Mathematik: Lineare Algebra: Determinanten: Die Determinante



DefinitionBearbeiten

Eine Determinante ist also eine Funktion, die einer gegebenen Matrix   eine Zahl zuordnet, die mit   bezeichnet wird.

Eine Determinantenfunktion   muss dabei folgenden Forderungen genügen:

  •   ist alternierend, d.h.   für  
  •   ist multilinear, d.h. linear in jedem Argument.
Die Determinante einer quadratischen n × n - Matrix ist eine Funktion, die dieser Matrix eine Zahl zuordnet, welche mit det (A) bezeichnet wird. Diese Zahl berechnet man durch
(*) det (A) = a1k D 1k + a2k D 2k + a3k D 3k + . . . . . + ank D nk mit k = 1, ... n

und man sagt, man habe die Determinante nach der k-ten Spalte entwickelt, weil die aik die Elemente der k-ten Spalte sind. D ik sind die zugehörigen Adjunkten:

D ik = ( -1 )a i+k dik.

BerechnungBearbeiten

Als Ausgangspunkt einer Determinantenrechnung sollte immer eine Matrix stehen; wobei nicht jede Matrix "akzeptiert" wird: Es muss eine Quadratische sein. Auch das Ziel ist schon mehr oder weniger vorgegeben: Die Lösung des Gleichungssystems bzw. der Matrix. Nun muss man sich also nur noch den Regeln zuwenden!

Die Lösung einer Determinante ist immer ein Skalar. Es geht also darum, einer  -Matrix einen skalaren Wert zuzuordnen. Dabei sind jedoch lediglich Determinanten von  -Matrizen wirklich lösbar, und zwar wie folgt:   andere Determinanten müssen in Unterdeterminanten umgeformt werden. Weitere Rechenregeln für Determinanten sind im Kapitel Berechnung von Determinanten.

UnterdeterminantenBearbeiten

Sei eine Determinante

 

gegeben. Diese ist nun in so genannte Unterdeterminanten zerlegbar, welche wie folgt heißen:

=  
 

Dabei ist es egal, nach welcher Zeile oder Spalte entwickelt (also aufgeölst) wird. Dies kann von Determinante zu Determinante unterschiedlich sein, je nach dem, wo gerade die "schönsten" Zahlen stehen (am besten natürlich 1 oder 0!)
bei höheren Determinanten muss man diese Entwicklung (Zerlegung in Unterdeterminanten) mehrfach durchführen, bis eine 2×2-Determinante übrig bleibt.