MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Die Kreisteilungsgleichung

In diesem Kapitel wollen wir noch einen Bezug zwischen den komplexen Zahlen und der Geometrie herstelle. Dazu betrachten wir die Gleichung , die so genannte Kreisteilungsgleichung. Im Reellen hat diese Gleichung nur eine Lösung, im Komplexen hingegen Lösungen. Wieso das so ist wollen wir uns an einem Beispiel überlegen:

Zum Lösen dieser Gleichung ersetzen wir das durch und wenden den Satz von Moivre an. Dadurch erhalten wir

Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht eine komplexe Zahl mit Realteil 1 und Imaginärteil 0, also müssen wir folgende zwei Gleichungen Lösen:

Man sieht sofort ein, dass eine Lösung für dieses Gleichungssystem ist. Allerdings ist die Lösung 0° gleichbedeutend mit 360°, wie man ganz einfach aus einem Graphen mit Polarkoordinaten ablesen kann oder sich selbst überlegen kann. Nach einer Drehung von 360° befindet man sich wieder am Anfang, also bei 0° und somit sind diese Lösungen gleichbedeutend. Diese Tatsachen wollen wir ausnutzen und die beiden Gleichungen umschreiben:

Oder nochmals anders geschrieben und nur mit einer Gleichung:

Nun kennen wir schon zwei Lösungen: und Wir müssen aber bedenken, dass die trigonometrischen Funktionen periodisch sind und es somit noch mehr Lösungen gibt. Weitere Lösungen sind 120°, 180°, 240° und 300°. Hier die Begründung:

Auch die anderen Lösungen ergeben mit 6 multipliziert ein Vielfaches von 360°. Ein Vielfaches von 360° befindet sich am gleichen Ort wie 360° selbst, daher ist es für den Sinus oder den Cosinus das gleichen, wenn man 360°, 720° oder auch 1800° verwendet. Wieso gibt es dann nur die Lösungen 0°, 60°, 120°, 180°, 240° und 300°? Die nächste Lösung wäre 360°, aber wir wissen ja, dass die Lösung 360° äquivalent zu 0° ist. Auch die übernächste Lösung, also 420°, haben wir bereits. Nach 420° haben wir uns einmal im Kreis bewegt und um 60° darüber hinaus. Also ist 420° gleichbedeutend mit der Lösung 60°. Die Lösungen wiederholen sich periodisch und es gibt (in diesem Beispiel) genau 6 voneinander verschiedene Lösungen:

Wenn wir diese Ergebnisse grafisch darstellen erhalten wir ein erstaunliches Bild:

Kreisteilung6.png

Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung ergeben in der Gauss'schen Zahlenebene die Ecken eines regulären n-Ecks. Es ist dem Einheitskreis einbeschrieben und hat eine Ecke bei (1|0). Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung heissen auch Einheitswurzeln.

Wie haben also einen Bezug zur Geometrie geschaffen. Was für eine Bedeutung kommt dem aber zu?