Näherung 2

Als Die drei antiken Probleme oder Klassische Probleme der antiken Mathematik werden bezeichnet:

• die Quadratur des Kreises
• die Dreiteilung des Winkels
• die Verdoppelung des Würfels

(Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 2)

(Planimetrie/ Die drei antiken Probleme/ Näherung 2)

Sie sind erwiesenermaßen nicht (exakt) als  Konstruktion mit Zirkel und Lineal lösbar.

• Lösungskriterien, Historisches u. a. m. sind im Artikel  Klassische Probleme der antiken Mathematik enthalten.
• In diesem Kapitel werden zu den drei klassischen Problemen Methoden aufgezeigt, mit denen außergewöhnlich genaue Näherungslösungen möglich sind. Die Approximationen sind auch mit Zirkel und Lineal ohne Maßeinteilung auf Format DIN A4 darstellbar.

Hilfsmittel

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl

Verwendungszweck

• Für Quadratur des Kreises, Verdoppelung des Würfels u. a. m., in denen ein Bruch als exakte Strecke benötigt wird.
• Vorzugsweise geeignet für Brüche ${\frac {8}{1}}$ > ${\frac {\mbox{Zähler}}{\mbox{Nenner}}}$ > ${\frac {1}{8}}$

Konstruktionsprinzip

• Eine Anwendung des dritten Strahlensatzes in Kombination mit Zahlenstrahlen.
• Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl s₁, zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen s₂ und s₄, ein zu s₁ paralleler Scheitelstrahl s₃, zwei Diagonalstrahlen s₅ und s₆ und zwei Hilfsstrahlen s₇ und s₈.
• Es sind echte und unechte Brüche sowie Dezimalbrüche, die im Schema Platz finden, einsetzbar.
• Tipp: Auf einem Ausdruck der Basiskonstruktion die entsprechende Konstruktion manuell mit Schreibstift, Zirkel und Lineal fortsetzen.

Konstruktion

Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl

1. Die Lage des Zahlenstrahls s₁ ist frei wählbar (siehe im Folgenden Quadratur des Kreises). Ist es bezüglich des Platzbedarfs möglich, zeichne z. B. durch den Punkt A den Zahlenstrahl s₁. Er ist für die Darstellung des konstruierten Zählers und des konstruierten Nenners bestimmt.
2. Zeichne den Teilerstrahl s₂ durch den Punkt A senkrecht stehend zum Zahlenstrahl s₁.
3. Trage z. B. zwei gleichlange Strecken ab dem Punkt A nach unten auf dem Teilerstrahl s₂ ab und bezeichne deren Endpunkte mit B bzw. C.

• Beachte: Die Position des Punktes A vom Strahl s₁ auf dem Strahl s₂ (Abstand zu Punkt C) ist frei wählbar.

4. Zeichne durch den Punkt C den zum Zahlenstrahl s₁ parallelen Scheitelstrahl s₃.
5. Trage die Strecke AB achtmal ab dem Punkt A nach oben auf dem Teilerstrahl s₂ ab, es ergibt sich der Schnittpunkt D,10, der Teilerstrahl s₂ ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.
6. Konstruiere die Strecke CE auf dem Scheitelstrahl s₃ mittels eines Kreisbogens um C mit dem Radius gleich der Strecke CD,10.
7. Zeichne den Teilerstrahl s₄ ab dem Punkt E parallel zum Teilerstrahl s₂.
8. Trage die Strecke AB einmal ab dem Punkt E sowie achtmal ab dem Punkt 2 auf dem Teilerstrahl s₄ ab, es ergeben sich die Schnittpunkte F und 10,G, der Teilerstrahl s₄ ist somit in zehn gleiche Teile geteilt.
9. Verbinde den Punkt B mit dem Punkt F.
10. Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl s₅ ab dem Scheitelstrahl s₃ durch den Punkt B bis zum Punkt 10,G, es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl s₃ der Scheitelpunkt H. Der Scheitelpunkt H ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl s₄ ausgehen.
11. Zeichne einen zum größten Teil unterbrochenen Diagonalstrahl s₆ ab dem Scheitelstrahl s₃ durch den Punkt F bis zum Punkt D,10, es ergibt sich auf dem Scheitelstrahl s₃ der Scheitelpunkt I. Der Scheitelpunkt I ist für die Projektionsstrahlen bestimmt, die bei der Konstruktion des Zählers bzw. Nenners vom Teilerstrahl s₂ ausgehen.
12. Teile den Scheitelstrahl s₃ in drei gleichlange Teile, es ergeben sich die Punkte J und K.
13. Zeichne die Hilfsstrahlen s₇ und s₈ jeweils senkrecht stehend zum Scheitelstrahl s₃ ab dem Punkt J bzw. ab dem Punkt K. Die beiden Hilfsstrahlen werden alternativ nur zur Lagebestimmung (Abstand zum Scheitelstrahl s₃) der projizierten Zahl verwendet.

• Beachte: Die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen können nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden!

14. Konstruiere die Strecke LE gleich der Strecke EI auf dem Scheitelstrahl s₃
15. Verbinde den Punkt L mit dem Punkt 3 auf dem Teilerstrahl s₄.
16. Zeichne eine Parallele zur Strecke L3 ab dem Punkt F vom Teilerstrahl s₄, es ergibt sich der Schnittpunkt M auf dem Scheitelstrahl s₃.
17. Konstruiere die Strecke NJ gleich der Strecke LM sowie die Strecke JO gleich der Strecke EM auf dem Scheitelstrahl s₃, es entstehen die beiden Scheitelpunkte N und O.
18. Konstruiere die Strecke KP gleich der Strecke LM sowie die Strecke KQ gleich der Strecke EM auf dem Scheitelstrahl s₃, es entstehen die beiden Scheitelpunkte P und Q.

• Somit ist das Schema (exakt) konstruiert.

Weblinks

  Dritter Strahlensatz
  Zahlenstrahl

Quadratur des Kreises

Variante 1

Näherungskonstruktion mit Darstellung des halben Kreisumfangs

Konstruktionsprinzip

• Die Hauptelemente sind ein Zahlenstrahl s₁, zwei darauf senkrecht stehende Teilerstrahlen s₂ und s₄, ein zu s₁ paralleler Scheitelstrahl s₃, zwei Diagonalstrahlen s₅ und s₆ und zwei Hilfsstrahlen s₇ und s₈.
• Von dem vorgegebenen Nenner und Zähler werden die Dezimalstellen in der Reihenfolge Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. jeweils mittels Projektion mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ bzw. falls die nächste Dezimalstelle eine "0" ist, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert und auf einem Teilerstrahl s₂ oder s₄ geometrisch addiert bzw. subtrahiert.
• Zuerst wird der Nenner konstruiert, anschließend zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert und der sich dabei ergebende Schnittpunkt, z. B. V, Nenner, mit dem Punkt T des Zahlenstrahls s₁ (Wert = 1) verbunden, dabei ergibt sich die Verbindungsstrecke V, NennerT.

Der konstruierte Zähler wird ebenfalls zum Punkt A des Teilerstrahls s₂ addiert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt, z. B. W, Zähler.

Die abschließende Parallele zur Verbindungstrecke V, NennerT erzeugt den Schnittpunkt B₁ auf dem Zahlenstrahl s₁. Somit entspricht die Länge der Stecke AB₁ exakt dem Wert des vorgegebenen Bruches.

• Ansatz: Ein Bruch der die gewünschte Näherung an $\mathbf {\pi }$ bzw. an $\mathbf {\sqrt {\pi }}$ hat. Die Anwendung der Strahlensätze in kompakter Form.
• Es sind sämtliche Brüche z. B. ${\frac {355}{113}},\;{\frac {3.141.592}{1.000.000}},\;{\frac {177.245}{100.000}}$ mit einer beliebigen Näherung an $\mathbf {\pi }$ bzw. an $\mathbf {\sqrt {\pi }}$ einsetzbar.

Konstruktion

• Als Basiskonstruktion ist das Schema für die Konstruktion von Brüchen auf einen Strahl eingearbeitet. Da für den Zahlenstrahl s₁ der Abstand AC auf s₂ frei wählbar ist, wurde er aus Gründen des Platzbedarfs (Einer des Zählers ist 2 ) nahe 2,5 gewählt.
• Wähle z. B. einen Dezimalbruch oder einen unechten Bruch der die gewünschte Näherung an $\mathbf {\pi }$ hat.
• Im dargestellten Beispiel ist der unechte Bruch ${\frac {245.850.922}{78.256.779}}$ gewählt, dieser wurde schon 1770 von Johann Heinrich Lambert in seinem Buch "Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung" veröffentlicht.
• Fünfzehn Nachkommastellen sind gleich deren des Wertes $\mathbf {\pi }$.

Radius des Kreises

1. Bestimme den Radius r des Kreises mittels der beliebigen Strecke AT. Um die prinzipielle Genauigkeit des Konstruktionsprinzips (mithilfe GeoGebra) zu verdeutlichen, ist in der folgenden Darstellung der Radius r = 1 gewählt.
2. Konstruiere den Mittelpunkt M_K so, dass der anschließend eingezeichnete Kreis mit dem Radius r gleich der Strecke M_KT, den Teilerstrahl s₂ und den Zahlenstrahl s₁ berührt.

Nenner

1. Verbinde den neunten Punkt des Teilerstrahls s₄ (Zahl 9, START Einer, Nenner) mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s₇, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 9. Der Wert der Zahl 9 vom Teilerstrahl s₄ ist dadurch mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ verkleinert.
2. Greife die Strecke J9 ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 79.
3. Verbinde den Schnittpunkt 79 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt P des Hilfsstrahls s₈, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 79. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt O des Hilfsstrahls s₇ oder mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s₄ verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s₃ haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s₂, s₄) und Hilfsstrahlen (s₇, s₈) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
4. Greife die Strecke K79 vom Hilfsstrahl s₈ ab und addiere sie zum siebten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 779.
5. Verbinde den Schnittpunkt 779 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 779.
6. Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Nenner mit dem Schnittpunkt 78.256.779 auf dem Teilerstrahl s₄ konstruiert ist.
7. Greife die Strecke EU (Nenner) ab und addiere sie zum Punkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt V, Nenner. Somit ist der Nenner konstruiert.
8. Verbinde den Schnittpunkt V, Nenner mit dem Punkt T des Zahlenstrahles s₁, es ergibt sich die Strecke V, NennerT.

Zähler

1. Verbinde den zweiten Punkt des Teilerstrahls s₄ (Zahl 2, START Einer, Zähler) mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s₇, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 2.
2. Greife die Strecke R2 ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom dritten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 22.
3. Verbinde den Schnittpunkt 22 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 22.
4. Greife die Strecke F22 ab und subtrahiere sie vom zehnten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 922.

• Beachte: Die nächste Stelle des Zählers ist eine Null (0), deshalb muss der Wert der Zahl 922 vom Teilerstrahl s₄, vor der geometrischen Addition mit der übernächsten Dezimalstelle 5, mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert sein! In diesem Fall ist die erste Verkleinerung mit dem Faktor ${\frac {1}{10}}$ stets auf einem Teilerstrahl durchzuführen, da die auf einem Hilfsstrahl projizierten Zahlen nicht auf den benachbarten Hilfsstrahl und nicht auf die Teilerstrahlen projiziert werden können!

5. Verbinde den Schnittunkt 922 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 922.
6. Verbinde den Schnittunkt 922 des Teilerstrahls s₂ mit dem Scheitelpunkt I des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 0.922. Der Wert der Zahl 922 vom Teilerstrahl s₄ ist dadurch mit dem Faktor ${\frac {1}{100}}$ verkleinert.
7. Greife die Strecke F0.922 ab (größere Zirkelöffnung) und subtrahiere sie vom sechsten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₄, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 50.922.
8. Verbinde den Schnittpunkt 50.922 des Teilerstrahls s₄ mit dem Scheitelpunkt Q des Hilfsstrahls s₈, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt 50.922. Es könnte alternativ mit dem Scheitelpunkt N des Hilfsstrahls s₇ oder mit dem Scheitelpunkt H des Teilerstrahls s₂ verbunden werden. Damit aber die projizierten Zahlen (Schnittpunkte) zueinander einen gut erkennbaren Zwischenraum für das Abgreifen des Abstandes zum Scheitelstrahl s₃ haben, ist es vorteilhaft anfangs die Teilerstrahlen (s₂, s₄) und Hilfsstrahlen (s₇, s₈) in etwa gleichmäßig zu verwenden.
9. Greife die Strecke K50.922 vom Hilfsstrahl s₈ ab und addiere sie zum achten Teilungspunkt des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich der Schnittpunkt 850.922.
10. Setze diese Vorgehensweise, zuerst Projizieren, dann Abgreifen und schließlich Addieren, fort bis der Zähler mit dem Schnittpunkt 245.850.922 auf dem Teilerstrahl s₄ konstruiert ist.
11. Greife die Strecke E245.850.922 (Zähler) und addiere sie zum Punkt A des Teilerstrahls s₂, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt W, Zähler. Somit ist der Zähler konstruiert.
12. Ziehe eine Parallele zur Strecke V, NennerT bis auf den Zahlenstrahl s₁, damit ergibt sich der Schnittpunkt B₁.
13. Errichte eine Senkrechte auf den Zahlenstrahl s₁ ab dem Punkt B₁ bis auf die Mittelachse des Kreises, es ergibt sich der Schnittpunkt C₁.
14. Halbiere die Strecke D₁C₁, dabei entsteht der Mittelpunkt M₁.
15. Zeichne über M₁ den Thaleskreis ab C₁, er schneidet die Mittelachse des Kreises in E₁.
16. Verbinde den Punkt D₁ mit dem Punkt E₁, die Strecke D₁E₁ entspricht der konstruierten Seitenlänge S_QK des gesuchten Quadrates.
17. Halbiere die Strecke D₁E₁, es ergibt sich der Schnittpunkt M₂.
18. Zeichne einen Kreis um den Mittelpunkt M_K mit dem Radius M_KM₂.
19. Konstruiere mithilfe der Seitenlänge S_QK um den Mittelpunkt M_K und mittels des Hilfskreises mit dem Radius M_KM₂ das gesuchte Quadrat.

• Somit ergibt sich:

a) Ein Quadrat mit einem nahezu gleichen Flächeninhalt wie der vom gegebenen Kreis.

b) Eine Strecke AB₁ mit einer Länge, die nahezu gleich dem halben Umfang des Kreises ist.

Berechnung

• Allgemein: Seite des Quadrates S_Q = r • $\mathbf {\sqrt {\pi }}$
• Die Berechnung der konstruierten Seite des Quadrates S_QK geschieht, aufgrund des Konstruktionsprinzips, schrittweise durch die geometrischen Additionen bzw. Subtraktionen der einzelnen Zwischenergebnisse auf den Teilerstrahlen s₂ bzw. s₄.
• Der vorgegebene unechte Bruch ${\frac {245.850.922}{78.256.779}}$ wird auf dem Zahlenstrahl s₁ prinzipiell exakt dargestellt.

Absoluter Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates F_SQK

${\begin{aligned}F_{S_{QK}}&=S_{QK}-{\sqrt {\pi }}\\S_{QK}&={\sqrt {\frac {245.850.922}{78.256.779}}}\\&=\;\;\;1,77245385090551600524...\\-{\sqrt {\pi }}&=-1,77245385090551602729...\\\hline S_{QK}-{\sqrt {\pi }}&=-0,00000000000000002205...\\\end{aligned}}$

$F_{S_{QK}}\approx -2,2E-17$ [LE]

Beispiele um die Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Kreis mit Radius r = 100 Milliarden km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 91 Stunden) wäre der Fehler der konstruierten Seitenlänge des Quadrates S_QK ≈ 2,2 mm.
• Bei einem Kreis mit Radius r = 100 km wäre der Fehler der Fläche des Quadrates ≈ -0,781 mm²

Variante 2

Näherungskonstruktion

Sie beruht auf der Näherung

$\pi \approx \left({\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}=3{,}141\;592\;653\;5{\color {red}94\ldots }.$

Nach dem Ziehen des Einheitskreises ($r=1$ [LE]) werden die x-Achse $|AB|$ und die y-Achse $|CD|$ eingetragen. Es folgen der Kreisbogen $BEM$ und die (nicht eingezeichnete) Mittelsenkrechte zwischen $C$ und $E$ mit Schnittpunkt $F$. Nun wird das Lot von $F$ auf $|AB|$ mit Fußpunkt $G$ gefällt. Das dadurch erzeugte rechtwinklige Dreieck $MGF$ hat wegen der Hypotenuse ${\overline {FM}}=1$ und des Winkels $GMF=75^{\circ }$ die Katheten ${\overline {FG}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ und ${\overline {MG}}={\tfrac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}$. Die Strecke ${\overline {FG}}$ wird in $H$ halbiert. Um den oben beschriebenen Ansatz für die Näherung zu erhalten, stellt man sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ${\sqrt {\pi }}$ und der kleinen Kathete ${\overline {KL}}={\tfrac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}$ vor. Mit dem Satz des Pythagoras gilt für die große Kathete ${\overline {JK}}$

${\overline {JK}}={\sqrt {\pi -\left({\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}\right)^{2}}}=1{,}486\;129\;184\;054\;190\ldots \;\Rightarrow$

$\;\;\;\approx {\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}=1{,}486\;129\;184\;05{\color {red}5\;7\ldots }.$

Die Länge der Kathete ${\overline {JK}}={\frac {10}{7}}\cdot {\sqrt {\frac {46643}{43100}}}$ ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar (siehe Animation, gleiches Konstruktions-Prinzip wie in Variante 1).

Weiter geht es mit dem Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks anhand der jetzt bekannten Seiten. Hierzu wird zuerst der Punkt $H$ mithilfe einer Parallelen zur x-Achse $|AB|$ auf die y-Achse $|CD|$ projiziert, der Schnittpunkt ist $I$. Der darauf folgende Kreis mit dem Radius $r={\tfrac {5}{7}}\cdot {\sqrt {\tfrac {46643}{43100}}}$ schneidet die Parallele in $J$ und $K$. Die Halbgerade ab $J$ durch den Kreismittelpunkt $M$ und die in $K$ errichtete Senkrechte schneiden sich in $L$ und ergeben damit das Dreieck $JLK$. Der abschließende Kreis mit Radius $|MJ|$ ist der Inkreis des gesuchten Quadrates $NOPQ$.

Fehler

Bei einem Kreis mit Radius r = 1 [LE]:

• In GeoGebra konstruierte Seite des Quadrates ${\overline {A'H_{1}}}=a=1{,}772453850906837$ [LE]
• Soll-Seite des Quadrates $a_{s}={\sqrt {\pi }}\cdot 1=1{,}772453850905516\ldots$ [LE]
• Absoluter Fehler $F=a-a_{s}=0{,}000000000001322...=1{,}322\ldots$ E-12 [LE]
• Fläche des konstruierten Quadrates $A_{k}=a^{2}=3{,}141592653594478\ldots$ [FE]
• Soll-Fläche des Quadrates $A_{s}={\pi }\cdot 1=3{,}141592653589793\ldots$ [FE]
• Absoluter Fehler $A_{k}-A_{s}=0,000000000004686\ldots =4{,}685\ldots$ E-12 [FE]

Verdeutlichung:

• 11 Nachkommastellen sind gleich denen von ${\sqrt {\pi }}$ bzw. 10 Nachkommastellen sind gleich denen von $\pi$.
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 Mio. km wäre der Fehler der Seite a ≈ 1,3 mm
• Bei einem Kreis mit dem Radius r = 1 km wäre der Fehler der Fläche A ≈ 5 mm²

Weblinks

 Quadratur des Kreises
 Johann Heinrich Lambert: Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung Quadratur des Circuls, S. 157 Abgerufen am 2. Juli 2017.

 Commons: Animation, Quadratur des Kreises – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Dreiteilung des Winkels

• Einleitung und Erklärungen zu "Klassisches Problem", "Verallgemeinerung", "Nicht-klassische Verfahren" u. a. m. sind im Artikel  Dreiteilung des Winkels enthalten.

Variante 1

Konstruktionsprinzip

• Näherungskonstruktion
• Den gegebenen Winkel mit vier Winkelhalbierenden verkleinern und den Kreisbogen MFG zwischen Winkelhabierende w₃ und w₄ mit einer Näherungslösung dritteln.

Konstruktion für Winkel > 0° bis 180°

• Für Winkel $\mathbf {\alpha }$ < 90° ist, zur klaren Unterscheidung der Punkte die auf der geraden Hilfslinie g liegen, meist die Drittelung des Supplementwinkels vorteilhaft. Dies wird im folgenden Beispiel berücksichtigt.

1. Zeichne durch den Punkt M eine Gerade.
2. Zeichne um den Punkt M einen Halbkreis, es ergeben sich auf der Gerade die Schnittpunkte A und B, die Strecke MA ist der erste Winkelschenkel.
3. Konstruiere eine Senkrechte zur Strecke AB ab Punkt M bis sie den Halbkreis schneidet, es ergibt sich der Schnittpunkt C.
4. Konstruiere als Beispiel den Winkel $\mathbf {\alpha }$ = 60°, es ergibt sich der Schnittpunkt D auf dem Halbkreis MAB
5. Verbinde den Punkt M mit dem Punkt D, es ergibt sich der zweite Winkelschenkel der mit der Strecke MB den Supplementwinkel $\mathbf {\alpha _{1}}$ = 120° einschließt.
6. Konstruiere vom Winkel $\angle {DMB}$ die Winkelhalbierende w₁, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt E.
7. Konstruiere vom Winkel $\angle {EMB}$ die Winkelhalbierende w₂, die Länge der Strecke Mw₂ etwas länger als $\mathbf {{\frac {1}{2}}r}$
8. Konstruiere vom Winkel $\angle {EMw_{2}}$ die Winkelhalbierende w₃, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt F.
9. Konstruiere vom Winkel $\angle {FMw_{2}}$ die Winkelhalbierende w₄, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB der Schnittpunkt G.
10. Zeichne eine gerade Hilfslinie g die über den Punkt G den Punkt F anvisiert (quasi ein Lineal an die Punkte F und G angelegt), aber mit ihrer Länge, ca. Abstand |EF|, nur bis zum Punkt G verläuft und keine Verbindung der Punkte F und G herstellt. Somit ist zwischen diesen beiden Punkten der Halbkreis MAB für den späteren Schnittpunkt J frei zugänglich.
11. Zeichne einen Halbkreis um den Punkt G mit dem Radius gleich dem Abstand |FG|, es ergibt sich auf der Hilfslinie g der Schnittpunkt H.
12. Konstruiere auf der Hilfslinie g die Strecke HI, sie ist ein Drittel der Strecke GH.
13. Zeichne einen Kreis um den Punkt I mit dem Radius gleich der Strecke GH, es ergibt sich auf dem Halbkreis MAB zwischen den Punkten F und G der Schnittpunkt J.
14. Verbinde den Punkt J mit dem Punkt M, die Winkelschenkel JM und MB schließen den Winkel $\mathbf {\beta _{1}} \approx \mathbf {{\frac {1}{3}}\alpha _{1}}$ ein. Somit ist vorerst vom Supplementwinkel 120° ein approximiertes Drittel dargestellt. .
15. Halbiere die Strecke JM, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt K.
16. Zeichne um den Punkt M einen Halbkreis der durch den Punkt K verläuft, es ergeben sich die Schnittpunkte L und N auf der Strecke AB.
17. Zeichne um den Punkt K einen Halbkreis der vom Punkt M zum Punkt J verläuft, es ergibt sich der Schnittpunkt O mit dem Halbkreis MNL.
18. Zeichne eine Gerade vom Punkt J durch den Punkt O bis zum Halbkreis MAB, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt P.
19. Verbinde den Punkt P mit dem Punkt M, die Winkelschenkel PM und MA schließen den Winkel $\mathbf {\beta } \approx \mathbf {{\frac {1}{3}}\alpha }$ ein.
20. Trage die Strecke AP ab dem Punkt P einmal auf dem Halbkreis MAB ab, es ergibt sich darauf der Schnittpunkt Q. Somit ist der Winkel 60° nahezu gedrittelt.

Fehler

• Der max. Winkelfehler von $\mathbf {\beta }$ bzw. $\mathbf {\beta _{1}}$ ist ca. $\mathbf {\pm }$ 1,25E-6°, wenn der Winkel $\mathbf {\alpha }$ nahezu 0° bzw. nahezu 180° ist.

Beispiel um den Fehler zu verdeutlichen

• Bei einem Radius r = MA = 100 km wäre der max. Fehler an der Sehne $\mathbf {\approx } {\pm }$ 2,2 mm

Berechnung

• Im Kapitel "Neuneck", unter "Berechnung" sind zur Verifizierung des Konstruktionsprinzips alle Berechnungsschritte für die Dreiteilung des Winkels (Beispiel $\angle {60^{\circ }}$) aufgezeigt. Für die Dreiteilung des oben dargestellten Supplementwinkels 120°, sind in den Formeln die entsprechenden Werte (u. a. Länge des Winkelschenkels ändert sich von 2r in r) und Bezeichnungen (Punkte, Winkel, Strecken etc.) einzusetzen.

Variante 2

Konstruktionsprinzip

• Näherungskonstruktion
• Ein paar Konstruktionselemente stammen aus Alberts' Konstruktion.

Mit der stark vereinfachten Konstruktion wird folgendes erreicht:

• Der größte Teil der Konstruktion liegt in der unteren Hälfte des Kreises $k_{1}.$
• Eine praktikable Dreiteilung des Winkels ab nahe $0^{\circ }$ bis $180^{\circ }.$
• Die Animation (Schrittgröße ca. 3° bis 4°) zeigt alternativ die Konstruktion für Winkel > 0° bis 90° sowie die dazu spiegelbildliche Konstruktion ab 90° bis 180°. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Punkte ohne Beschriftung.

Konstruktion für Winkel > 0° bis 180°

1. Kreis $k_{1}$ mit beliebigem Durchmesser ${\overline {AB}}$ um Mittelpunkt $O.$
2. Winkelschenkel ${\overline {OA}}$ und Winkelschenkel ${\overline {OC}}$ schließen den Winkel $\alpha$ im Scheitel $O$ ein, ${\overline {OB}}$ und ${\overline {OC}}$ den Ergänzungswinkel $\gamma .$
3. Kreis $k_{2}$ um $O$ mit Radius ${\tfrac {1}{3}}{\overline {OA}}$; die Verlängerung des Winkelschenkels ${\overline {CO}}$ schneidet Kreis $k_{2}$ in $D.$
4. Durchmesser ${\overline {EF}}$ mit $\angle {EOA=45^{\circ }}$ und Verbindung des Punktes $D$ mit $E.$
5. Punkt $G$ auf Kreis $k_{2}$ so, dass $|EG|={\overline {EO}}.$
6. Strecke ${\overline {OF}}$ in $H$ halbieren, die anschließende Mittelsenkrechte von $|GH|$ schneidet ${\overline {OE}}$ in $I,$ ergibt $|IG|={\overline {IH}}.$
7. Parallele zu ${\overline {ED}}$ ab $I$ erreicht Kreis $k_{2}$ in $J.$
8. Parallele zu ${\overline {IJ}}$ ab $D,$ Punkt $K$ darauf so, dass ${\overline {JK}}={\overline {JE}}.$
9. Linie ab $J$ durch $K$ erreicht Kreis $k_{1}$ in $L,$ anschließend Linie ab $L$ bis $O.$
10. Parallele zu ${\overline {LO}}$ ab $D$ erreicht Kreis $k_{2}$ in $M.$
11. Strecke ${\overline {KE}}$ über $E$ hinaus verlängern, Punkt $N$ darauf so, dass ${\overline {MN}}={\overline {MD}}.$
12. Linie ab $M$ durch $N$ erreicht Kreis $k_{1}$ in $P.$
13. Bestimme Punkt $Q$ so, dass Winkel $POQ=30^{\circ },$ Verbindung $Q$ mit $O$ ergibt den Winkel $AOQ=\beta .$
14. Mittelsenkrechte von $|CQ|$ schneidet $k_{1}$ in $R,$ verbinde $R$ mit $O.$
15. Bestimme Punkt $S$ so, dass Winkel $QOS=120^{\circ }.$
16. Abschließende Verbindung $S$ mit $O$ ergibt Winkel $SOB=\delta .$

• Der Winkel $AOQ=\beta$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels $AOC=\alpha .$
• Der Winkel $SOB=\delta$ ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels $COB=\gamma .$

Fehlerbetrachtung

Eine Fehleranalyse, ähnlich Alberts' Konstruktion, ist nicht vorhanden.

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade meist mit signifikanten dreizehn Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels $\beta$ bzw. $\delta$, sprich, die Differenzwerte aus ${\frac {\alpha }{3}}-\beta$ bzw. ${\frac {\gamma }{3}}-\delta ,$ werden von GeoGebra stets mit $0^{\circ }$ angezeigt.

Betrachtet man die Grafik in GeoGebra, in sehr kleinen Schritten, die zu- oder abnehmenden Winkelweiten des Winkels $\beta$ bzw. $\delta$ mithilfe des Schiebereglers oder der Animation, ist vereinzelt eine max. Abweichung $1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }}$ vom SOLL-Wert ${\frac {\alpha }{3}}$ bzw. ${\frac {\gamma }{3}}$ ablesbar.

Verdeutlichung des absoluten Fehlers

Der in GeoGebra ablesbare Differenzwert von max. $1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }}$ entspricht einem absoluten Fehler $F$ der – nicht eingezeichneten – Sehne $|AR|$ bzw. $|BT|,$ der sich wie folgt ergibt:

$F=2\cdot \sin \left({\frac {1\cdot 10^{-13}\mathrm {^{\circ }} }{2}}\right)=0{,}000\;000\;000\;000\;001\;745\ldots =1{,}745\ldots \cdot 10^{-15}\;[\mathrm {LE} ]$

Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Milliarde km (das Licht bräuchte für diese Strecke ≈ 56 Minuten, das ist etwas weniger als 7-mal die Entfernung Erde – Sonne), wäre der absolute Fehler der beiden – nicht eingezeichneten – Sehnen $|AR|$ bzw. $|BS|$ ≈ 1,7 mm.

Weblinks

Neuneck in diesem Buch

 Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel

Dreiteilung einer Strecke in diesem Buch

Dreiteilung des Winkels 60° in diesem Buch

 Commons: Dreiteilung des Winkels mit 5 Wh – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

 Alberts' Konstruktion: Näherung für Winkelweiten größer 0° bis 90°, mit Fehleranalyse

 Lichtgeschwindigkeit

• Dreiteilung des Winkels, Prinzip Linse

Verdoppelung des Würfels

Eine relativ einfache Näherungskonstruktion, aber mit einer ebenfalls außergewöhnlichen Genauigkeit ist im Folgenden beschrieben.

• Einleitung, Erklärung und Weiterführungen sind im Artikel  Würfelverdoppelung enthalten.

• $a_{1}$ ist die Kantenlänge des Ausgangswürfels, $a_{2}$ die des verdoppelten Würfels

Konstruktionsbeschreibung

Es beginnt mit dem Einheitskreis mit Radius ${\overline {OA}}=1=a_{1}$ und dem Einzeichnen des Durchmessers ${\overline {AB}}$. Als nächstes wird die zum Durchmesser ${\overline {AB}}$ senkrecht stehende Mittelachse ${\overline {CD}}$ eingetragen. Es folgt jeweils ein Kreisbogen mit Radius ${\overline {OA}}$ um $A$ und $B$; die Schnittpunkte sind $E,E'$ und $F,F'$. Eine nicht eingezeichnete Mittelsenkrechte des Abstandes $|E'D|$ halbiert den Kreisbogen $OE'D$ in $G$. Eine Parallele zu ${\overline {AB}}$ ab $G$ ergibt die Strecke ${\overline {GH}}$. Den Punkt $I$ bestimmt man mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes $|HF'|$.

Weiter geht es mit dem Übertragen des Abstandes $|IF'|$ ab $E$, dabei ergibt sich der Schnittpunkt $J$. Eine Parallele zu ${\overline {AB}}$ ab $J$ ergibt die Strecke ${\overline {JK}}$. Der Punkt $L$ wird mithilfe einer nicht eingezeichneten Mittelsenkrechten des Abstandes $|KF|$ bestimmt. Die abschließende Verbindung des Punktes $A$ mit $L$ schneidet ${\overline {OC}}$ in $M$ und liefert somit die Strecke ${\overline {AM}}$, deren Länge nahezu gleich dem Sollwert ${\sqrt[{3}]{2}}$ ist.

Fehler

In GeoGebra werden max. 15 Nachkommastellen angezeigt.

${\begin{alignedat}{2}{\text{in GeoGebra konstruierte Länge der Strecke }}\qquad {\overline {AM}}&=&&1{,}259921049894873\;[\mathrm {LE} ]\\-{\text{Sollwert }}\qquad -{\sqrt[{3}]{2}}&=-&&1{,}259921049894873\dots \;[\mathrm {LE} ]\\\hline {\text{absoluter Fehler in GeoGebra nicht evaluierbar }}\qquad F&=&&0{,}000000000000000\dots \;[\mathrm {LE} ]\end{alignedat}}$

Beispiel zur Verdeutlichung der Fehler

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 1 Mrd. km (das Licht bräuchte für diese Strecke ca. 56 min.) wäre bezüglich der konstruierten Kantenlänge a₂ des verdoppelten Würfels 2 kein Fehler evaluierbar.
  

Somit liegt die Vemutung nahe, dass der absolute Fehler < 1 mm ist.

• Bei einem Würfel 1 mit der Kantenlänge a₁ = 10 km wäre der Fehler des Volumens vom verdoppelten Würfels 2 vermutlich < 0,7 dm³ oder < 1  Liter.

Weblinks

•  Commons: Animation, Verdoppelung des Würfels – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
•   Quadrat
•  GeoGebra
•  Einheitskreis
•  Mittelsenkrechte
•  Messabweichung