Mathematik: Topologie: Umgebungen

Topologien formalisieren die Intuition des Konzeptes genügend nahe bei bzw. des beliebig nahe bei. Dieses Konzept wird zum Beispiel in den Definitionen der Stetigkeit einer Funktion oder des Grenzwertes einer Folge benötigt. Stetigkeit bedeuted intuitiv wenn man Elemente nur genügend nahe beieinander wählt, so liegen ihre Bilder beliebig nahe beieinander. Grenzwerte sind intuitiv Punkte, so dass für genügend grossen Folgenindex 'n' die Folgenglieder beliebig nahe am Grenzwert der Folge liegen.

Beliebig nahe heißt in der Sprache der Topologie für alle Umgebungen eines Punktes. Genügend nahe wird durch es existiert eine Umgebung des Punktes, so daß übersetzt. Umgebungen eines Punktes sind dabei Mengen, die noch eine ganze offene Menge um den Punkt enthalten.

Definition: Umgebung

Eine Menge $U\subseteq X$ heißt Umgebung eines Punktes $x\in X$, falls eine offene Menge $V\in {\mathcal {O}}(X)$ existiert mit $x\in V\subseteq U$. Das System aller Umgebungen eines Punktes nennen wir seinen Umgebungsfilter. Wir bezeichnen ihn mit ${\mathfrak {U}}(x)$.

Insbesondere ist jede offene Menge Umgebung aller ihrer Punkte.

Auch ist eine Menge $V$ dann offen, wenn mit jedem $x\in V$ auch noch eine Umgebung $U_{x}$ von $x$ in $V$ enthalten ist.
Dann gibt es nämlich für jedes $x$ eine offene Menge $O_{x}\subseteq U_{x}$ und $V$ ist als Vereinigung aller dieser $O_{x}$ offen.

Diese Charakterisierung offener Mengen entspricht der Definition, die man aus der Analysis kennt. Sie verleiht der doch etwas abstrakten Definition offener Mengen als Elemente einer Topologie wieder etwas Vertrautes.

Jeder Umgebungsfilter ist tatsächlich ein Filter auf der durch Inklusion geordneten Potenzmenge des topologischen Raumes:

Proposition: Umgebungsfilter sind Filter

In einem topologischen Raum ist ${\mathfrak {U}}(x)$ für alle Elemente x ein Filter, das heißt: Jede Obermenge einer Umgebung ist wieder eine Umgebung Im Schnitt zweier Umgebungen befindet sich eine weitere Umgebung.

Beweis

Definition: Umgebungsbasis

Eine Umgebungsbasis eines Punktes ist eine Basis seines Umgebungsfilters, d.h. eine Teilmenge des Umgebungsfilters mit der folgenden Eigenschaft: Für alle Umgebungen existiert ein Filterelement, das in der Umgebung enthalten ist.

Beispiele

Beispiel: Diskrete Topologie

In der diskreten Topologie sind alle Mengen offen. Der Umgebungsfilter eines jeden Punktes besteht also aus allen Mengen, die den Punkt enthalten. Man kann eine Umgebungsbasis aus einer Menge angeben, nämlich dem Singleton-Set, dass nur den Punkt selber enthält.