Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

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K6: Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.3 Erwartung von Funktionen von Zufallsvariablen

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Oft müssen wir die Erwartung einer Funktion einer oder mehrerer Zufallsvariablen bestimmen. Wir betrachten zuerst ein Beispiel.

Beispiel 1

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Wir werfen eine faire Münze solange bis wir "Kopf" werfen. Die Zufallsvariable   bezeichnet die benötigte Anzahl Würfen und ist geometrisch verteilt mit Parameter 1/2. Wenn wir   Würfe brauchten, bekommen wir einen Betrag   ausgezahlt. Die Ausbezahlung nennen wir  . Sie ist eine Funktion von  , und zwar  . Für die erwartete Ausbezahlung berechnen wir:

 .

Nun ist

 ,

also ist:

 

Es zeigt sich, dass wir auf selbstverständliche Weise schreiben können:

 

wobei   in der Verteilung von   ausgedrückt ist. Wir brauchen also nicht zuerst die Verteilung von   zu bestimmen.

Was wir im Beispiel sahen, gilt ganz allgemein, wie der nächste Satz zeigt.

Satz 6.3.1

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Es seien   Zufallsvariablen und   eine Funktion, dann ist

 

Dabei wird also summiert über alle möglichen Werte   von .

Beweis.

Nenne   und  . Dann gilt für die Zufallsvariable  :

 


Um die Erwartung einer Funktion   von   zu bestimmen, brauchen wir also nicht zuerst die Verteilung von   zu berechnen, sondern können mit dem obigen Satz die Erwartung   direkt mittels der Verteilung von   bestimmen.

Beispiel 2 (zweimal Würfeln (Fortsetzung))

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Die Zufallsvariablen   und   sind Funktionen der Augenzahlen   und   zw. des ersten und des zweiten Wurfs. Wir berechnen:

 

und

 
 

Für die letztere Summe bedenken wir, dass es   Paare   gibt, für die  .

Merke auf, dass  . In einem weiteren Paragrafen werden wir sehen, dass diese Beziehung allgemein gültig ist.

Wir vergleichen dieses Ergebnis mit einer Berechnung von   und   mittels der Verteilungen von   und  :

 

und