MathGymOS/ Analysis/ Numerische Verfahren zur Nullstellenberechnung/ Tangentenverfahren

Methode

Das Tangentenverfahren, welches von Newton entwickelt wurde, benötigt Kenntnisse der Analysis, namentlich der Differentialrechnung. Im Vergleich zu Regula Falsi und Bisektion ist dieses Verfahren noch effizienter, allerdings kann es auch gehörig danebengehen. Warum, wird weiter unten erklärt.

Für dieses Verfahren wird kein Intervall benötigt, es ist lediglich ein Startwert erforderlich. Wir nennen diesen Startwert fürs erste $x_{0}$.

Wir stellen uns eine Funktion vor, an die eine Tangente im Punkt $f(x_{0})$ angelegt wird. Diese Tangente schneidet die x-Achse im Punkt $x_{1}$, dem Iterationswert der nächsten Tangente. Die Steigung der Tangente ist bekanntlich die Ableitung der Funktion im Punkt $x_{0}$. Es gilt also:

${\frac {f(x_{0})}{x_{0}-x_{1}}}=f'(x_{0})$

Daraus folgt nach kurzem Umformen

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

oder allgemein:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Wir haben also eine Formel, die uns Näherungsweise der Nullstelle Näherbringen kann.

Beispiel

Wir nehmen unser altbekanntes Beispiel $f(x)=cos(x)-x\,$ und bestimmen die Nullstelle nach diesem Verfahren.

Die Ableitung der Funktion ist:

$f'(x)=-sin(x)-1\,$

Damit beginnen wir nun die Tabelle mit dem Startwert 1:

n	$x_{n}\,$
0	$1\,$
1	$0.75036\,$
2	$0.73911\,$
3	$0.73909\,$

Wir sehen: Es ist noch genauer und dabei genauso schnell wie Regula Falsi. Allerdings gibt es einige Dinge, die beachtet werden sollten.

Probleme

Wir betrachten die Funktion $f(x)=x^{3}-3x\,$ Nun wählen wir den Startwert ${\sqrt {0.6}}$. Dann berechnen wir:

n	$x_{n}\,$
0	${\sqrt {0.6}}$
1	$-{\sqrt {0.6}}$
2	${\sqrt {0.6}}$
3	$-{\sqrt {0.6}}$

• Das Problem hier sind parallele Tangenten. Die Lösung: anderer Startwert wählen.

• Ein weiteres Problem ergibt sich, wenn es eine Tangente parallel zur x-Achse gibt.

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