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(Planimetrie/ Polygonkonstruktionen/ Elfeck)

Elfeck (Hendekagon)Bearbeiten

Das regelmäßige Elfeck ist als klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht darstellbar. Erlaubt man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel für die Teilung des 90-Grad-Winkels in elf gleich große Winkel, z. B. die archimedische Spirale oder die Quadratrix des Hippias, führt dies zu einer exakten Seitenlänge   des Elfecks.

Näherungskonstruktionen hierfür sind selbstverständlich machbar, es sind aber nur wenige in der einschlägigen Literatur zu finden. Die bekanntesten ist wohl die Näherungskonstruktion nach Dürer aus dem Jahr 1525.

Exakte Konstruktion bei gegebenem Umkreis mithilfe der Quadratrix des Hippias als zusätzliches HilfsmittelBearbeiten

  1. Zeichne einen Kreis mit dem Radius r = 1 (Einheitskreis).
  2. Konstruiere über dem Radius OA1 das Quadrat OA1BC.
  3. Bestimme die Quadratrix von Hippias mit der Parameterkurve  :
 

mit

 
  1. Zeichne eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt O.
  2. Trage auf der Halbgeraden ab O elf gleiche Abstände ab. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Teilungspunkte bis 4 und und der Abschlußpunkt 11 dargestellt.

Anmerkung
Der Zentriwinkels des Elfecks ergibt sich aus   aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab   bis   in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Elftel der Strecke OC kann nur ein Elftel des Winkels   erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels   aus dem Umkreis mit seinen   das Vierfache eines Elftels, d. h. der Teilungspunkt   der Strecke OC, zur Konstruktion des Zentriwinkels   genutzt.

  1. Verbinde den Abschlußpunkt 11 mit C.
  2. Ziehe eine Parallele zu C11 ab dem Teilungspunkt 4 bis OC, damit ergibt sich der Punkt 4'.
  3. Ziehe eine Parallele zu OA1 ab dem Punkt 4' bis zur Quadratrix, damit ergibt sich der Punkt D.
  4. Ziehe eine gerade Linie vom Mittelpunkt O durch D bis zur Kreislinie, damit ergibt sich der zweite Eckpunkt A2 des entstehenden Elfecks sowie der Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) μ.
  5. Verbinde den Punkt A1 mit A2, die Länge der Strecke   ist die exakte Seitenlänge   des regelmäßigen Elfecks.
  6. Trage auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt A2 die Strecke A1A2 neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

Näherungskonstruktion bei gegebenem UmkreisBearbeiten

  1. Es sei ein Kreis um   mit beliebigem Radius  .
  2. Halbgerade durch   und   ergibt Schnittpunkt  .
  3. Halbgerade senkrecht zu   durch   ergibt Schnittpunkte   und  .
  4. Strecken   eintragen.
  5. Kreis um   durch   ergibt Schnittpunkte   und  .
  6. Strecke  , Kreis um   durch  .
  7. Bestimmen der Funktionspunkte:
Es beginnt mit Punkt  , dessen Abstand zu Punkt   ist gleich der Strecke  . In der Darstellung beschrieben als  . Auf diese Art und Weise werden auch die weiteren Funktionspunkte von   als   bis   als   (Reihenfolge siehe Kurzbeschreibung in der Darstellung) festgelegt.
  1. Einzeichnen der Kreissekanten:
Es beginnt mit der Sekante ab   durch   bis sie die äußere Kreislinie in   schneidet. Die nächste Sekante läuft ab dem zuletzt erhaltenen Schnittpunkt   durch   bis sie wieder die äußere Kreislinie in   schneidet. Auf diese Art und Weise werden auch die Punkte von   bis   (Reihenfolge ist anhand des Verlaufs der Sekanten zu entnehmen) bestimmt.
  1. Die Verbindung von   mit   schneidet den innersten Kreis in   als zweiten Eckpunkt des entstehenden Elfecks.
  2. Trage auf den Umkreis ab Eckpunkt   die Strecke  , sie entspricht der Seitenlänge   des Elfecks, neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.
  • Somit ergibt sich:
Eine Näherung des regelmäßigen Elfecks E1 bis E11.

ErgebnisBearbeiten

Bezogen auf den Einheitskreis r = 1 [LE]

  • Konstruierte Seitenlänge des Elfecks in GeoGebra (Anzeige max. 15 Nachkommastellen)  
  • Seitenlänge des Elfecks  
  • Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge:
Bis zu den max. angezeigten 15 Nachkommastellen ist der absolute Fehler  
  • Konstruierter Zentriwinkel des Elfecks in GeoGebra (Anzeige signifikante 13 Nachkommastellen)  
  • Zentriwinkel des Elfecks  
  • Absoluter Winkelfehler vom konstruierten Zentriwinkel:
Bis zu den angezeigten signifikanten 13 Nachkommastellen ist der absoluter Fehler  

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichenBearbeiten

Bei einem Umkreisradius r = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 55 min), wäre der absolute Fehler der konstruierten Seitenlänge < 1 mm.

Bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

Ist die Seitenlänge a' eines Elfecks bei gegebenem Umkreis bereits bestimmt, kann daraus mithilfe der sogenannten zentrischen Streckung ein Elfeck mit gegebener Seitenlänge a (in der nebenstehenden Zeichnung grün) konstruiert werden.

  1. Ist die gegebene Seitenlänge a länger als a', so verlängere zuerst beide Winkelschenkel des Zenriwinkels  .
  2. Konstruiere die Winkelhalbierende wh des Winkels  .
  3. Bestimme den Punkt M auf wh mit beliebiger Position.
  4. Zeichne eine Parallele zu a' = A1'A2' durch M.
  5. Ziehe einen Halbkreis um M mit Radius r = a/2, die Schnittpunkte sind E und F.
  6. Zeichne je eine Parallele zu wh ab E und F bis zu dem betreffenden Winkelschenkel, die Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte A1 und A2 des gesuchten Elfecks.
  7. Ziehe den somit gefundenen Umkreis um O mit dem Radius ru = OA1.
  8. Trage auf den Umkreis, ab dem Eckpunkt A2, die Seitenlänge a neunmal gegen den Uhrzeigersinn ab und verbinde abschließend die benachbarten Eckpunkte miteinander.

WeblinksBearbeiten

  Zentrische Streckung

   Näherungskonstruktion nach Dürer (1525)

  Konstruktion mit Zirkel und Lineal

  Archimedische Spirale

  Quadratrix des Hippias

  Mittelpunktswinkel

  Konstruierbares Polygon

  Commons: Elfeck, Animation von dieser Näherungskonstruktion – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien