Physik Oberstufe/ Elektrizitätslehre/ Das magnetische Feld

Die Wechselwirkung von Magneten

Hufeisenmagnet

Eisenfeilspäne machen das Magnetfeld „sichtbar“.

Experiment: Verschiedene Dauermagnete: Stabmagnet, Hufeisenmagnet Experiment: Zersägt man einen Magneten, so erhält man wieder Magnete mit Nord- und Südpol. Ergebnis: Ungleichnamige Pole ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab. Es gibt keine magnetischen Monopole.

Beschreibung durch Felder

Kleine Magnetnadeln richten sich aus und zeigen die Richtung des Magnetfelds an.

Magnetfeldlinien eines Stabmagneten.

Ein Magnet verändert den Raum in seiner Umgebung. Diese Raumänderung beschreiben wir durch ein Magnetfeld. Ein Magnetfeld an einem beliebigen Raumpunkt $P$ wird durch eine Magnetnadel nachgewiesen: Sie richtet sich im Feld aus.

Erdmagnetfeld, schematisch. Beispiele: Erdmagnetfeld, Kompass, geografischer und magnetischer Nord- bzw. Südpol; Feldlinienbilder Stabmagnet, Hufeisenmagnet.

Auch magnetische Felder veranschaulichen wir durch Feldlinien. Der Nordpol einer Magnetnadel zeigt immer in Richtung des Feldes, d.h. das Feld verläuft vom magnetischen Nord- zum Südpol.

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Das Feld stromdurchflossener Leiter

Gerader Leiter

Experiment: Stromdurchflossener Leiter Beobachtung: Die Magnetnadeln richten sich tangential zu konzentischen Kreisen um den Leiter aus.

Rechte-Faust-Regel zur Bestimmung der Magnetfeldrichtung ${\vec {B}}$ um einen stromdurchflossenen Leiter.

Zur Bestimmung der Magnetfeldrichtung ${\vec {B}}$ um einen stromdurchflossenen Leiter dient die „Rechte-Faust-Regel“:

• Daumen: Stromrichtung (definiert als die Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger)
• gekrümmte Finger: Feldrichtung ${\vec {B}}$

Der Vollständigkeit halber soll hier noch die Formel, die man für die Abhängigkeit der Stärke des Magnetfelds $B=|{\vec {B}}|$ vom Radius $r$ findet, angegeben werden:

$B=\mu _{0}\mu _{r}{\frac {I}{2\pi \cdot r}}$

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Aufgabe: Magnetfelder um stromdurchflossene Leiter.

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Spule

Magnetfeldlinien einer stromdurchflossenen Spule.

Wir können den Leiter in vielen Windungen aufwickeln und erhalten eine Spule. Im Inneren der Spule verstärken sich die Felder der einzelnen Windungen und wir erhalten einen Elektromagneten. Bei einer langen Spule herrscht im Inneren ein homogenes Feld, außerhalb das Feld eines Stabmagneten.

Ein Maß für die Stärke des Magnetfelds

Der Leiterschaukelversuch zeigt die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.

Wir suchen ein Maß für die Stärke des Magnetfelds vergleichbar mit der Stärke des elektrischen Feldes:

${\vec {E}}={\frac {{\vec {F}}_{\rm {el}}}{q}}$.

Eine analoge Definition ist aber nicht möglich, da es keine magnetischen Monopole gibt.

Definition der magnetische Induktion (auch Kraftflussdichte) als Kraft auf $n$ Windungsabschnitte der Breite $b$, die senkrecht zum Magnetfeld ausgerichtet sind und durch die der Strom $I$ fließt.

Im Magnetfeld wirkt auf einen stromdurchflossenen Leiter eine Kraft.

Experiment: Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld. Beobachtung: Auf den stromdurchflossenen Leiter wirkt im Magnetfeld eine Kraft ${\vec {F}}_{\rm {m}}$. Liegt der Leiter allerdings parallel zu den Feldlinien, so wirkt keine Kraft mehr. Richtung der Kraft: „Dreifingerregel der rechten Hand“, UVW-Regel: U: Ursache, V: Vermittlung (Feld), W: Wirkung. Experiment: Untersuche, wovon die Kraft $F_{m}$ auf ein Rähmchen abhängt. Stromstärke: $F_{m}\propto I_{R}$ Länge des Leiters: $F_{m}\propto b$ Windungszahl: $F_{m}\propto n_{R}$ Also: $F_{m}\propto I_{R}\cdot b\cdot n_{R}$ $F_{m}=k\cdot I_{R}\cdot b\cdot n_{R}$ Wobei die Proportionalitätskonstante mit $k$ bezeichnet wurde und allein von der Stärke des Magnetfelds abhängt. Sie kann damit als Maß für die Stärke des Magnetfelds dienen.

Die Größe $B$ definiert als:

$B:={\frac {F_{m}}{I_{R}\cdot n_{R}\cdot b}}$

heißt magnetische Induktion oder auch Kraftflussdichte. Sie hat die Einheit:

$[B]={\frac {\rm {N}}{\rm {Am}}}={\frac {\rm {VAs}}{\rm {Am^{2}}}}={\frac {\rm {Vs}}{\rm {m^{2}}}}={\rm {T\quad {\text{Tesla}}}}$

Dabei ist $F_{m}$ die Kraft auf ein Rähmchen der Breite $b$ und der Windungszahl $n_{R}$, durch das der Strom $I_{R}$ fließt und das sich senkrecht zu den Feldlinien befindet.

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Aufgabe: Wie geht man vor, wenn der Leiter nicht senkrecht auf den Feldlinien steht?

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Das Magnetfeld der langen Spule

Magnetfeldlinien einer stromdurchflossenen Spule.

Gesucht ist eine Formel zur Bestimmung des Magnetfelds im Innern einer langen Spule. Wovon könnte $B$ abhängen?

• Windungszahl $n$
• Stromstärke $I$
• Länge der Spule $l$
• Querschnittsfläche $A$
• Material in der Spule

Experiment: Untersuche die Abhängigkeiten. Man findet: $B\propto I$ $B\propto n$ $B\propto {\frac {n}{l}}\;\Rightarrow B\propto {\frac {1}{l}}$ Ausserdem hat Material in der Spule einen großen Einfluss auf das Magnetfeld. Eine Abhängigkeit von der Querschnittsfläche besteht nicht, wie ein Gedankenexperiment (Zusammensetzen einer Spule großen Querschnitts aus vier quadratischen Spulen kleinen Querschnitts) zeigt.

Für das magnetische Feld $B$ im Inneren einer langen Spule gilt: $B=\mu _{0}\mu _{r}\,{\frac {I\cdot n}{l}}$

Dabei ist $\mu _{0}$ die magnetische Feldkonstante:

$\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\frac {\rm {Vs}}{\rm {Am}}}.$

Das Material in der Spule wird mit der Permeabilitätszahl $\mu _{r}$ berücksichtigt.

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Aufgabe: Elektrisches und magnetisches Feld im Vergleich.

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Dia-, Para-, und Ferromagnetismus

Vereinfachter Vergleich der Permeabilitäten von ferromagnetischen (μ_f), paramagnetischen (μ_p) und diamagnetischen Materialien (μ_d) zu Vakuum (μ₀).
Es gilt für die Feldstärke des äußeren Feldes H, d.h. bei einer langen Spule:
$H={\frac {I\cdot n}{l}}$ und damit für die Flussdichte des induzierten Feldes B:
$B=\mu _{0}\mu _{r}\cdot H=\mu _{0}\mu _{r}{\frac {I\cdot n}{l}}$.

Man beobachtet bei einigen Stoffen, den ferromagnetischen Stoffen, einen starken Einfluss auf Magnetfelder. Bei genauerer Untersuchung kann man Stoffe (oder besser: die in ihnen vorhandenen/dominierenden Effekte) u.a. in die Kategorien des Dia-, Para-, und Ferromagnetismus einteilen.

Wir beschreiben diese Effekte durch die Permeabilitätszahl $\mu _{r}$, die die Magnetisierung eines Materials in einem äußeren Magnetfeld angibt.

Diamagnetismus $0\leq \mu _{\mathrm {r} }<1$

Stoffe, deren Atome, Ionen oder Moleküle keine ungepaarten Elektronen besitzen, haben keine eigenen magnetischen Momente. Im Magnetfeld werden aber Ströme induziert, die ihrer Ursache entgegen wirken (Lenzsche Regel) und das Magnetfeld demnach (meist in geringem Maße) abschwächen.

Paramagnetismus $\mu _{\mathrm {r} }>1$

Paramagnetismus mit und ohne B-Feld: Ohne Feld sind die magnetischen Momente ungeordnet und im Mittel ist der Stoff dann unmagnetisch.

Die meisten Materialien besitzen bereits kleine atomare magnetische Momente, die aber in alle möglichen Richtungen zeigen. Im Mittel gleichen sich diese also aus und die Stoffe sind nicht magnetisch. Bringt man sie aber in ein Magnetfeld, so richten sich die vorhandenen magnetischen Momente (teilweise) aus und verstärken dadurch das äußere Magnetfeld (meist geringfügig).

Ferromagnetismus $\mu _{\mathrm {r} }\gg 1$

Ferromagnetische Stoffe (Eisen und Ferrite, Cobalt, Nickel) besitzen ebenfalls eigene magnetische Momente die sich im äußeren Magnetfeld ausrichten. Aufgrund quantenmechanischer Effekte im Festkörper erfolgt die Ausrichtung aber in einer viel stärkeren Weise als bei paramagnetischen Stoffen, wodurch sehr große Permeabilitätszahlen resultieren (siehe Tabelle).

Vergrößerung der Weiss-Bezirke durch die Ausrichtung mehrerer Domänen durch ein externes magnetisches Feld.

Bewegung magnetischer Domänenwände, verursacht durch ein ansteigendes externes Magnetfeld.

Die Lorentzkraft

Lorentz-Kraft auf einen freibeweglichen positiven Ladungsträger (links) und einen stromdurchflossenen elektrischen Leiter (rechts)

Bestimmung der Lorentzkraft

Experiment: Elektronenstrahl und Magnetfeld. Beobachtung: Der $e^{-}$-Strahl wird im Magnetfeld abgelenkt. Erklärung: Auf bewegte Ladungen wirkt im Magnetfeld eine Kraft, die Lorentzkraft. Die Richtung der Lorentzkraft ist die Richtung der Kraft auf einen Stromdurchflossenen Leiter. Die Kraft auf einen Stromdurchflossenen Leiter wird durch die Lorentzkraft verursacht. Aufgabe: Bestimme die Lorentzkraft auf ein Elektron aus der Formel: $F_{m}=B\cdot I\cdot b$ für den stromdurchflossenen Leiter.

ToDo Bild

Es gilt mit $N$, der Anzahl der bewegten Elektronen im Leiter:

$F_{L}={\frac {F_{m}}{N}}={\frac {B\cdot I\cdot b}{N}}\,.$

Bestimmung der Anzahl der bewegten Elektronen $N$

Linke-Hand- und Rechte-Hand-Regel im Vergleich

Es ist

$I\cdot t=Q=N\cdot e$

die Bewegte Ladung im Leiter, wobei $t$ die Zeit ist, die ein Elektron braucht, um den Leiter zu durchwandern:

$t={\frac {b}{v}}\,.$

Damit folgt:

$N={\frac {I\cdot b}{v\cdot e}}$

und für die Lorentzkraft $F_{L}$ erhält man:

$F_{L}=e\cdot v\cdot B$

Allgemein: Ein Teilchen der Ladung $Q$ bewegt sich senkrecht zu den Feldlinien eines Magnetfelds. Dann wirkt auf das Teilchen die Lorentzkraft: $F_{L}=Q\cdot v\cdot B\,.$ In Vektorschreibweise gilt allgemein: ${\vec {F}}_{L}=Q\cdot {\vec {v}}\times {\vec {B}}\,.$

Richtung der Kraft: Drei-Finger-Regel (UVW), die Lorentzkraft ${\vec {F}}_{L}$ steht immer senkrecht zur Richtung des Magnetfelds ${\vec {B}}$ und senkrecht zur Richtung der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$.

Bewegung von Ladungen im Magnetfeld

Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen (Elektronen) im homogenen magnetischen Feld.

Das Fadenstrahlrohr demonstriert die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Elektronen.

Aufgabe: Ein Elektron fliegt senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld. Auf welcher Bahnkurve bewegt es sich? Lösung: Das Elektron bewegt sich auf einer Kreisbahn. Erklärung: Die Lorentzkraft hat die selben Eigenschaften wie die Zentripetalkraft: sie steht stets senkrecht zur Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ihr Betrag $\|{\vec {F}}_{\mathrm {L} }\|$ ist konstant. Magnetfeld $B$ und Geschwindigkeit $v$ sind gegeben, berechne den Radius der Kreisbahn. Lösung: Man setzt Zentripetalkraft $F_{\mathrm {Z} }$ gleich Lorentzkraft $F_{\mathrm {L} }$ und erhält: $F_{\mathrm {Z} }={\frac {mv^{2}}{r}}=e\cdot v\cdot B=F_{\mathrm {L} }$ $\Rightarrow r={\frac {m\cdot v}{e\cdot B}}$ Experiment: Wehneltrohr, Fadenstrahlröhre

Aus der Beschleunigungsspannung $U_{\mathrm {A} }$, der Magnetfeldstärke $B$ und dem Radius $r$ der Kreisbahn können wir den Quotienten ${\frac {e}{m_{e}}}$, die sog. spezifische Ladung des Elektrons, bestimmen:

${\frac {e}{m_{e}}}={\frac {2\,U_{A}}{B^{2}\,r^{2}}}\approx 1.75882\cdots \times 10^{11}\,\mathrm {\frac {C}{kg}} \,.$

Kennt man die Elektronenladung $e$ aus dem Millikanversuch, so kann man nun die Elektronenmasse $m_{e}$ bestimmen.

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Aufgabe: Elektronenstrahl im magnetischen Feld.

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Massenspektrometrie

Massenspektroskop mit Geschwindigkeitsfilter vor dem Analysator.

Geschwindigkeitsfilter

Schematischer Aufbau eines Sektorfeld-Massenspektrometers.

Die Ablenkung geladener und sich bewegender Teilchen in elektrischen und magnetischen Feldern kann man ausnutzen, um den Quotienten ${\frac {q}{m}}$ und damit bei Kenntnis der Ladung $q$ die Masse $m$ von Teilchen zu ermitteln.

Je nach Anwendungsfall ist es erforderlich, die Teilchen zuerst durch einen Geschwindigkeitsfilter laufen zu lassen, der nur Teilchen mit der gleichen Geschwindigkeit hindurch lässt. Anschließend misst man die Ablenkung im Magnetfeld und berechnet daraus die gesuchte Größe.