MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Lage Gerade und Ebene

Gegenseitige Lage einer Gerade und einer Ebene

Beispiel: Lichtstrahl auf einen Platz

Im Koordinatenursprung steht ein Lichtmast, an dem in einer Höhe von 6,50 m ein Scheinwerfer angebracht ist. Der (näherungsweise punktförmige) Lichtstrahl des Scheinwerfers wird in Richtung ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}10\\9\\-2\\\end{pmatrix}}$ ausgestrahlt. Die Eckpunkte eines ebenen rechteckigen Platzes sind $A\left(15|12|0\right)$ , $B\left(90|12|0\right)$ , $C\left(90|72|2\right)$ und $D\left(15|72|2\right)$ . Trifft der Lichtstrahl auf den Platz? Und falls ja, wo?

Der Platz kann durch die Ebene, bzw. den Ebenenausschnitt

E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}15\\12\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}75\\0\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\60\\2\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s,t\in \left[0;1\right]\right)

beschrieben werden, der Lichtstrahl durch die Gerade, bzw. den Strahl

g:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\6,5\\\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}10\\9\\-2\\\end{pmatrix}}\qquad \left(r\in \mathbb {R} ^{\geq 0}\right)

Gleichsetzen führt zu

{\begin{pmatrix}15\\12\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}75\\0\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\60\\2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\6,5\\\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}10\\9\\-2\\\end{pmatrix}}

Das ist äquivalent zu

+t\cdot {\begin{pmatrix}75\\0\\0\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}0\\60\\2\\\end{pmatrix}}+r\cdot {\begin{pmatrix}-10\\-9\\2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-15\\-12\\6,5\\\end{pmatrix}}

Diese Vektorgleichung wird in drei Gleichungen zerlegt

{\begin{array}{|ccccccc|l}75\cdot t&+&0\cdot s&-&10\cdot r&=&-15&:5\\0\cdot t&+&60\cdot s&-&9\cdot r&=&-12&:3\\0\cdot t&+&2\cdot s&+&2\cdot r&=&6,5&\cdot (-10)\\\end{array}}\Leftrightarrow {\begin{array}{|ccccccc|}15\cdot t&+&0\cdot s&-&2\cdot r&=&-3\\0\cdot t&+&20\cdot s&-&3\cdot r&=&-4\\0\cdot t&-&20\cdot s&-&20\cdot r&=&-65\\\end{array}}

Addieren der letzten beiden Gleichungen liefert

\Leftrightarrow {\begin{array}{|ccccccc|}15\cdot t&&&-&2\cdot r&=&-3\\&+&20\cdot s&-&3\cdot r&=&-4\\&&&-&23\cdot r&=&-69\\\end{array}}

und damit $r=3\geq 0$ . Einsetzen in die ersten beiden Gleichungen liefert $t={\frac {1}{5}}\in \left[0;1\right]$ und $s={\frac {1}{4}}\in \left[0;1\right]$ . Der Lichtstrahl trifft also auf den Platz.

Einsetzen von r in die Parameterform der Geraden liefert den Ortsvektor des Punktes P auf dem der Lichtstrahl auftrifft: $P\left(30|27|0,5\right)$ .

Allgemeine Betrachtung des Problems

Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Gerade zu einer Ebene liegen kann. Sie kann

in der Ebene enthalten sein, das heißt jeder Punkt der Geraden ist auch ein Punkt der Ebene (nicht umgekehrt!),
parallel zu der Ebene verlaufen, das heißt keine gemeinsamen Punkte mit der Ebene haben,
die Ebene in genau einem Punkt schneiden oder durchstoßen; diesen Punkt nennt man auch Durchstoßpunkt.

Lagebeziehungen von Geraden zu Ebenen
enthalten
parallel
durchstoßend

Hat man die Ebene und die Gerade in Parameterform gegeben, etwa

E:\;{\vec {x}}={\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}+r\cdot {\vec {w}}\qquad (t,r\in \mathbb {R} )

und

g:\;{\vec {x}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}\qquad (s\in \mathbb {R} )

,

dann kann man die Lagebeziehung ermitteln, indem man diese Parameterformen gleichsetzt. Die Vektorgleichung ${\vec {q}}+t\cdot {\vec {v}}+r\cdot {\vec {w}}={\vec {p}}+s\cdot {\vec {u}}$ führt zu

{\begin{vmatrix}v_{1}\cdot t&+&w_{1}\cdot r&-&u_{1}\cdot s&=&p_{1}-q_{1}\\v_{2}\cdot t&+&w_{2}\cdot r&-&u_{2}\cdot s&=&p_{2}-q_{2}\\v_{3}\cdot t&+&w_{3}\cdot r&-&u_{3}\cdot s&=&p_{3}-q_{3}\\\end{vmatrix}}

Dieses lineare Gleichungssystem kann genau eine, unendlich viele oder gar keine Lösung besitzen.

Besitzt das Gleichungssystem genau eine Lösung, dann durchstößt die Gerade die Ebene in einem Punkt. Den Ortsvektor dieses Durchstoßpunkt erhält man durch Einsetzten der Lösungen des Gleichungssystems in die jeweilige Parameterform.
Besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, dann ist die Gerade in der Ebene enthalten.
Besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, dann liegt die Gerade parallel zur Ebene.