Himmelsgesetze der Bewegung/ Dimensionsanalyse

Einführung

Die Dimensionsanalyse ist ein starkes Instrument der Physik. Das plancksche Wirkungsquantum wurde mit ihrer Hilfe entdeckt. Max Planck wollte eine Formel entwickeln, die den Wienschen Strahlungsgesetz und den Rayleigh-Jeans-Gesetz richtig kombinieren wurde. Die beide Gesetze konnten jeweils nur einen Teil der experimentellen Beobachtungen eines schwarzen Körpers erklären. In der Formel, die er entdeckt hat, kam eine neue Konstante vor, die später nach ihm genannt wurde. Den Wert dieser Konstante konnte man mit Hilfe der Dimensionsanalyse ziemlich genau berechnen.

In Quantenmechanik wird Dimensionsanalyse oft benutzt, um den ungefähren Wert einer Größe zu finden.

Erklärung

Die Idee ist ganz einfach: auf beide Seiten einer Gleichung muss die gleiche Größe (z.B. Abstand oder Zeit oder Kraft) und genauer gesagt die gleiche Einheit (z.B. Millimeter oder Sekunde oder Kilonewton) stehen. Genauso ist es bei den Summanden einer Addition. Man kann nicht sagen, dass 3 Meter gleich so viel wie 3 Sekunden sind. Man kann auch nicht Meter mit Sekunden addieren oder subtrahieren. Man kann so gar nicht Meter mit Kilometer addieren (man muss zuerst z.B. die km in m umwandeln). Meter mit Sekunden multiplizieren oder dividieren kann man aber schon (z.B. Meter pro Sekunde -also Meter durch Sekunde- ist eine Einheit für die Geschwindigkeit).

Wenn in einer Formel eine unbekannte Größe vorkommt, kann man alle anderen Größen in Grundgrößen analysieren (z.B. Abstand, Zeit, Masse und Temperatur) und feststellen, aus welchen Grundgrößen die neue Größe besteht.

Beispiele

Vergleichen wir die Bewegungs- (E_B) und die potenzielle (E_P) Energie:

E_B= ½ m · v²   und   E_P = m · g · H

Beschreiben die beiden Formel doch die gleiche Größe (Energie)? In beiden Formeln sehen wir ein Produkt und der erste Faktor ist in beiden Masse m. Wenn jetzt das Quadrat der Geschwindigkeit v² und das Produkt von Fallbeschleunigung g und Höhe H doch das gleiche darstellen, dann haben beide Formeln die gleiche "Dimension". Und tatsächlich:

v²= $({\frac {s}{t}})^{2}={\frac {s^{2}}{t^{2}}}$  und

g · H = ${\frac {s}{t^{2}}}\cdot s={\frac {s^{2}}{t^{2}}}$

wobei s für den Abstand und t für die Zeit steht. Also Energie (von "Dimension" aus) ist:

E= $m\cdot {\frac {s^{2}}{t^{2}}}$

Jedes mal daher, wenn sich in irgendeine Formel nach Analyse einer Größe herausstellt, dass diese Größe Masse mal Quotient der Quadrate von Abstand und Zeit ist ($m\cdot {\frac {s^{2}}{t^{2}}}$), dann ist diese Größe doch Energie!

Weitere Beispiele kann man bei der Bestimmung der Einheiten des Widerstandsbeiwerts c_w oder bei der Bestimmung der Einheiten der Gravitationskonstante finden.