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Bisektion

Methode

Die Bisektion (auch Halbierungsverfahren genannt) ist die denkbar einfachste Methode, um Nullstellen zu bestimmen. Dazu geht sie wie folgt vor:

steigend im Intervall

• Es sind zwei Werte a und b zu wählen, die natürlich nicht gleich sein dürfen
• Sie sollen folgende Bedingungen erfüllen:
  • f(a) < 0 und f(b) > 0 wenn die Funktion zwischen diesem Intervall steigend ist
  • f(a) > 0 und f(b) < 0 wenn die Funktion zwischen diesem Intervall fallend ist
• Danach wird schrittweise die Näherungslösung bestimmt. Diese wird im folgenden an einem einfachen Beispiel demonstriert:

Beispiel 1

Als Beispiel nehmen wir eine einfache Funktion, um die Methode zu demonstrieren. Wir betrachten die Funktion

Graph der Funktion

$f(x)=x^{2}-4\,$

und setzen sie gleich null:

$0=x^{2}-4\,$

Mit einfacher Termumformung kommen wir auf die Lösungen:

$x_{1}=2\,$ und $x_{2}=-2\,$

Wir versuchen jetzt, der Lösung mit der Methode der Bisektion auf die Spur zu kommen. Dazu müssen wir jetzt ein Intervall wählen. Bekanntlich beschreibt obige Funktion eine nach oben offene Parabel. Wir wählen deshalb das Intervall zwischen a=0 und b=16. Es wird nun eine Tabelle erstellt, welche $a$ , $b$ , $x_{i}$ und $f(x_{i})$ enthält. Dabei gilt

$x_{i}={\frac {a+b}{2}}$

Wegen diesem Verfahrensschritt wird das Verfahren Bisektion (Halbierungsverfahren) genannt. Bei jedem Schritt wird überprüft, ob die Funktion von $x_{i}$ grösser oder kleiner als 0 ist. Je nach dem wird $x_{i}$ dann beim nächsten Schritt für $a$ beziehungsweise $b$ eingesetzt, bis genügend Schritte (Iterationen genannt) gemacht wurden. An unserem Beispiel sieht das so aus:

Zwischen 0 und 16 steigt die Funktion

i	$a\,$	$b\,$	$x_{i}={\frac {a+b}{2}}$	$f(x_{i})\,$	$>oder<0\,$
0	$0\,$	$16\,$	$8\,$	$60\,$	$>0\,$
1	$0\,$	$8\,$	$4\,$	$12\,$	$>0\,$
2	$0\,$	$4\,$	$\color {Red}2\,$	$0\,$	genau 0 !

Wie sie sehen, ist beim Iterationsschritt $i=2$ die Funktion von $x_{2}=2$ genau gleich 0. Somit haben wir die Nullstelle im Intervall von 0 bis 16 gefunden, sie liegt bei 2. Dazu einige Bemerkungen:

• Es liegt an der richtigen Intervallwahl und an der einfachen Funktion, dass wir die genaue Nullstelle gefunden haben - normalerweise kommt das ganze nicht so einfach.
• Die Funktion ist zwischen 0 und 16 steigend - deshalb wurde immer b ersetzt. Wir erinnern uns: Bei steigenden Funktionen ist $f(b)>0$, und weil $f(x_{i})$ immer größer als 0 war. Wäre sie kleiner als 0 gewesen, hätte man $a$ ersetzen müssen.
• Wir haben nur eine Nullstelle erhalten. Um die zweite zu erhalten, hätte man im Intervall zwischen -16 und 0 die Nullstelle bestimmen müssen. Sie können das als Übungsaufgabe betrachten und gleich loslegen. Aber Achtung: In diesem Intervall ist die Funktion fallend!

Die Lösung findet sich am Ende des Buchabschnittes Nullstellenbestimmung.

Beispiel 2

Weil das obige Beispiel sehr einfach war, betrachten wir nun eine kompliziertere Funktion. Wir nehmen die Funktion

Graph der Funktion

$f(x)=cos(x)-x\,$

und wollen davon die Nullstellen bestimmen. Wir nehmen das Intervall zwischen 0 und 1. Wegen der Cosinusfunktion, von der dazu noch der x-Wert abgezogen wird, ist die Funktion in diesem Intervall fallend. Das ganze wird im Bogenmaß berechnet!

i	$a\,$	$b\,$	$x_{i}={\frac {a+b}{2}}$	$f(x_{i})\,$	$>oder<0\,$
0	$0\,$	$1\,$	$0.5\,$	$0.377582561\,$	$>0\,$
1	$0.5\,$	$1\,$	$0.75\,$	$-0.01831113\,$	$<0\,$
2	$0.5\,$	$0.75\,$	$0.625\,$	$0.185963119\,$	$>0\,$
3	$0.625\,$	$0.75\,$	$0.6875\,$	$0.085334946\,$	$>0\,$
4	$0.6875\,$	$0.75\,$	$0.71875\,$	$0.033879372\,$	$>0\,$
5	$0.71875\,$	$0.75\,$	$\color {Red}0.734375\,$	$0.007874725\,$	$>0\,$

Das Ergebnis lautet aber bei größtmöglicher Annäherung: $x_{0}=0.739085133215$

Graphisch sieht das ungefähr so aus:

Wir sehen, dass eine Menge Iterationen nötig sind, ehe wir ziemlich genau das Ergebnis haben. Was wir bei solchen Funktionen brauchen, sind Verfahren, die uns schneller ans Ziel bringen. Eines dieser Verfahren ist Regula Falsi, welches im nächsten Kapitel beschrieben wird. Doch zuerst einige Übungsaufgaben.

Übungsbeispiele

Folgende Funktionen können zur Übung dienen:

• $f(x)=x^{2}$ im Intervall $I[0,2]\,$

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