Mathematik: Lineare Algebra: Determinanten: Die Determinante

Mathematik Lineare Algebra Determinanten
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Definition

Eine Determinante ist also eine Funktion, die einer gegebenen Matrix $A$ eine Zahl zuordnet, die mit $det(A)$ bezeichnet wird.

Eine Determinantenfunktion $\Delta :V^{n}\rightarrow K$ muss dabei folgenden Forderungen genügen:

• $\Delta$ ist alternierend, d.h. $\Delta (x_{1},\cdots ,x_{n})=0\Leftrightarrow x_{i}=x_{j}$ für $i\neq j$
• $\Delta$ ist multilinear, d.h. linear in jedem Argument.
  

Die Determinante einer quadratischen n × n - Matrix ist eine Funktion, die dieser Matrix eine Zahl zuordnet, welche mit det (A) bezeichnet wird. Diese Zahl berechnet man durch

(*) det (A) = a_1k D _1k + a_2k D _2k + a_3k D _3k + . . . . . + a_nk D _nk mit k = 1, ... n

und man sagt, man habe die Determinante nach der k-ten Spalte entwickelt, weil die a_ik die Elemente der k-ten Spalte sind. D _ik sind die zugehörigen Adjunkten:

D _ik = ( -1 )a ^i+k d_ik.

Berechnung

Als Ausgangspunkt einer Determinantenrechnung sollte immer eine Matrix stehen; wobei nicht jede Matrix "akzeptiert" wird: Es muss eine Quadratische sein. Auch das Ziel ist schon mehr oder weniger vorgegeben: Die Lösung des Gleichungssystems bzw. der Matrix. Nun muss man sich also nur noch den Regeln zuwenden!

Die Lösung einer Determinante ist immer ein Skalar. Es geht also darum, einer $n\times n$-Matrix einen skalaren Wert zuzuordnen. Dabei sind jedoch lediglich Determinanten von $2\times 2$-Matrizen wirklich lösbar, und zwar wie folgt: $\det A=\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}$ andere Determinanten müssen in Unterdeterminanten umgeformt werden. Weitere Rechenregeln für Determinanten sind im Kapitel Berechnung von Determinanten.

Unterdeterminanten

Sei eine Determinante

${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$

gegeben. Diese ist nun in so genannte Unterdeterminanten zerlegbar, welche wie folgt heißen:

= $c_{1}{\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}}-c_{2}{\begin{vmatrix}a_{3}&b_{3}\\a_{1}&b_{1}\end{vmatrix}}+c_{3}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}},...$

Dabei ist es egal, nach welcher Zeile oder Spalte entwickelt (also aufgeölst) wird. Dies kann von Determinante zu Determinante unterschiedlich sein, je nach dem, wo gerade die "schönsten" Zahlen stehen (am besten natürlich 1 oder 0!)
bei höheren Determinanten muss man diese Entwicklung (Zerlegung in Unterdeterminanten) mehrfach durchführen, bis eine 2×2-Determinante übrig bleibt.