MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Lagebeziehung 1

Lagebeziehungen Teil 1

Beispiel: Flugbahnen

Ein Flugzeug befindet sich in den Koordinaten $F_{1}\left(20|-30|1200\right)$ mit Kurs in Richtung ${\vec {u}}={\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}$, ein zweites Flugzeug befindet sich in den Koordinaten $F_{2}\left(-2480|105|1167\right)$ mit Kurs in Richtung ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}}$. Kreuzen sich die Flugbahnen der beiden Flugzeuge?

 

Beispiel: Lichtstrahl auf einen Platz

Im Koordinatenursprung steht ein Lichtmast, an dem in einer Höhe von 6,50 m ein Scheinwerfer angebracht ist. Der (näherungsweise punktförmige) Lichtstrahl des Scheinwerfers wird in Richtung ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}10\\9\\-2\\\end{pmatrix}}$ ausgestrahlt. Die Eckpunkte eines ebenen rechteckigen Platzes sind $A\left(15|12|0\right)$, $B\left(90|12|0\right)$, $C\left(90|72|2\right)$ und $D\left(15|72|2\right)$. Trifft der Lichtstrahl auf den Platz? Und falls ja, wo?

 

Beispiel: Walmdach

Walmdach

Bei einem Walmdach treffen vier schräge Dachflächen aufeinander. Die vordere Dachfläche liegt in der Ebene

$E_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\4\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \mathbb {R} \right)$

die rechte Dachfläche liegt in der Ebene

$E_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-12\\8\\4\\\end{pmatrix}}+q\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(q,r\in \mathbb {R} \right)$

Die Kante, an der die beiden Dachflächen aufeinander treffen wird als Grat bezeichnet. Bestimme die Gerade, auf der der Grat liegt.

 

Viele Aufgaben in der Vektorrechnung befassen sich mit der Lage von verschiedenen Geraden und Ebenen zueinander. Ein Teil dieser Aufgaben ist leichter zu lösen, wenn dabei auf ein breiteres Wissen über die Darstellung von Ebenen zurück gegriffen werden kann. Diese Lösungsmethoden werden deshalb weiter unten im Abschnitt "Lagebeziehungen Teil 2" erläutert. In diesem Abschnitt werden dagegen nur die Parameterformen von Geraden und Ebenen benutzt um folgende Lagebeziehungen zu analysieren:

• Gegenseitige Lage von Geraden
• Gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene
• Gegenseitige Lage von Ebenen

Die hier beschriebenen Lösungswege erfordern das Lösen linearer Gleichungssysteme. Im Abschnitt Lineare Gleichungssysteme werden einige Lösungsverfahren beschrieben.

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