Mathematik: Topologie: Stetigkeit: Charakterisierung Stetigkeit

Zunächst soll bewiesen werden, dass Urbilder offener Mengen offen sind, wenn die Abbildung $f:X\to Y$ stetig ist.

Sei also $f$ stetig und $V\subseteq Y$ eine offene Menge in $Y$. Für jeden Punkt $x\in f^{-1}(V)$ ist $f(x)\in V$ und $V$ eine Umgebung von $f(x)$. Wegen der Stetigkeit von $f$ existiert eine Umgebung $U_{x}$ von $x$, die in $V$ abgebildet wird. Es ist also $f(U_{x})\subseteq V$ und damit auch $U_{x}\subseteq f^{-1}(V)$. Nach Definition der Umgebung gibt es nun eine offene Menge $O_{x}$ mit $x\in O_{x}\subseteq U_{x}\subseteq f^{-1}(V)$. Daher gilt $f^{-1}(V)=\bigcup _{x\in f^{-1}(V)}O_{x}$. Das Urbild $f^{-1}(V)$ ist also eine Vereinigung offener Mengen und damit selbst offen.  $\surd$

Sei nun $f:X\to Y$ eine Abbildung, bei der die Urbilder offener Mengen offen sind. Es soll nun gezeigt werden, dass dann die Urbilder abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen sind.

Sei also $A\subseteq Y$ eine abgeschlossene Menge in $Y$. Das Komplement $Y-A$ ist nach Definition offen in $Y$. Nach Voraussetzung ist dann $f^{-1}(Y-A)$ offen und das Komplement von $f^{-1}(Y-A)$ abgeschlossen in $X$. Dieses Komplement ist aber gerade $f^{-1}(A)$, weil jeder Punkt $x\in X$ entweder in $f^{-1}(A)$ oder in $f^{-1}(Y-A)$ liegt. Damit ist also $f^{-1}(A)$ abgeschlossen.  $\surd$

Nehmen wir zu guter Letzt an, $f$ habe die Eigenschaft, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind. Es soll jetzt die Stetigkeit von $f$ gezeigt werden.

Dazu sei $x\in X$ und $V$ eine Umgebung von $f(x)$. Als Umgebung von $f(x)$ enthält $V$ eine offene Menge $O$ mit $f(x)\in O\subseteq V$. Das Komplement $Y-O$ ist dann abgeschlossen in $Y$, und nach Voraussetzung ist $f^{-1}(Y-O)$ abgeschlossen in $X$. Nun ist wiederum $f^{-1}(O)$ das Komplement von $f^{-1}(Y-O)$ und damit offen in $X$. Also ist $f^{-1}(O)$ eine Umgebung von $x$, die in $V$ abgebildet wird, denn es gilt $f(x)\in f(f^{-1}(O))\subseteq O\subseteq V$. $f$ ist also stetig in $x$. Da dies für jedes $x\in X$ gilt, ist $f$ stetig.  $\surd$

Aus der Stetigkeit einer Abbildung $f$ folgt also, dass Urbilder offener Mengen offen sind. Daraus folgt, dass die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind, und dies impliziert wiederum die Stetigkeit von $f$.

Alle drei Eigenschaften sind daher äquivalent.