Mathematik: Topologie: Stetigkeit

Stetige Funktionen sind Abbildungen, die in gewissem Sinne die Struktur eines topologischen Raumes erhalten. Das heißt intuitiv: Genügend nahe beieinander liegende Punkte werden auf nahe beieinander liegende Punkte abgebildet. Oder: Wenn man nur nahe genug an einen Punkt heran geht, liegen die Bilder von Punkten in dieser Nähe beliebig nahe am Bild des Punktes.

In der Sprache der Topologie heißt das: Für jede Umgebung des Bildpunktes existiert eine Umgebung des Punktes selbst, die vollständig in die Umgebung des Bildpunktes abgebildet wird.

Definition: Stetigkeit

Seien $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ und $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ zwei topologische Räume. Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ ist stetig in x, falls folgende Bedingung gilt: $\forall V\in {\mathfrak {U}}(f(x)):\exists U\in {\mathfrak {U}}(x):f(U)\subseteq V$ Die Funktion f ist stetig, wenn sie in jedem $x\in X$ stetig ist.

Beispiele

Beispiel: Diskrete Topologie

Jede Abbildung von einem diskreten topologischen Raum in einen anderen topologischen Raum ist stetig. Denn für die Menge $U$ in der Definition kann man stets eine einpunktige Umgebung wählen.

Beispiel: Indiskrete Topologie

Jede Abbildung von einem topologischen Raum in einen indiskreten topologischen Raum ist stetig. Denn in einem indiskreten topologischen Raum besitzt jeder Punkt nur eine Umgebung, nämlich den gesamten Raum.

Aussagen über stetige Funktionen

In vielen Lehrbüchern wird Stetigkeit nicht über Umgebungen, sondern über offene Mengen definiert:

Proposition: Offene Mengen und Stetigkeit

Eine Funktion $f:X\rightarrow Y$ ist genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen in Y offen in X sind bzw. wenn Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind.

Beweis

Topologische Räume gemeinsam mit stetigen Funktionen bilden die Kategorie der topologischen Räume, kurz $\mathbb {T} \mathbb {O} \mathbb {P}$. Kurz gesagt: Die Identität ist stetig und die Hintereinanderausführung stetiger Abbildungen ist wieder stetig.

Proposition: Komposition stetiger Funktionen

Seien X, Y und Z topologische Räume. Seien $f:X\rightarrow Y$ und $g:Y\rightarrow Z$ stetige Funktionen. Dann ist $g\circ f:X\rightarrow Z$ stetig.

Beweis

Isomorphismen in topologischen Räumen

Nachdem wir bereits gesehen haben, dass topologische Räume mit stetigen Abbildungen eine Kategorie bilden, können wir nun auch einfach den Begriff des Isomorphismus in topologischen Räumen definieren. Nur heißen solche Abbildung hier nicht Isomorphismus, sondern Homöomorphismus.

Definition: Homöomorphismus

Sei $f:X\rightarrow Y$ eine Funktion zwischen topologischen Räumen. Die Funktion f ist ein Homöomorphismus, falls sie stetig ist und eine stetige Umkehrfunktion besitzt. Zwei topologische Räume heißen homöomorph, wenn ein Homöomorphismus zwischen ihnen existiert.

Homöomorphie unterteilt die Klasse der topologischen Räume in Homöomorphieklassen. Eigenschaften, die entweder für eine ganze Homöomorphieklasse gelten oder nicht gelten heißen topologische Eigenschaften.