MathGymOS/ Analysis/ Numerische Verfahren zur Nullstellenberechnung/ Regula Falsi

MethodeBearbeiten

Das Regula-Falsi-Verfahren wird auch Sekantenverfahren genannt. Warum, werden wir gleich sehen. Analog zur Bisektion benötigt auch Regula Falsi ein Intervall zwischen a und b, für die die gleichen Bedingungen gelten. Im Prinzip ist das Verfahren genau dasselbe, nur das zur Bestimmung von   eine andere Formel benutzt wird. Diese Formel lautet:

 

Unter Umständen kann dieses Vorgehen viel schneller zur gewünschten Lösung hinleiten. Gewählt wurden zwei Punkte (a/f(a)), (b/f(b)), wobei   und   oder umgekehrt.

  ist die x Koordinate der Nullstelle der Sekante durch die Punkte (a/f(a)) und (b/f(b)). Je nachdem, ob   oder  , wird es als neues a oder b herangezogen.

Herleitung der VerfahrensmethodeBearbeiten

Wir betrachten eine steigende Funktion. Die Steigung   der Sekante zwischen zwei Punkten ist bekanntlich (sei  )

 

Da wir im Intervall a und b arbeiten, kommen wir auf die Steigung (sei  )

 

Ziel ist es nun, die Sekante der Funktion zwischen a und b in der Form

 

zu bestimmen. Die Steigung   haben wir ja bereits.   bekommen wir nun, indem wir m und für (x/y) die Koordinaten (a/f(a)) in obige Gleichung einsetzen, da (a/f(a)) ja Punkt der Sekante ist.

 

daraus folgt nach Umformung

 

und folglich

 

Dies ist die Sekante, die die Funktion in a f(a) und f(b) schneidet. Da die Nullstelle bestimmt werden soll, wird y gleich 0 gesetzt

 
 
 


und es folgt die Formel

 

BeispielBearbeiten

Wir beginnen direkt mit einem komplizierteren Beispiel, da der Grundsatz eigentlich klar sein sollte. Wir suchen die Nullstellen der Funktion

 

Es ist dieselbe, die wir bereits mit der Bisektion hergeleitet haben. Hier nun das Verfahren mit Regula Falsi:

i          
0          
1          
2          

Wir erinnern uns: Bei der Bisektion brauchten wir 6 Iterationen, um auf ein ähnlich gutes Ergebnis zu kommen - hier sind es nur halb so viele. Erstaunlich, und das spricht für Regula Falsi als besseren Algorithmus als die Bisektion. Doch es gibt noch ein besseres Verfahren: Das Tangentenverfahren. Doch das kommt im nächsten Kapitel, hier erst mal ein paar Übungen:

ÜbungsaufgabenBearbeiten

  •   (Quadratwurzel von 2) im Intervall  
  •   im Intervall