MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Radizieren in C

Wir haben im vorhergehenden Kapitel die Kreisteilungsgleichung kennen gelernt. Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung stellen dabei nichts anderes dar als die $n$-te Wurzel einer komplexen Zahl. Wir haben gesehen, dass es auf Grund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen genau $n$ Lösungen für die $n$-te Wurzel gibt. Diese Lösungen lassen sich wie folgt berechnen:

$z^{n}=1\quad \Rightarrow \quad z_{k}=\operatorname {cis} ({\tfrac {360^{\circ }}{n}}\cdot k)\quad \operatorname {wobei} \quad k=0,1,2,\ldots ,n-1$

Für den allgemeinen Fall können wir diese Formel aber nicht heranziehen. Wir können jedoch eine Beziehung für den allgemeinen Fall aus diesem Spezialfall und einem Beispiel herleiten:

$z^{2}=4\cdot \operatorname {cis} (60^{\circ })$

Die erste Lösung lautet

$z_{0}={\sqrt {4}}\cdot \operatorname {cis} ({\frac {60^{\circ }}{2}})=2\cdot \operatorname {cis} (30^{\circ })$

was eigentlich nur die Umkehrung des Satzes von Moivre ist. Es wurde die $n$-te Wurzel (in diesem Fall ist $n=2$) des Betrages gezogen und das Argument wurde durch $n$ geteilt anstatt mit $n$ multipliziert. Die zweite Lösung dieser Gleichung findet man durch folgende Überlegung: Das Argument der zweiten Lösung unterscheidet sich um $x$ vom Argument der ersten Lösung. Die zweite Lösung im Quadrat ergibt $4\cdot \operatorname {cis} (60^{\circ })$ oder $4\cdot \operatorname {cis} (360^{\circ }\cdot j+60^{\circ })$ ($j$ ist eine ganze Zahl). Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig aus Überlegungen die wir schon im vorherigen Kapitel angestellt haben. In Gleichungen lautet dieser Ansatz

$z_{1}^{2}=4\cdot \operatorname {cis} (30^{\circ }+x)^{2}=4\cdot \operatorname {cis} (2\cdot (30^{\circ }+x))=4\cdot \operatorname {cis} (60^{\circ }+360^{\circ }\cdot j)$

Um das $x$ zu finden müssen wir nur die Argumente betrachten. Zuerst wählen wir $j=0$:

$4\cdot \operatorname {cis} (2\cdot (30^{\circ }+x))=4\cdot \operatorname {cis} (60^{\circ })$

$\Rightarrow \quad 2\cdot (30^{\circ }+x)=60^{\circ }\quad \Rightarrow \quad x=0^{\circ }$

Das ist eine triviale Lösung weil uns dieses Ergebnis wieder das erste Ergebnis liefert, also 30°. Wenn wir aber $j=1$ setzen finden wir auch die zweite Lösung:

$2\cdot (30^{\circ }+x)=60^{\circ }+360^{\circ }=420^{\circ }\quad \Rightarrow \quad x=180^{\circ }$

Somit erhalten wir

$z_{1}=2\cdot \operatorname {cis} (30^{\circ }+180^{\circ })=2\cdot \operatorname {cis} (210^{\circ })$

Dieses Verfahren können wir nun leicht verallgemeinern. So sieht die allgemeine Gleichung aus:

$z^{n}=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )$

Den ersten Lösungswinkel finden wir wie im Beispiel:

$\varphi _{0}={\tfrac {\varphi }{n}}$

Die anderen Lösungen finden wir wiederum durch den gleichen Ansatz wie im Beispiel:

$n\cdot (\varphi _{0}+\varphi _{k})=\varphi +360^{\circ }\cdot k\quad \Rightarrow \quad \varphi _{k}={\frac {\varphi +360^{\circ }\cdot k}{n}}-\varphi _{0}={\frac {\varphi +360^{\circ }\cdot k}{n}}-{\frac {\varphi }{n}}={\frac {360^{\circ }}{n}}\cdot k$

Der letzte Ausdruck sieht genau so aus wie im Spezialfall. Wenn wir diesen Ausdruck in den allgemeinen Ansatz setzen finden wir folgende Formel zur Berechnung der n-ten Wurzel:

$z_{k}={\sqrt[{n\,}]{r}}\cdot \operatorname {cis} ({\frac {\varphi }{n}}+{\frac {360^{\circ }}{n}}\cdot k)\quad {wobei}\quad k=0,1,2,\ldots ,n-1$

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