Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Intervalle, Rechtecke und (verallgemeinerte) Quader – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“


Motivation Bearbeiten

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus   sind dies Längen, bei Teilmengen aus   Flächen, bei Teilmengen aus   Volumina und bei Teilmengen aus   mit   verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Gehen wir zunächst in die Ebene: dann ist die Fläche eines Rechtecks das Produkt der Seitenlängen. Denn zwei identische Rechtecke aneinandergelegt, ergibt ein doppelt so großes Rechteck (die Fläche soll sich beim Verschieben ja nicht ändern, was man "translationsinvariant" nennt) und die eine Seitenlänge verdoppelt sich dabei. Analog bei erhöht sich bei 3 oder 4 Rechtecken die Seitenlänge um den Faktor 3 oder 4.

Genauso gilt es für die andere Seite: wenn man die Rechtecke andersherum aneinanderlegt ist das entstehende Rechteck erneut doppelt so groß und die andere Seitenlänge hat sich verdoppelt. D.h. die Formel der Flächenbestimmung muss für jede Seite multiplikativ sein: eben das Produkt der Seitenlängen.

 
3 Rechtecke übereinandergelegt ergeben die dreifache Fläche, 2 Rechtecke nebeneinadergelegt ergeben die doppelte Fläche

Bild: 3 Rechtecke übereinandergelegt ergeben die dreifache Fläche, 2 Rechtecke nebeneinadergelegt ergeben die doppelte Fläche

Liegt eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken vor, so ist die Gesamtfläche die Summe der Einzelrechtecksflächen:

 
durch Überlappung verringert sich das Volumen

Ist die Vereinigung nicht disjunkt, so müssen wir sie disjunkt machen. Denn das Volumen zweier sich schneidender Mengen ist anschaulich kleiner als die Summe der Volumina der Einzelmengen (siehe das Bild):

 
durch Überlappung verringert sich das Volumen

Endliche Vereinigungen von Rechtecken lassen sich besonders leicht disjunkt machen, man erhält erneut endlich viele disjunkte Rechtecke.

 
Vereinigung ist als disjunkte Vereinigung darstellbar

Zudem entstehen bei der Differenz endlich vieler disjunkter Rechtecke wieder endlich viele disjunkte Rechtecke.

Das sind weitere Gründe, warum man Rechtecke zu Grunde legt für die Flächenbestimmung "guter" Mengen.

Denn unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Rechtecke "minimal" zu überdecken und dadurch die Fläche der "guten" Menge zu bestimmen.

Wenn wir statt Rechtecken z.B. Kreise zum Überdecken einer Menge nähmen, hätten wir die genannten Eigenschaften nicht und würden uns mit der Konstruktion einer minimalen Überdeckung und Flächenbestimmung viel schwerer tun.

Definition

  • Wir betrachten bald alle Teilmengen von   oder einer allgemeinen Menge   und überprüfen mit den zu beweisenden Sätzen, welchen Mengen wir sinnvoll ein Volumen zuordnen. Daher benötigen wir den Begriff der Potenzmenge. Die Potenzmenge von   ist definiert als die Menge aller Teilmengen von  :
     

    siehe auch Mathe_für_Nicht-Freaks:_Potenzmenge

  • Die anschauliche Fläche von Rechtecken, die sich schneiden, ist geringer als die Summe der Einzelflächen, siehe das Bild oben. Deshalb benötigen wir einen Begriff: Zwei Mengen   heißen disjunkt genau dann wenn ihr Schnitt leer ist, d.h. sie enthalten keine gemeinsamén Elemente.
     

    siehe auch Mathe_für_Nicht-Freaks:_Disjunkte_Mengen_und_paarweise_disjunkte_Mengensysteme

  • Da nur bei disjunkten Intervallen/Rechtecken/Quadern sich die Längen/Flächen/Volumina addieren lassen, benötigen wir ein mathematisches Zeichen, das uns sagt, dass die Vereinigung disjunkt ist. Seien   disjunkt. Dann schreiben wir für die Vereinigung
     

Intervalle, Rechtecke, verallgemeinerte Quader Bearbeiten

Wir wollten den Intervallen, Rechtecken und Quadern einfach ein Volumen zuordnen. Welche Variante verwenden wir dazu am Besten?

Als Intervall   im   verwenden wir am Besten das linksseitig offene, rechtsseitig geschlossene Intervall (es ginge auch andersherum, man muss sich nur festlegen). Denn der Schnitt des Intervalles   mit einem anderen Intervall   ist   oder die leere Menge und ist damit wieder linksseitig offen und rechtsseitig abgeschlossen.

Schneidet man aus einem Intervall   ein anderes   heraus heraus, ist der Rest eine disjunkte Vereinigung von ein oder zwei wieder linksseitig offenen, rechtsseitig abgeschlossenen Intervallen   und   bzw. die leere Menge.

Damit erhalten wir erneut dieselben mathematischen Objekte.

Würden wir abgeschlossene Intervalle   oder offene Intervalle   betrachten, hätten wir diese schöne Eigenschaft nicht: schneidet man aus einem Intervall [a,b] ein Intervall [c,d] heraus, so erhält man die leere Menge oder ein oder zwei der folgenden Intervalle   und  . Diese sind nicht wieder abgeschlossen. Deshalb betrachten wir linksseitig offene, rechtsseitig abgeschlossene Intervalle.

Aus demselben Grund betrachten wir linksseitig offene und rechtsseitig abgeschlossene Rechtecke im  , d.h Mengen der Form  .

Verallgemeinert im   betrachten wir  , wobei immer   gelten soll.

Dabei führen wir gleich eine abkürzende Vektorschreibweise ein mit  :

Definition

  • Die Intervalle in   sind
 
  • Die Rechtecke und (verallgemeinerten) Quader in   seien
 
  • Es gibt die Konvention, dass wir die leere Menge auch als Rechteck betrachten. Gerade in Beweisen ist dies hilfreich, da dort häufiger die leere Menge auftritt und wir so Fallunterscheidungen vermeiden können. Zudem machen wir die Konvention   für  .

Länge, Fläche und (verallgemeinertes) Volumen Bearbeiten

Definition

  • Die Länge des Intervalles   ist das Bekannte  . Als Länge der Vereinigung von endlich vielen disjunkten (!) Intervallen   legen wir die Summe der Einzellängen fest:  .
  • Die Fläche eines Rechteckes   im   soll definiert werden als das Produkt der Seitenlängen.
     

    Denn zwei identisch Rechtecke aneinandergelegt, ergibt ein doppelt so großes Rechteck (die Fläche soll sich beim Verschieben ja nicht ändern, was man "translationsinvariant" nennt) und die eine Seitenlänge verdoppelt sich dabei. Analog gilt es für die andere Seite: wenn man die Rechtecke andersherum aneinanderlegt ist das entstehende Rechtecke erneut doppelt so groß und die andere Seitenlänge hat sich verdoppelt. D.h. die Formel der Flächenbestimmung muss für jede Seite multiplikativ sein: eben das Produkt der Seitenlängen.

    Nach Voraussetzung ist   und somit die Fläche stets größer gleich Null.

    Gilt für ein  , so ist nach Vereinbarung oben das Intervall die leere Menge und die ganze Fläche Null.

  • Die Fläche von der endlichen disjunkten Vereinigung
     

    legen wir als die Summe der Einzelflächen fest:

     
  • Das Volumen eines verallgemeinerten Quaders   im   mit   soll ebenfalls definiert werden als das Produkt der Seitenlängen
     

    Nach Voraussetzung ist   und somit das Volumen stets größer gleich Null. Gilt für ein  , so ist nach Vereinbarung oben das Intervall die leere Menge und das ganze verallgemeinerte Volumen Null.

  • Das Volumen einer endlichen disjunkten Vereinigung von verallgemeinerten Quadern legen wir fest als Summe der Einzelvolumina
     

Eigenschaften von Rechtecken Bearbeiten

Das besondere an Rechtecken ist, dass man bei endlicher Vereinigung und Ausschneiden   erneut eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken erhält.

Deshalb wählt man Rechtecke, um die Fläche anderer Mengen zu nähern. Im   wählt man dazu (verallgemeinerte) Quader.

Satz (Eigenschaften von Quadern)

  • Der Schnitt zweier Quader ist ein Quader:
     
  • Schneidet man einen Quader   aus einem Quader   heraus, so erhält man eine disjunkte Vereinigung von Quadern. In mathematischer Formulierung: Für alle Quader   gibt es eine natürliche Zahl  , sodass der Rest von   ohne   sich schreiben lässt als disjunkte Vereinigung von   Quadern.
     

Beweis (Eigenschaften von Quadern)

1. a) Die Quader schneiden sich  :

In allen Koordinaten müssen sich die Quader schneiden, sonst sind sie disjunkt. Das ergibt in jeder Koordinate den Schnitt der Intervalle:

 

1. b) Die Quader sind disjunkt:  :

In mindestens einer Koordinate schneiden sich die Intervalle nicht. In dieser Koordinate tritt dann die leere Menge auf und der gesamte Schnitt der Quader wird die leere Menge:

 

Induktion nach der Dimension des Raumes 2. a) im Zweidimensionalen, p=2:

Das Komplement des Rechtecks   lässt sich darstellen durch die disjunkte Vereinigung von

  • allen Punkten, die in der 1. Koordinate links von   sind
  • allen Punkten, die in der 1. Koordinate rechts von   sind
  • allen Punkten, die in der 1. Koordinate in   liegen, aber in der 2. Koordinate links von   sind
  • allen Punkten, die in der 1. Koordinate in   liegen, aber in der 2. Koordinate rechts von   sind

In Formelschreibweise ist das

 

Diese 4 disjunkten Mengen werden bei der Berechnung von   geschnitten mit  . Das ergibt wieder 4 disjunkte Rechtecke  .

 

2. b) im p+1-dimensionalen,  :

Das Komplement des Quaders   lässt sich darstellen durch die disjunkte Vereinigung von

  • allen Punkten, die in den ersten p Koordinaten in   liegen und in der p+1-ten Koordinate rechts von   liegen
  • allen Punkten, die in den ersten p Koordinaten in   liegen und in der p+1-ten Koordinate kleiner gleich   sind
  • allen Punkten, die in den ersten p Koordinaten im Komplement von   liegen und in der p+1-ten Koordinate in   liegen

In Formelschreibweise ist das

 

Damit erhalten wir drei disjunkte Mengen, die wir mit   schneiden. Für die dritte entstehende Menge benutzen wir die Induktionsvoraussetzung, das ergibt

 

Quader aus Quader herausschneiden Bearbeiten

Satz (Weitere Eigenschaften von Quadern)

Wenn man aus einem Quader endlich viele Quader herausschneidet, erhält man eine Vereinigung disjunkter Quader. Für jeden Quader   und für jede Menge   an Quadern kann   ohne   in endlich viele disjunkte Quader   bis   zerlegt werden:

 

Beweis (Weitere Eigenschaften von Quadern)

Induktion: n=1:

Das haben wir im letzten Satz gezeigt.

Induktion  :

Dann gilt

 

Ringe Bearbeiten

Wir hatten gesehen, dass wir endichen disjunkten Vereinigungen von Rechtecken eine eindeutige Fläche zuordnen können.

Zudem haben diese die praktische Eigenschaft, dass der Rest nach Schnitt oder Vereinigung zweier disjunkter Vereinigungen von Rechtecken wieder eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken ist, also dasselbe mathematische Objekt.

Ein mathematisches Objekt mit diesen Eigenschaften benennen wir als Ring. In späteren Sätzen setzen wir nur diese Ring-Eigenschaft voraus. Sie genügt, und es ist einfacher damit zu rechnen als mit Vereinigungen von Rechtecken und Quadern. Zudem gelten die Aussagen dann für alle Ringe (nicht nur die endliche disjunkte Vereinigung von Rechtecken oder Quadern), was wir aber noch nicht benötigen.

Definition (Ringe)

  heißt Ring genau dann wenn

  • Die leere Menge ist im Ring

 

  • Schneidet man aus einer Menge des Ringes eine andere heraus, ist der Rest wieder im Ring.

Aus   folgt  

  • Die Vereinigung zweier Mengen aus dem Ring ist wieder im Ring

Aus   folgt  

Satz (Rechenregel für Ringe)

  1. Sei R ein Ring und  . Dann ist der Schnitt von   in  .

Beweis (Rechenregel für Ringe)

Beweisschritt:

 

Satz

Die Menge der endlich vielen disjunkten Quader

 

ist ein Ring.

Genau deshalb haben wir die Definition gemacht, und genau das müssen wir nun nachrechnen.

Beweis

Beweisschritt:

Nach Definition gilt  .

Seien   und   in  . Dann gilt

 

Zudem gilt

 

Aufgabe (Naheliegender Ring)

Zeige: Die Menge der endlichen Teilmengen (inklusive der leeren Menge)

 

ist ein Ring   über   (analog für jede andere Grundmenge)

Wie kommt man auf den Beweis? (Naheliegender Ring)

Rechne die Ringeigenschaften nach.

Beweis (Naheliegender Ring)

  nach Definition.

Seien  . Wegen   ist   endlich und in  .

Die Addition zweier endlicher Zahlen ist endlich. Damit ist   weiterhin endlich und in  .