Seitentitel: Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Siebeneck
(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Siebeneck)
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Siebeneck (Heptagon) Bearbeiten

Näherungskonstruktion (!) für das regelmäßige Siebeneck, auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung darstellbar.

Die gepunkteten Linien mit den daraufliegenden Punkten, dienen als Hilfe für die Berechnung der Seite des Siebenecks.

 
01-Siebeneck-Approximation-1

Konstruktion Bearbeiten

  1. Zeichne um einen Punkt M einen Kreis - den späteren Umkreis des Siebenecks - mit Radius r.
  2. Zeichne zwei zueinander senkrechte Geraden durch den Mittelpunkt. Einer der Schnittpunkte mit dem Kreis ist die erste Ecke A des Siebenecks.
  3. Teile die Strecke AM in drei Teile, es ergeben sich die Punkte J und K
  4. Zeichne einen Halbkreis um den Mittelpunkt M mit Radius MJ, er schneidet die Strecke MH im Punkt L.
  5. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius r ab Punkt M, er schneidet den Halbkreis im Punkt N.
  6. Zeichne eine Gerade ab Punkt L durch Punkt N etwas über den Umkreis hinaus.
  7. Errichte eine Senkrechte zur Gerade, die durch Punkt N geht, ab Punkt A bis sie den Umkreis im Punkt O schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt P.
  8. Errichte eine Senkrechte zur Strecke AM im Punkt J bis sie die Strecke AO im Punkt Q schneidet.
  9. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt H mit Radius r, es ergibt sich der Schnittpunkt R auf dem Umkreis.
  10. Errichte eine Senkrechte zur Strecke MH durch Punkt R, sie halbiert die Strecke MH im Punkt S.
  11. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt R mit Radius OQ.
  12. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt S mit Radius r bis er den Kreisbogen um Punkt R schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt T
  13. Zeichne eine Gerade ab Punkt T durch Punkt Q bis zur Gerade, die durch Punkt N geht, es ergibt sich der Schnittpunkt U
  14. Zeichne einen Kreisbogen um Punkt A mit Radius AU ab Punkt U, er schneidet den Umkreis im Punkt B.
  15. Verbinde den Punkt A mit Punkt B, die rote Strecke AB ist die gesuchte Seite des Siebenecks.
  16. Trage die Strecke AB, ab Punkt B, fünfmal mit dem Zirkel auf dem Umkreis ab.
  17. Verbinde die benachbarten Eckpunkte miteinander, somit ergibt sich das Siebeneck ABCDEFG

Fehler Bearbeiten

Bei einem Umkreis mit Radius r = 1:

  • Konstruierte Siebeneckseite s = 0,867767268512597... [LE]
  • Soll-Siebeneckseite = ss = 2 • sin(180°/7) = 0,867767478235116... [LE]
  • Absoluter Fehler = sss = -0,000000209722519... = -2,097...E-7 [LE]

Bei einem Umkreis mit Radius r = 10 km wäre die Abweichung der konstruierten Seite ≈ -2,1 mm

Berechnung Bearbeiten

Gleichschenkliges Dreieck AMN Bearbeiten

1.0 
Gegeben:   ;   ;  
 
1.1     Mit dem Kosinussatz ergibt sich:
 
    
 
    
1.2 Höhe zur Seite  
    
 
1.3     

Rechtwinkeliges Dreieck LJN Bearbeiten

2.0  
Gegeben:
  •   (aus 1.3)
  •  
  •  
  •   (aus 1.2)
2.1  
2.2 Hypotenuse  
Winkel   ergibt sich aus
2.3  
 
2.4  

Rechtwinkeliges Dreieck LAP Bearbeiten

3.0  
Gegeben:
  •   ähnlich zu   (aus 2.0)
  •  
  •   (aus 2.2)
  •   (aus 2.4)
3.1  
3.2  
3.3  
oder:
 
 
3.3  

Rechtwinkeliges Dreieck JAQ Bearbeiten

4.0  

Gegeben:
  •  
  •   (aus 3.3)
4.1
 
 
 
 
4.2.
 
 

Gleichseitiges Dreieck HMR Bearbeiten

5.0  
Gegeben:
  •  
  •  
  •  
5.2 Höhe:
 

Rechtwinkeliges Dreieck HAO Bearbeiten

6.0  
Gegeben:
  •   ähnlich   (aus 2.0) also  
  •   (aus 4.2)
  •   ;   ;   (aus 2.4)

6.1  

6.2  

Stumpfwinkeliges Dreieck RST Bearbeiten

7.0  
Gegeben:
  •   (aus 6.2)
  •  
  •   (aus 5.2)

7.1 Nach dem Kosinussatz gilt:

 
 

7.2 Berechnung   und  

(Berechnung indirekt, um den arithm. Ausdruck zu erhalten)
 
Mit dem Additionstheorem:
 
ergibt sich:
 
 

7.3 Höhe   von   zur Seite  

 
 

Rechtwinkeliges Dreieck TWR Bearbeiten

8.0  
Gegeben:
  •   (aus 6.2)
  •   (aus 7.3)

8.1

 
 

Rechtwinkeliges Dreieck QXT Bearbeiten

9.0  

Gegeben:
  •   (aus 7.3)
  •   (aus Zeichnung)
9.1
 
 
9.2
 
mit
  •   (aus 5.2)
  •   (aus 8.1)
  •   (aus 4.1)
ergibt sich:
 
 

9.3 Berechnung  

 
   mit   
 

Rechtwinkeliges Dreieck QPU Bearbeiten

10.0  

Gegeben:
  •   (aus 4.2)
  •   (aus 3.2)
  •   (aus 3.1)
  •   (aus 9.3)

10.1

 
 

10.2 Berechnung  

 
 
Mit dem Additionstheorem
 
ergibt sich:
   mit   
   mit   
 
 
10.3
 
   mit   
 

Rechtwinkeliges Dreieck APU Bearbeiten

11.0  

Gegeben:
  •   (aus 3.2)
  •   (aus 10.3)
11.1

Die Länge der Siebeneckseite entspricht AU und beträgt:

 
 
Vereinfacht:
   mit   

Weblinks Bearbeiten

  Siebeneck, Näherungskonstruktion