Himmelsgesetze der Bewegung/ Das newtonsche Gravitationsgesetz

Formel und AbhängigkeitenBearbeiten

Newton hat als erster gedacht, dass die gleichen Gesetze die Bewegungen der Massen auf der Erde und auch die Bewegungen der Planeten prägen. Bis damals war niemand auf eine solche bahnbrechende Idee gekommen. Im Nachhinein wurden Experimente entwickelt, die seine Ideen bestätigt haben. Nur durch die Theorien von Einstein und die Theorien der Quantenmechanik kam es zur Änderungen in der Theorien von Newton.

Newton hat über die Wechselwirkung von zwei Massen folgendes Gesetz festgestellt:


 

Gravitationsgesetz

F: Kraft,

G: Gravitationskonstante,

m1, m2: aufeinander wirkende Massen,

r: Abstand zwischen Schwerpunkten der Massen.

Translation und RotationBearbeiten

Hier muss kurz der Begriff des Schwerpunkts erklärt werden. Eine Masse kann sich in zwei Weisen (und ihre Kombinationen) bewegen. Translation ist, wenn alle Teile eines Körpers sich in die gleiche Richtung und mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Kreisen die Teile des Körpers um einen Punkt herum, spricht man über Rotation.

Massenpunkt und SchwerpunktBearbeiten

 
Schwerpunkt als Schnittpunkt zweier Schwerlinien

Wenn man den Abstand zwischen zwei aufeinander wirkenden Massen bei einer Translation messen will, benutzt man den Begriff des Schwerpunkts. Grob gesagt, ist er der „Mittelpunkt“ eines Objekts. Man stellt sich vor: Wenn die ganze Masse sich an einem einzigen „Punkt“ befinden würde (wenn das überhaupt möglich wäre), wo wäre dieser Punkt? Praktisch kann man diesen Punkt sehr leicht finden.

 
Schwerpunkt außerhalb des Körpers

Man hängt das Objekt erst von einem und dann von einem anderen Punkt (rote Punkte im Bild links oben) auf und zeichnet die Schwerlinien (die blauen Linien vom jeweiligen roten Punkt gegen Erdmitte). Auf eine Schwerlinie befindet sich der Vektor der Schwerkraft. Der Punkt, wo sich zwei Schwerlinien einander schneiden, ist der Schwerpunkt.


VORSICHT: Der Schwerpunkt befindet sich nicht unbedingt innerhalb der Masse! (Bild rechts)

Beziehung des Gravitationsgesetzes zum 2. und 3. newtonschen GesetzBearbeiten

(Fallbeschleunigung und Gravitationsgesetz)

Das zweite newtonsche Gesetz lautet: F = m · a. In der Nähe der Erdoberfläche haben wir schon gesehen, dass die Beschleunigung wegen der Gravitationskraft gleich der Fallbeschleunigung (≈ 10 m/s2) ist. Im Gravitationsgesetz sei m1 = m die Masse eines fallenden Körpers in der Nähe der Erdoberfläche, M die Masse der Erde, R der Radius der Erde. Setzten wir die beiden Ausdrücke gleich:  

also

 

Wenn man die Werte auf der rechten Seite einsetzt, bekommt man tatsächlich den Wert für die Fallbeschleunigung. Man muss aber bemerken, dass für das newtonsche Gravitationsgesetz auch das dritte newtonsche Gesetz (Actio-Reactio) wie immer gilt. Die Erde übt auf den fallenden Körper eine Kraft aber auch umgekehrt der fallende Körper auf die Erde. Das bedeutet aber dann, dass auch die Erde irgendwie auf den „fallenden Körper“ fällt. Die Erde wird auch beschleunigt! Für eine Masse wie die Masse eines Menschen oder einer Rakete, ist diese Beschleunigung vernachlässigbar, wie man leicht findet kann. Man braucht nur die Kraft für den Mensch gleich der Kraft für die Erde setzen und dabei auch die Fallbeschleunigung einsetzen: Gravitationskraft für den Mensch: F = m · g und für die Erde: F = M · a :


m · g = M · a

Wenn man alle Werte für die erwähnten Beispiele einsetzt, findet man einen Wert für a viel kleiner als 10-15 m/s2 (!) und das ist tatsächlich vernachlässigbar.

Die Einheiten der GravitationskonstanteBearbeiten

Mit Hilfe der uns vielleicht schon bekannten Methode der Dimensionsanalyse können wir hier auch die Einheiten der Gravitationskonstante finden. Lass uns die gerade eben berechnete Formel für die Fallbeschleunigung benutzen:

 

und daher

 

Die Einheit für g ist m/s², für R ist sie m (Meter) und für M ist sie kg. Setzen wir alles ein:

 

also