Physik Oberstufe/ Elektrizitätslehre/ Das elektrische Feld
Die Wechselwirkung elektrischer Ladungen
BearbeitenSchaltkreis, Blick in den Leiter: Atomrümpfe sind fest, es bewegen sich die Elektronen.
Experiment: Elektroskop: Funktionsweise, aufladen, entladen Experiment: Geladener Gegenstand wird in die Nähe des Elektroskops gebracht. Beobachtung: Das Elektroskop schlägt aus, auch wenn es nicht mit dem geladenen Stab in Berührung kommt. Entfernt man den geladenen Körper, so geht auch der Ausschlag wieder zurück. Erklärung: Influenz: Ladungen fließen im Leiter und ordnen sich aufgrund der in die Nähe gebrachten Ladung anders an. Experiment: Wasserstrahl durch geladenen Gegenstand ablenken Beobachtung: Der Wasserstrahl wird unabhängig vom Vorzeichen der Ladung immer zum geladenen Körper hin abgelenkt. Erklärung: Polarisation: Ladungen verschieben sich auf Atomarer/Molekularer Ebene. Dipol-Charakter des H2O-Moleküls, stärkere Anziehung näher beim Stab (aufgrund des inhomogenen Feldes). |
Beschreibung durch Felder
BearbeitenMan bezeichnet physikalische Größen, die an jedem Ort im Raum definiert sind, als Felder.
Beispiele:
- Temperaturfeld
- Strömungsfeld: Windrichtung und -geschwindigkeit, Geschwindigkeitsfeld
- Kraftfeld
Hier: Eine große Ladungsmenge übt auf die kleine Probeladung eine Kraft aus: Problem: Das Kraftfeld hängt auch von der Größe der Probeladung ab.
Lösung: Wir definieren das elektrische Feld Feld als:
Dabei ist die Kraft auf die Probeladung am Ort . Das elektrische Feld der Ladung hängt nur von der Ladung selbst ab und hat die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung.
Für die Einheit des elektrischen Feldes gilt:
- .
Superpositionsprinzip, Feld- und Äquipotentiallinien
BearbeitenSuperpositionsprinzip
BearbeitenUm an einem Ort das elektrische Feld einer Ladungsverteilung zu ermitteln, wenden wir das Superpositionsprinzip an. Es besagt, dass sich das resultierende Feld mehrerer Ladungen aus der Summe der Felder der einzelnen Ladungen ergibt:
Elektrische Feldlinien
BearbeitenWir verwenden Feld- und Äquipotentiallinien um elektrische Felder zu veranschaulichen.
In der Elektrostatik gelten für elektrische Feldlinien die folgenden Regeln:
- Feldlinien verlaufen von positiven zu negativen Ladungen ⇒ es gibt keine geschlossenen Feldlinien.
- Feldlinien schneiden sich nie (es gibt nur eine Richtung der resultierenden Kraft auf eine Probeladung).
- Je dichter die Feldlinien, desto größer die Feldstärke.
- Feldlinien stehen stets senkrecht auf leitenden Oberflächen.
Elektrische Leiter im Feld
BearbeitenElektrische Leiter zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen frei bewegliche Ladungen vorliegen. Im elektrischen Feld verschieben sich die Ladungen (Influenz) so lange, bis im Leiter kein elektrisches Feld mehr existiert, das Innere von Leitern ist also feldfrei und aufgebrachte Ladung sitzt an der Oberfläche. Diese Oberfläche hat überall das selbe Potential, ist also Äquipotentialfläche.
Äquipotentiallinien
BearbeitenNeben Feldlinien kann man Äquipotentiallinien zur Beschreibung von Feldern verwenden. Es gelten die folgenden Regeln:
- Äquipotentiallinien stehen immer senkrecht auf Feldlinien.
- Ladungen können auf Äquipotentiallinien ohne Kraftaufwand verschoben werden.
Experiment: Elektrisches Feld sichtbar machen: Rizinusöl und Grießkörner in Glasschale, verschiedene Ladungskonstellationen, u.a. 2D-Plattenkondensator homogenes Feld), und Faradayeffekt anhand einer Leiterschleife. Erklärung: Die Grießkörner werden im Feld polarisiert und richten sich entlang der Feldlinien aus. |
Aufgabe: Simulation: Feld- und Äquipotentiallinien.
Feldmessung Plattenkondensator
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Eine an einer Kondensatorplatte aufgeladenen Kugel wird im Feld an einer Schnur hängend um ausgelenkt. Messung mit Laserstrahl (Verwendung des Strahlensatzes). Experiment: Qualitativ: Kondensator verschieben Beobachtung: Auslenkung nimmt nur am Rand ab Erklärung: Im Inneren des Kondensators herrscht ein homogenes Feld Experiment: Qualitativ: Wir halbieren die Ladung der Kugel, indem wir sie im feldfreien Raum mit einer ungeladenen, ansonsten aber identischen Kugel berühren (die Ladung verteilt sich gleichmäßig auf beide Kugeln). Beobachtung: Die Auslenkung halbiert sich. Erklärung: Da gilt, also proportional zur Ladung ist, bedeutet die halbe Ladung die halbe Kraft. Aber: Ist die Auslenkung proportional zur Kraft? für . |
ToDo: Direkte Messung der Ladung auf der Kugel und indirekt über den fließenden Strom bei zwischen den Platten pendelnder Kugel.
Das elektrische Feld im Plattenkondensator
BearbeitenAus der Definition der Spannung:
können wir eine Formel für das homogene Feld im Plattenkondensator herleiten. Für die erforderliche Arbeit , um eine Ladung von einer Kondensatorplatte zur anderen zu transportieren, erhalten wir mit dem Plattenabstand :
Einsetzen der Beziehung für ergibt:
und damit gilt für das homogene Feld im Plattenkondensator:
Beschleunigung von Ladungen im elektrischen Feld
BearbeitenDie Kraft auf Ladungen im elektrischen Feld beschleunigt frei bewegliche, geladene Teilchen. Mit der kinetischen Energie und der Definition der Spannung erhält man unter Benutzung des Energieerhaltungssatzes:
Anwendung: Braunsche Röhre
BearbeitenElektronenkanone
BearbeitenMit einer Elektronenkanone kann man einen Elektronenstrahl erzeugen. Sie besteht im Wesentlichen aus einer Glühkathode und einer mit einem Loch versehenen Anodenplatte. Damit Elektronen aus der Kathode austreten (Edison-Richardson/glühelektrischer Effekt), erhitzt man diese über eine Glühwendel oder verwendet die Glühwendel selbst als Kathode. Durch die zwischen Kathode und Anode angelegte Beschleunigungsspannung werden die negativ geladenen Elektronen entgegen der Feldrichtung beschleunigt. Ein Großteil prallt auf die Anode, einige Elektronen passieren jedoch die Anode durch das Loch und bewegen sich anschließend im näherungsweise feldfreien Raum mit der Geschwindigkeit weiter. Um möglichst viele Elektronen auf die Blendenöffnung zu fokussieren, verwendet man zwischen Kathode und Anode weitere feldformende Elemente wie den sog. Wehneltzylinder.
Strahlgeschwindigkeit
BearbeitenMit obiger Überlegung erhält man bei einer Beschleunigungsspannung für die Geschwindigkeit der Elektronen im Strahl:
Dabei ist die Elementarladung (der Betrag der Ladung des Elektrons) und die Masse des Elektrons.
Ablenkung des Strahls
BearbeitenDer Elektronenstrahl kann durch Ablenkkondensatoren, die senkrecht zum ursprünglichen Strahl angeordnet sind, abgelenkt werden. Da die Kraft im Feld des Ablenkkondensators senkrecht auf der Geschwindigkeit steht, ändert sich diese Geschwindigkeitskomponente nicht. Verläuft das Feld beispielsweise in -Richtung, wird nur die Geschwindigkeitskomponente beeinflusst. Dies ist analog zum waagerechten Wurf im Gravitationsfeld. Während die Komponente unverändert bleibt, führt das Elektron in -Richtung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus.
Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe gelten die bekannten Zusammenhänge:
- und .
Nun setzen wir für die Beschleunigung :
- .
Wobei wir die Definition des elektrischen Feldes und die Feldstärke im Plattenkondensator (Plattenabstand ) verwendet haben. Die Zeit können wir mit durch die Position im Kondensator ausdrücken .
Geschwindigkeit im Kondensator
BearbeitenFür die Geschwindigkeit im Kondensator erhalten wir:
- .
Setzen wir nun noch von oben ein, erhalten wir:
Hat der Kondensator die Länge , so beträgt nach dem Kondensator die Geschwindigkeit der Elektronen in -Richtung:
- .
Ort im Kondenator
BearbeitenFür den Ort im Kondensator erhalten wir:
- .
Setzen wir nun wieder ein, ergibt sich:
- .
Am Ende des Kondensators haben die Elektronen die -Position:
- .
Bewegung außerhalb des Kondensators
BearbeitenIm feldfreien Raum außerhalb des Kondensators wirken keine Kräfte und die Elektronen bewegen sich gleichförmig. Bis zum Auftreffen auf einem Schirm im Abstand vom Kondensator verstreicht die Zeit . In dieser Zeit bewegt sich ein abgelenktes Elektron in -Richtung um:
- .
Insgesamt trifft der Strahl also mit folgendem Versatz auf dem Schirm auf:
- .
Aufgaben:
Ursache des elektrischen Feldes
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Experiment: Messe die Ladung auf einem Metallplättchen im Plattenkondensator und untersuche die Abhängigkeit von Spannung , Plattenabstand und Fläche des Plättchens. Ergebnis: Proportionale Zusammenhänge Also insgesamt: |
Mit der Flächenladungsdichte: findet man:
Die Flächenladungsdichte der felderzeugenden Ladungen eines homogenen Feldes ist seiner Feldstärke proportional.
Es gilt:
Die Materialkonstante beschreibt das Medium über der Metalloberfläche. Für Luft gilt: . |
Coulombsches Gesetz
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Experimentelles Ergebnis: Die Feldstärke außerhalb einer geladenen Kugel hängt nicht von ihrem Radius ab, sondern allein von der Ladung , die sie trägt. Voraussetzung ist, dass die Verteilung der Ladung auf der Kugel stets kugelsymmetrisch ist. |
Wir wollen die Feldstärke im Abstand vom Kugelmittelpunkt berechnen. Da sich die Feldstärke durch vergrößern der Kugel nicht ändert, können wir der Kugel den Radius geben und die Feldstärke direkt über der Kugeloberfläche mit unserer Beziehung berechnen:
Coulomb-Kraft
BearbeitenDa , gilt für die Kraft, die zwei Ladungen und im Abstand aufeinander ausüben, demnach das Coulombsche Gesetz:
Coulomb-Potential
BearbeitenWir interessieren uns für die potentielle Energie , die eine Ladung im Feld einer zweiten Ladung besitzt. Dazu transportieren wir von nach :
Wenn wir nun in Gedanken bis ins Unendliche transportieren ( ), so erhalten wir für die gesamte potentielle Energie der Ladung , die diese im Abstand von hat:
Im Unendlichen gilt: . Für das elektrische Potential im Abstand einer mit geladenen Kugel gilt dann:
Aufgabe: Superpositionsprinzip und Coulombsches Gesetz.
Der Kondensator als elektrisches Bauelement
BearbeitenAus dem Experiment folgt die Proportionalität zwischen am Kondensator angelegter Spannung und gespeicherter Ladung : mit der allein von der Bauart des Kondensators abhängigen Proportionalitätskonstanten . Die Kapazität eines Kondensators ist definiert als:
Beim Plattenkondensator gilt:
Aufgaben:
- Veränderung des Plattenabstands eines geladenen Kondensators.
- Geladene Kondensatoren zusammenschalten.
Materie im elektrischen Feld
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Experiment: Wir messen die Ladung auf unserem Kondensator mit und ohne Plexiglasplatte (Dielektrikum). Beobachtung: Durch das Dielektrikum kann der Kondensator mehr Ladung speichern, seine Kapazität steigt. |
Wir berücksichtigen diesen Effekt durch die Dielektrizitätszahl und erhalten für die Kapazität des Plattenkondensators im allgemeinen Fall:
Die Werte für verschiedener Materialien finden sich in Tabellen.
Schaltungen von Kondensatoren
BearbeitenParallelschaltung
BearbeitenWir erhalten für die Parallelschaltung von zwei Kondensatoren:
Reihenschaltung
BearbeitenWir erhalten für die Reihenschaltung von zwei Kondensatoren:
Aufgaben:
- Reihen- und Parallelschaltung von Kondensatoren.
- Ein Kondensator, teilweise mit Dielektrikum gefüllt.
Energie elektrischer Felder
BearbeitenFrage: Wieviel Energie ist im Kondensator gespeichert?
Experiment: In Gedanken laden wir einen Kondensator auf, indem wir Ladung für Ladung einzeln von einer Platte zur anderen transportieren. Welche Arbeit ist dabei jeweils erforderlich? Für die erste Ladung sogut wie keine Arbeit, für die letzte die Arbeit: |
Diese Arbeit muss man von der ersten bis zur letzten Ladung aufsummieren (integrieren):
Man erhält damit dann:
Wenn wir in für die Kapazität die Formel für den Plattenkondensator und einsetzen, so finden wir:
Die Energiedichte des elektrischen Feldes ist damit:
Anziehungskraft zwischen Kondensatorplatten
BearbeitenAus der im elektrischen Feld des Kondensators gespeicherten Energie können wir die Anziehungskraft zwischen den Platten ableiten. Nach Abtrennen der Spannungsquelle ziehen wir die Platten um das Stückchen auseinander. Dabei bleibt das Feld konstant, wohingegen das Volumen um zunimmt. Die allein von der Feldstärke abhängende und damit ebenfalls konstante Energiedichte füllt das hinzugekommene Volumen mit der zusätzlichen Energie, die beim Auseinanderziehen gegen die Anziehungskraft der Platten aufgebracht werden muss:
Für die Anziehungskraft zwischen Kondensatorplatten erhält man also:
Auf- und Entladung eines Kondensators
BearbeitenIm Folgenden bestimmen wir den zeitlichen Verlauf der Ladung beim Auf- und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand . Durch Anwendung der Maschenregel erhält man:
Mit ergibt sich eine Differentialgleichung (DGL) für :
Gesucht ist die Funktion , die diese Differentialgleichung erfüllt. Außerdem muss im Moment des Einschaltens die jeweilige Anfangsbedingung erfüllt sein.
Kennen wir , so können wir alle anderen elektrischen Größen leicht berechnen:
Aufladung
BearbeitenWird der entladene Kondensator durch schließen des Schalters aufgeladen, so gilt die Anfangsbedingung:
Die Lösung der DGL lautet in diesem Fall:
Entladung
BearbeitenWird der geladenen Kondensator über der Widerstand entladen, so entfällt die Spannungsquelle und die DGL wird zu:
Außerdem gilt die Anfangsbedingung:
Die Lösung der DGL lautet in diesem Fall:
Aufgaben:
Bestimmung der Ladung eines Elektrons
BearbeitenMit dem Millikan-Versuch kann die Ladung eines Elektrons (Elementarladung) gemessen werden. Dazu beobachtet man geladene Öltröpfchen, die sich unter Einfluss der Gravitationskraft und der elektrischen Kraft im vertikalen elektrischen Feld eines Plattenkondensators bewegen. Aus Steig- und Fallgeschwindigkeit sowie der jeweils anliegenden Spannung am Kondensator lässt sich die Elementarladung bestimmen.
Schwebemethode
BearbeitenBei dieser Methode geht man folgendermaßen vor:
- man ermittelt die Spannung, bei der ein Öltröpfchen schwebt,
- man misst die Geschwindigkeit, mit der das Öltröpfchen bei abgeschalteter Spannung sinkt.
Auswertung
BearbeitenFür das schwebende Öltröpfchen gilt:
Dabei ist die effektive Dichte, die die Auftriebskraft der Tröpfchen in Luft mit einbezieht. Bei Kenntnis des Radius könnten wir direkt berechen. Die Öltröpfen sind zur direkten Messung von jedoch viel zu klein.
Stattdessen bestimmen wir aus der Sinkgeschwindigkeit. Im freien Fall des Öltröpfchens stellt sich ein Kräftegleichgewicht aus Gewichtskraft und Luftreibungskraft (Stokessche Reibung) ein:
Dabei ist die Viskosität der Luft. Eingesetzt in die Formel für findet man:
Diese Formel hängt nur noch von bekannten Konstanten und den gemessenen Größen Spannung und Fallgeschwindigkeit ab.
Gleichfeldmethode
BearbeitenEine Schwierigkeit der Schwebemethode ist, den Schwebezustand (v=0) und damit die zugehörige Spannung genau zu bestimmen. Die Öltröpfchen driften meist hin und her und müssen durch Änderung der Spannung wieder „zurückgeholt“ werden.
Darum liefert die in diesem Abschnitt beschriebene Gleichfeldmethode meist bessere Resultate. Man geht folgendermaßen vor:
- bei fest vorgegebener Spannung bestimmt man die Geschwindigkeit, mit der das Öltröpfchen steigt,
- anschließend polt man den Kondensator um und misst die Geschwindigkeit, mit der das Öltröpfchen nun sinkt.
Auswertung
BearbeitenIm Falle des Steigens mit gilt:
- .
Im Falle des Sinkens mit gilt entsprechend:
- .
Wir addieren diese Gleichungen, setzen und erhalten damit:
- .
Subtrahieren wir stattdessen die Gleichungen und setzen wir wieder , so erhalten wir:
- .
Auflösen nach ergibt:
- .
Diese Beziehung für setzen wir jetzt in die Formel für ein:
Aus den gemessenen Größen Spannung, Steig- und Sinkgeschwindigkeit können wir bestimmen.
Ergebnis und Bemerkungen
BearbeitenWiederholt man die Messung der Ladung für viele verschiedene Öltröpfchen, so findet man unterschiedliche Ladungen . In der Tat werden die Öltröpfchen unterschiedlich viele zusätzliche Elektronen tragen bzw. eine unterschiedlich große Anzahl von Elektronen wird dem Tröpfchen jeweils fehlen. Bei genauer Untersuchung findet man aber, dass alle Öltröpfchen ganzzahlige Vielfache einer Elementarladung:
tragen. Dieser kleinste gemeinsame Teiler der unterschiedlichen Ladungen ist der Betrag der Ladung des Elektrons.
Man kann das Experiment und auch die Auswertung weiter verbessern. Hinweise dazu finden sich u.a. auf LEIFI, wo das Experiment auch simuliert werden kann, und in der Link-Sammlung des zugehörigen Wikipedia Artikels. Beachtenswert ist auch der englische Wikipedia Artikel und die dortige Ausführung zur historischen Entwicklung.