Mathematik: Wahrscheinlichkeitstheorie: DW: K6: Eigenschaften des Erwartungswertes

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K6: Eigenschaften des Erwartungswertes

Diskrete Wahrscheinlichkeitsrechnung

6.4 Eigenschaften des Erwartungswertes

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Im vorherigen Paragrafen haben wir im Beispiel 2 gesehen dass die Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen sich die Summe der einzelnen Erwartungswerte gleicht. Der nächste Satz zeigt dass diese Beziehung allgemein gilt, und zeigt auch andere Eigenschaften des Erwartungswertes.

Satz 6.4.1

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Es seien   und   Zufallsvariablen mit einer simultane Verteilung. Dann gilt:

(a)  ,
(b)  , für alle  ,
(c) wenn   und   unabhängig sind, ist  .
Beweis

(a)

 
 .

(Merke auf dass wir hier sowohl   als   und   auffassen als Funktion von   und drei Mal den Satz 6.3.1 anwenden.)

(b)

 
 .

(c)

 
 .


Mit Hilfe des vorigen Satzes können wir auf einfache Weise die Erwartung der Binomialverteilung und der hypergeometrische Verteilung bestimmen.

Beispiel 1

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Es sei  -Verteilt. Betrachte die   Bernoulli-Versuche   mit Erfolgswahrscheinlichkeit  , also  . Nenne

 

Die Zufallvariablen   und   haben dieselbe Verteilung und also auch dieselbe Erwartung. Folglich ist:

 .

Beispiel 2

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Es sei   hypergeometrisch Verteilt mit Parametern   und  . Wir betrachten eine aselekte Stichprobe von Umfang   ohne Zurücklegung aus einer Urne mit   roten und   weißen Kugeln. Wir definieren   wenn die   Ziehung eine rote Kugel aufweist und 0 im Falle einer weißen. Jede der Zufallsvariablen   ist wieder eine Alternative mit Parameter  . Nenne wieder:

 

dann haben   und   dieselbe Verteilung also auch dieselbe Erwartung. Folglich ist:

 .

Merke auf dass die Zufallsvariablen   in diesem Fall nicht unabhängig sind.