MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Der Satz von Moivre

Der Satz von Moivre sagt aus, dass für jede Komplexe Zahl folgende Beziehung gilt:

$z^{n}=r^{n}\cdot \operatorname {cis} (n\cdot \varphi )$

Dieser Satz lässt sich ganz einfach beweisen wenn man sich vor Augen führt, was $z^{n}\,$ eigentlich bedeutet. Das ist nämlich nichts anderes als $z\cdot z\cdot z\cdot \dots \cdot z$ und zwar insgesamt n-mal. Mit der im letzten Kapitel hergeleiteten Formel für die Multiplikation in Polarkoordinaten erkennt man sofort, dass die Beträge n-mal miteinander multipliziert werden und die Winkel n-mal summiert werden:

$(r\cdot r\cdot r\cdot \ldots \cdot r)\cdot \operatorname {cis} ((\varphi +\varphi +\varphi +\ldots +\varphi ))=r^{n}\cdot \operatorname {cis} (n\cdot \varphi )$

Dieses Ergebnis gilt vorerst nur für positive Zahlen. Man kann aber leicht beweisen, dass diese Beziehung auch für negative Zahlen gilt. Hierfür betrachten wir zuerst einen Spezialfall:

$z\cdot {\bar {z}}=r\cdot \operatorname {cis} (\varphi )\cdot r\cdot \operatorname {cis} (-\varphi )=r^{2}\cdot \operatorname {cis} (\varphi -\varphi )=r^{2}\cdot (\cos(0)+\mathrm {i} \cdot \sin(0))=r^{2}=|z|^{2}$

$z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}\quad \Rightarrow \quad {\frac {z\cdot {\bar {z}}}{|z|^{2}}}=1\quad \Rightarrow \quad z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

Mit Hilfe von diesem Spezialfall, den Potenzgesetzen und einem kleinen Trick können wir den allgemeinen Fall herleiten. Wir ersetzen das $n$ aus dem Satz von Moivre durch $-m$ wobei $m\in \mathbb {N}$:

$z^{m}=z^{-n}={\frac {1}{z^{n}}}=({\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}})^{n}={\frac {r^{n}\cdot \operatorname {cis} (-n\varphi )}{r^{2n}}}=r^{n-2n}\cdot \operatorname {cis} (-n\varphi )=r^{-n}\cdot \operatorname {cis} (-n\varphi )=r^{m}\cdot \operatorname {cis} (m\varphi )$

Der Satz von Moivre hat also auch für negative Zahlen die gleiche Form. Er ist für alle Zahlen aus $\mathbb {Z}$ gültig.

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