K6: Eigenschaften des Erwartungswertes
Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung
Im vorherigen Paragrafen haben wir im Beispiel 2 gesehen dass die Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen sich die Summe der einzelnen Erwartungswerte gleicht. Der nächste Satz zeigt dass diese Beziehung allgemein gilt, und zeigt auch andere Eigenschaften des Erwartungswertes.
Es seien
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
(a)
E
(
X
+
Y
)
=
E
X
+
E
Y
{\displaystyle E(X+Y)=EX+EY}
(b)
E
(
a
X
+
b
)
=
a
E
X
+
b
{\displaystyle E(aX+b)=aEX+b}
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
(c) wenn
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
E
X
Y
=
E
X
⋅
E
Y
{\displaystyle EXY=EX\cdot EY}
Beweis
(a)
E
(
X
+
Y
)
=
∑
x
∈
S
X
∑
y
∈
S
Y
(
x
+
y
)
P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
=
{\displaystyle E(X+Y)=\sum _{x\in S_{X}}\sum _{y\in S_{Y}}(x+y)\;P(X=x,\;Y=y)=}
=
∑
∑
x
P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
+
∑
∑
y
P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
=
E
X
+
E
Y
{\displaystyle =\sum \sum x\;P(X=x,\;Y=y)+\sum \sum y\;P(X=x,\;Y=y)=EX+EY}
(Merke auf dass wir hier sowohl
x
+
y
{\displaystyle x+y}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
(b)
E
(
a
X
+
b
)
=
∑
x
∈
S
X
(
a
x
+
b
)
P
(
X
=
x
)
=
∑
a
x
P
(
X
=
x
)
+
∑
b
P
(
X
=
x
)
=
{\displaystyle E(aX+b)=\sum _{x\in S_{X}}(ax+b)P(X=x)=\sum axP(X=x)+\sum bP(X=x)=}
=
a
∑
x
P
(
X
=
x
)
+
b
∑
P
(
X
=
x
)
=
a
E
X
+
b
{\displaystyle =a\sum xP(X=x)+b\sum P(X=x)=aEX+b}
(c)
E
X
Y
=
∑
x
∈
S
X
∑
y
∈
S
Y
x
y
P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)
=
∑
∑
x
y
P
(
X
=
x
)
P
(
Y
=
y
)
=
{\displaystyle EXY=\sum _{x\in S_{X}}\sum _{y\in S_{Y}}xyP(X=x,\;Y=y)=\sum \sum xyP(X=x)P(Y=y)=}
=
∑
x
∈
S
X
x
P
(
X
=
x
)
∑
y
∈
S
Y
y
P
(
Y
=
y
)
=
E
X
⋅
E
Y
{\displaystyle =\sum _{x\in S_{X}}xP(X=x)\;\sum _{y\in S_{Y}}yP(Y=y)=EX\cdot EY}
Es sei
X
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle X\ B(n,p)}
n
{\displaystyle n}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
p
{\displaystyle p}
P
(
X
i
=
1
)
=
1
−
P
(
X
i
=
0
)
=
p
{\displaystyle P(X_{i}=1)=1-P(X_{i}=0)=p}
Y
=
∑
i
=
1
n
X
i
.
{\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}
Die Zufallvariablen
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
E
X
=
E
Y
=
∑
i
=
1
n
E
X
i
=
∑
i
=
1
n
p
=
n
p
{\displaystyle EX=EY=\sum _{i=1}^{n}EX_{i}=\sum _{i=1}^{n}p=np}
Es sei
X
{\displaystyle X}
M
,
N
{\displaystyle M,N}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
M
{\displaystyle M}
N
−
M
{\displaystyle N-M}
X
i
=
1
{\displaystyle X_{i}=1}
i
.
{\displaystyle i.}
(
X
i
)
{\displaystyle (X_{i})}
p
=
M
/
N
{\displaystyle p=M/N}
Y
=
∑
i
=
1
n
X
i
,
{\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}X_{i},}
dann haben
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
E
X
=
E
Y
=
∑
i
=
1
n
E
X
i
=
∑
i
=
1
n
p
=
n
M
N
{\displaystyle EX=EY=\sum _{i=1}^{n}EX_{i}=\sum _{i=1}^{n}p=n{\frac {M}{N}}}
Merke auf dass die Zufallsvariablen
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
