können wir die Dicke des Absorbers verändern. Wie man sich leicht überlegt, bewirkt ein dickerer Absorber eine stärkere Abschwächung der Strahlung.

Einfluss der Energie der Gamma-Strahlung

Schließlich können wir in unserem Experiment die Energie der Gammastrahlung verändern. Dabei finden wir, ohne groß ins Detail zu gehen, dass Strahlung mit höherer Energie weniger stark abgeschwächt wird. Man kann sich dies auch anhand der Analogie des Raumschiffs beim Durchfliegen einer Meteorwolke überlegen, indem man die Chancen eines schnellen und eines langsamen Schiffs, die Wolke zu durchfliegen, vergleicht.

Mathematisches Modell

Wir entwickeln hier ein mathematisches Modell, das uns helfen wird unsere experimentellen Befunde zu verallgemeinern. Wir werden sehen, dass der mathematische Ansatz und die erhaltenen Ergebnisse denen aus dem Kapitel „Das Zerfallsgesetz“ sehr ähnlich sind. Also müssen wir uns hier nicht mit neuer Mathematik plagen sondern lediglich die gleiche mathematische Analyse auf ein neues Thema anwenden.

Fangen wir einfach damit an, dass wir nur die Dicke des Absorber verändern. Anders gesagt verwenden wir immer das selbe Material (also immer die gleiche Kernladungszahl) und die gleiche Dichte und benutzen immer Gammastrahlung der gleichen Energie in unserem Experiment. Nur die Dicke des Absorbers wird verändert.

Aus den obigen Betrachtungen können wir uns leicht vorstellen, dass die Größe $\mathrm {d} I$ sowohl von der Intensität der einfallenden Strahlung als auch von der Dicke des Absorbers abhängt, dass heißt für eine infinitesimal kleine Änderung der Dicke des Absorbers:

$-\mathrm {d} I\propto I\cdot \mathrm {d} x$

das Minuszeichen deutet an, dass die Intensität durch den Absorber verringert wird.

Wandeln wir die proportionale Beziehung in eine Gleichung um so haben wir:

$-\mathrm {d} I=\mu \cdot I\cdot \mathrm {d} x$

wobei die Proportionalitätskonstante μ linearer Schwächungskoeffizient genannt wird.

Teilen wir dies durch $I$, so können wir die Gleichung umschreiben zu:

${\frac {-\mathrm {d} I}{I}}=\mu \cdot \mathrm {d} x$

Diese Gleichung beschreibt also den Effekt für kleine Änderungen in der Absorberdicke $\mathrm {d} x$. Um herauszufinden, was sich für die gesamte Länge des Absorbers ergibt, müssen wir die Effekt für alle kleinen Teilstücke zusammenrechnen. Sprich wir müssen die Gleichung integrieren. Drücken wir dies formaler aus, so können wir sagen, dass die Intensität der Strahlung von der Dicke $x=0$ bis zu irgendeiner anderen Dicke $x$ von $I_{0}$ auf $I_{x}$ abnehmen wird, so dass:

${\begin{matrix}&\Rightarrow &\int \limits _{I_{0}}^{I_{x}}{\frac {-\mathrm {d} I}{I}}&=&\mu \cdot \int \limits _{0}^{x}\mathrm {d} x\\&\Rightarrow &\mathrm {ln} {\underset {\text{ }}{\left({\frac {I_{x}}{I_{0}}}\right)}}&=&-\mu x\\&\Rightarrow &{\frac {I_{x}}{I_{0}}}&=&e^{-\mu x}\\&\Rightarrow &I_{x}&=&I_{0}\cdot e^{-\mu x}\end{matrix}}$

Die letzte Gleichung sagt uns, dass die Intensität der Strahlung exponentiell mit der Dicke des Absorbers abnehmen wird, wobei die Abnahmerate durch den linearen Schwächungskoeffizienten gegeben ist. Diese Beziehung ist unten graphisch dargestellt. Es ist die Intensität gegenüber der Dicke des Absorbers $x$ aufgetragen. Wir sehen, dass die Intensität vom Wert $I_{0}$, bei $x=0$, zunächst sehr schnell und später immer langsamer in klassischer exponentieller Form abnimmt.

Exponentielle Dämpfung von Strahlung

Exponentielle Dämpfung von Strahlung in logarithmischer Darstellung

Der Einfluss des linearen Schwächungskoeffizienten ist in der nächsten Abbildung dargestellt. Alle drei Kurven verlaufen exponentiell, nur die linearen Schwächungskoeffizienten sind verschieden. Man sieht, dass die Kurve bei einem kleinen linearen Schwächungskoeffizienten relativ langsam und bei einem großen linearen Schwächungskoeffizienten sehr schnell abfällt.

Exponentielle Dämpfung von Strahlung in Abhängigkeit des linearen Schwächungskoeffizienten

Der lineare Schwächungskoeffizient ist eine Eigenschaft des Absorbermaterials. Einige wie zum Beispiel Kohlenstoff haben einen kleinen Wert und können leicht von Strahlung durchdrungen werden. Andere Materialien wie zum Beispiel Blei haben einen relativ großen linearen Schwächungskoeffizienten und stellen somit gute Absorber dar.

Absorptionskoeffizienten (in cm^-1) für einige Materialien bei Gamma-Energien von 100, 200 und 500 keV.

Absorber	100 keV	200 keV	500 keV
Luft	0,000195	0,000159	0,000112
Wasser	0,167	0,136	0,097
Kohlenstoff	0,335	0,274	0,196
Aluminium	0,435	0,324	0,227
Eisen	2,72	1,09	0,655
Kupfer	3,8	1,309	0,73
Blei	59,7	10,15	1,64

Die Materialien in der obigen Tabelle sind Luft, Wasser, usw. und reichen von Elementen wie Kohlenstoff (Z=6) bis Blei (Z=82) und ihre Absorptionskoeffizienten sind für drei verschiedene Gamma-Energien angegeben. Als erstes bemerken wir, dass der Absorptionskoeffizient mit der Kernladungszahl zunimmt. Zum Beispiel nimmt er vom sehr kleinen Wert von 0,000195 cm^-1 für Luft bei 1000 keV bis auf 60 cm^-1 für Blei zu. Als zweiten Punkt stellen wir fest, dass der Absorptionskoeffizient mit zunehmender Energie der Gamma-Strahlung abnimmt. Zum Beispiel nimmt der Wert für Kupfer von 3,8 cm^-1 bei 100 keV auf 0,73 cm^-1 bei 500 keV ab. Drittens bemerken wir, dass der in der Tabelle erkennbare Trend mit den obigen experimentellen Erwägungen übereinstimmt.

Schließlich ist es wichtig zu bemerken, dass die obige Ableitung nur für dünne Strahlenbündel strikt gültig ist. Bei ausgedehnten Strahlen müssen weitere Faktoren berücksichtigt werden.

Halbwertsdicke

Genauso wie man die Halbwertszeit beim Zerfallsgesetz benutzt, gibt es eine vom Absorptionsgesetz abgeleitete Größe, mit der wir uns die Vorgänge veranschaulichen können. Diese Größe heißt Halbwertsdicke und beschreibt die Dicke eines Absorbermaterials, die benötigt wird, um die einfallende Strahlung um den Faktor zwei zu reduzieren. Graphisch betrachtet können wir sagen, dass wenn

$I_{x}={\frac {I_{0}}{2}}$

gilt, die Dicke des Absorbers genau der Halbwertsdicke entspricht:

Die Halbwertsdicke für einige Absorber ist in der folgenden Tabelle für drei verschiedene Gamma-Energien angegeben:

Absorber	100 keV	200 keV	500 keV
Luft	3555	4359	6189
Wasser	4,15	5,1	7,15
Kohlenstoff	2,07	2,53	3,54
Aluminium	1,59	2,14	3,05
Eisen	0,26	0,64	1,06
Kupfer	0,18	0,53	0,95
Blei	0,012	0,068	0,42

Halbwertsdicken (in cm) einiger Materialien bei Gamma-Energien von 100, 200 und 500 keV.

Als erstes bemerken wir, dass die Halbwertsdicke mit steigender Kernladungszahl abnimmt. Zum Beispiel beträgt der Wert für Luft bei 100 keV etwa 35 Meter, jedoch nur 0,12 mm für Blei bei der selben Energie. Anders ausgedrückt benötigt man 35 m Luft, um die Intensität eines Gamma-Strahls von 100 keV auf die Hälfte zu reduzieren, wobei man mit nur 0,12 mm Blei das selbe erreichen kann. Als zweites halten wir fest, dass die Halbwertsdicke mit zunehmender Gamma-Energie größer wird. Zum Beispiel steigt sie für Kupfer von 0,18 cm bei 100 keV auf 1 cm bei 500 keV. Drittens können wir aus den beiden obigen Tabellen sehen, dass es eine reziproke Beziehung zwischen der Halbwertsdicke und dem Absorptionskoeffizienten gibt, welche wir nun im Detail untersuchen werden.

Beziehung zwischen dem Absorptionskoeffizienten und der Halbwertsdicke

Wie schon beim Gesetz des radioaktiven Zerfalls, wo wir die Beziehung zwischen der Halbwertszeit und der Zerfallskonstante untersucht haben, kann eine Beziehung zwischen der Halbwertsdicke und dem Absorptionskoeffizienten hergeleitet werden. Wir tun dies, indem wir die Definition der Halbwertsdicke verwenden:

$I_{x}={\frac {I_{0}}{2}}$

wobei

$x=x_{\frac {1}{2}}$

setzen wir dies in das Absorptionsgesetz ein, so haben wir:

$I_{x}=I_{0}\cdot e^{-\mu x}$

dies ergibt

${\frac {I_{0}}{2}}=I_{0}\cdot e^{-\mu x_{\frac {1}{2}}}$

Somit

${\begin{matrix}&&{\frac {1}{2}}&=&e^{-\mu x_{\frac {1}{2}}}\\&\Rightarrow &2^{-1}&=&e^{-\mu x_{\frac {1}{2}}}\\&\Rightarrow &\ln \left(2^{-1}\right)&=&-\mu x_{\frac {1}{2}}\\&\Rightarrow &\ln \left(2\right)&=&\mu x_{\frac {1}{2}}\\&\Rightarrow &0{,}693&=&\mu x_{\frac {1}{\underset {\text{ }}{2}}}\\&\Rightarrow &\mu &=&{\frac {0{,}693}{x_{\frac {1}{2}}}}\end{matrix}}$

und

$x_{\frac {1}{2}}={\frac {0{,}693}{\mu }}$

Die letzten beiden Gleichungen drücken den Zusammenhang zwischen dem Absorptionskoeffizienten und der Halbwertsdicke aus. Sie sind sehr nützlich, wenn es darum geht, Rechenaufgaben zu lösen, die etwas mit der Abschwächung von Strahlung zu tun haben und sind häufig der erste Schritt zur Lösung.

Massenabsorptionskoeffizient

Oben haben wir gesehen, dass der lineare Schwächungskoeffizient nützlich ist wenn wir es mit Absorbermaterial gleicher Dichte aber unterschiedlicher Dicke zu tun haben. Ein weiterer Koeffizient kann nützlich sein wenn wir die Dichte ρ in unsere Analyse mit einbeziehen wollen. Dieser heißt Massenabsorptionskoeffizient und ist definiert als:

${\frac {\text{Absorptionskoeffizient}}{\text{Dichte}}}={\frac {\mu }{\rho }}$

Als Maßeinheit für den Absorptionskoeffizienten haben wir in der obigen Tabelle cm^-1 verwendet, weiterhin ist ${\frac {\mathrm {g} }{\mathrm {cm} ^{3}}}$ eine übliche Einheit der Dichte. Der Leser mag sich nun selbst ausrechnen wollen, dass ${\frac {\mathrm {cm} ^{2}}{\mathrm {g} }}$ die entsprechende Einheit des Massenabsorptionskoeffizienten ist.

Fragen

Die beiden unten angegebenen Fragen sollen dabei helfen, das Verständnis für den Stoff dieses Kapitels zu vertiefen. Die erste ist recht einfach und übt die Anwendung der exponentiellen Schwächungsgleichung. Die zweite Frage ist erheblich anspruchsvoller und beschäftigt sich mit der Anwendung des exponentiellen Schwächungsgesetzes im Bezug auf Radioaktivität und Ionendosis.

Frage 1

Wie viel Aluminium braucht man um die Intensität eines 200 keV Gammastrahls auf 10% seiner ursprünglichen Intensität zu reduzieren. Die Halbwertsdicke von 200 keV Gammastrahlung in Al sei 2,14 cm.

Antwort

Mathematisch ausgedrückt lautet die obige Frage:

$I_{x}={\frac {I_{0}}{10}}$             ,     wobei x die gesuchte Dicke des Aluminiums ist.

Wir wissen, dass die Halbwertsdicke 2.14 cm beträgt. Daher ist der lineare Schwächungskoeffizient:

$\mu ={\frac {0{,}693}{x_{\frac {1}{2}}}}={\frac {0{,}693}{2{,}14\,\mathrm {cm} }}=0{,}324\,\mathrm {cm} ^{-1}$

Verbinden wir dies mit dem Absorptionsgesetz

$I_{x}=I_{0}e^{-\mu x}~$

so können wir schreiben:

${\frac {I_{0}}{10}}=I_{0}e^{-0{,}324\mathrm {cm} ^{-1}x}$

Somit

${\begin{matrix}&&{\frac {1}{10}}&=&e^{-0{,}324\mathrm {cm} ^{-1}x}\\&\Rightarrow &-\ln(10)&=&-0{,}324\,\mathrm {cm} ^{-1}x\\&\Rightarrow &x={\frac {\ln(10)}{0{,}324\,\mathrm {cm} ^{-1}}}&=&{\frac {2{,}3}{0{,}324\,\mathrm {cm} ^{-1}}}=7{,}1\,\mathrm {cm} \\&\Rightarrow &x&\approx &7\mathrm {cm} \end{matrix}}$

Also beträgt die Dicke des Aluminiums, das man braucht, um diese Gamma-Strahlung um einen Faktor 10 zu reduzieren, etwa 7 cm. Diese relativ hohe Dicke ist der Grund dafür, dass Aluminium im allgemeinen nicht zur Abschirmung von Strahlung verwendet wird - seine Massenzahl ist nicht groß genug, um Gammastrahlung effizient schwächen zu können.

Man mag diese Frage vielleicht mit Blei als Absorber ausprobieren wollen - Die Antwort auf Frage nach der Halbwertsdicke von Blei für Gammastrahlung einer Energie von 200 keV möge der Leser selber herausfinden.

Als Hinweis möchten wir jedoch die oben aufgeführten Tabellen angeben.

Weiterhin geben wir die Lösung der Aufgabe zur Kontrolle an: 2,2 mm

In anderen Worten wird nur eine relativ dünne Bleischicht benötigt um den selben Effekt wie eine 7 cm dicke Aluminiumschicht zu erreichen.

Frage 2

Eine 10⁵ MBq Strahlenquelle des Isotops ¹³⁷Cs soll in einer Bleikiste gelagert werden, so dass die Ionisationsrate in 1 m Abstand von der Quelle 0,5 mR/Stunde beträgt. Die Halbwertsdicke für die von ¹³⁷Cs emittierten Gamma-Strahlen in Blei betrage 0,6 cm. Wie dick muss die Bleikiste sein? Die spezifische Gammastrahlenkonstante von ¹³⁷Cs sei 3,3 R h^-1 mCi^-1 bei 1 cm Abstand von der Quelle.

Antwort

Dies ist eine recht typische Frage, die auftritt, wenn man mit radioaktiven Materialien arbeitet. Wir möchten eine bestimmte Menge eines Materials benutzen und wir möchten sie aus Gründen des Strahlenschutzes so in einem Bleibehälter lagern, dass die Ionisationsrate unterhalb einer gewissen Schwelle bleibt, wenn wir in einer bestimmten Entfernung von der Quelle arbeiten. Wir kennen die Radioaktivität des benutzen Materials. Aber wir suchen eine Lösung in SI Einheiten. Wir schlagen die Ionisationsrate in einem Nachschlagewerk nach und finden, dass die Gamma-Strahlenkonstante in veralteten Einheiten angegeben ist. Genau wie in diesem Beispiel.

Fangen wir also damit an unsere Einheiten in ein Maßsystem zu bringen. Die Gamma-Strahlenkonstante ist gegeben durch:

$3{,}3{\frac {\mathrm {R} }{\mathrm {h} \cdot \mathrm {mCi} }}$ bei 1 cm Abstand von der Quelle

Dies ist gleich:

$3300\,{\frac {\mathrm {mR} }{\mathrm {h} \cdot \mathrm {mCi} }}$ bei 1 cm Abstand von der Quelle

Dies ist wiederum gleich:

${\frac {3300}{100^{2}}}\,{\frac {\mathrm {mR} }{\mathrm {h} \cdot \mathrm {mCi} }}$ bei 1 m Abstand von der Quelle

nach dem Abstandsgesetz. Das Ergebnis in Becquerel ausgedrückt ist:

${\frac {3300}{10^{4}\cdot 3{,}7\cdot 10^{7}}}\,{\frac {\mathrm {mR} }{\mathrm {h} \cdot \mathrm {Bq} }}$ bei 1 m Abstand von der Quelle

da $1\,\mathrm {mCi} =3{,}7\cdot 10^{7}\,\mathrm {Bq}$. Und somit erhalten wir bei einer Radioaktivität von $10^{5}\,\mathrm {MBq}$ für die Ionisationsrate:

${\frac {3300\cdot 10^{5}\cdot 10^{6}}{10^{4}\cdot 3{,}7\cdot 10^{7}}}{\frac {\mathrm {mR} }{\mathrm {h} }}~$ bei 1 m Abstand von der Quelle

Die Ionisationsrate in einem Meter Abstand von der Quelle beträgt also 891,9 mR h^-1.

Wir möchten die Ionisationsrate, entsprechend der Fragestellung auf weniger als 0,5 mR h^-1 senken, indem wir Blei als Absorber verwenden.

Der Leser wird nun in der Lage sein, das exponentielle Dämpfungsgesetz mit der Halbwertsdicke für Gammastrahlen in Blei zu benutzen, um zu berechnen, dass die Dicke des benötigten Bleis ca. 6,5 cm beträgt.

Externe Links (englisch)

• Mucal on the Web - an online program which calculates x-ray absorption coefficients - by Pathikrit Bandyopadhyay, The Center for Synchrotron Radiation Research and Instrumentation at the Illinois Institute of Technology.
• Tables of X-Ray Mass Attenuation Coefficients - a vast amount of data for all elements from National Institute of Science & Technology, USA.

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