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Extremwertaufgaben sind Aufgabentypen, bei denen ein bestimmter Wert (zum Beispiel das Volumen eines Quaders) unter bestimmten Voraussetzungen maximiert oder minimiert werden muss - also extrem werden muss. Die Lösung solcher Probleme lässt sich im Allgemeinen finden, wenn man die Bedingungen der Aufgabe mit den Anforderungen der Lösung zu einer sogenannten Zielfunktion vermischt und diese dann auf die Anforderungen (Maximierung oder Minimierung) diskutiert.

Aus der Mittelstufe sind solcherart, oft anwendungsorientierter, Probleme bereits bekannt. In der Oberstufe werden sie allerdings mit Mitteln der Differentialrechnung gelöst, die in der Mittelstufe noch nicht zur Verfügung stehen. Sie müssen aber selbstverständlich nicht zwingend in dieser Art gelöst werden, dennoch ist der einfache, schematische Lösungsweg oft eine Hilfe.

Herangehensweise

Bevor wir uns einem konkreten Beispiel widmen, wollen wir zuerst einmal eine grundlegende Herangehensweise ausarbeiten, die aus insgesamt fünf Schritten besteht.

Schritt 1: Formulierung der Extremalbedingung

Im ersten Schritt geht es lediglich darum, die Größe zu suchen, die extremal werden soll. Zum Beispiel kann es sich dabei um einen Körper handeln, dessen Volumen maximiert werden soll. Entsprechend genügt es, die Volumenfunktion des Körpers mit mehreren Variablen aufzustellen.

Im Normalfall muss man, um diese Funktion aufstellen zu können das Problem erst einmal in ein geeignetes Koordinatensystem transferieren. Dieses Koordinatensystem ist dann auch Ausgangspunkt für den zweiten Schritt, der Formulierung der Nebenbedingungen.

Schritt 2: Herausfiltern der Nebenbedingungen

Da es sich bei der Extremalbedingung meist um eine Funktion handelt, die mit mehreren Variablen arbeitet (um z.B. das Volumen eines Quaders anzugeben braucht man derer drei, nämlich Höhe, Breite und Länge, die alle unterschiedlich sein können), sind weitere Bedingungen nötig, um eine Lösung zu finden. Diese „Nebenbedingungen“ müssen aus dem Aufgabentext herausgefiltert werden.

Die Zahl der Nebenbedingungen, die benötigt wird, kann zumeist aus der Zahl der Variablen in der zur Extremalbedingung gehörenden Funktion abgelesen werden. Grundsätzlich gilt:

Anzahl der Nebenbedingungen für eine eindeutige Lösung

Die Anzahl der Nebenbedingungen, die in den meisten Fällen für eine eindeutige Lösung des Extremwertproblems benötigt wird, ist gleich der um 1 verringerten Anzahl der Unbekannten in der Funktionsgleichung der Extremalbedingung.

Anders formuliert:

$\mathrm {Anzahl~Nebenbedingungen} =\mathrm {Anzahl~Extremalfunktionsvariablen} -1$

 

Dieser Sachverhalt wird klar, wenn man verstanden hat, wie sich nun die sogenannte „Zielfunktion“ zusammensetzt.

Schritt 3: Aufstellen der Zielfunktion und ihres Definitionsbereiches

Unsere Extremalbedingung mit mehreren Variablen neben den vielen Nebenbedingungen ist natürlich extrem unhandlich. Wenn wir diese Funktion auf ihre Maxima untersuchen wollen, so sollten wir ihre Variablenanzahl auf eine einzige reduzieren. Eine Funktion mit nur einer Variable lässt sich mit Hilfe der Differentialrechnung bequem auf ihre Maxima oder Minima hin untersuchen.

Meist gelingt es, die Nebenbedingungen so umzustellen, dass sie jeweils eine der überzähligen Variablen in der Extremalbedingung ersetzen können, d.h. mit einer Nebenbedingung kann eine Variable ersetzt werden. Somit erklärt sich die unter Schritt 2 formulierte Regel.

Zum Ende dieses Einsetzungsverfahren haben wir schließlich eine einzige Funktion mit einer Variablen, die entweder maximiert oder minimiert werden soll. Diese Funktion heißt „Zielfunktion“. In manchen Fällen lässt sich die Zielfunktion direkt aus der Aufgabenstellung ablesen - in diesem Fall entfallen Schritt 1 und 2.

Es genügt aber meist nicht, die Zielfunktion zu erstellen, auch ihre Definitionsgrenzen müssen klargestellt sein. Da ein Extremwertproblem meist anwendungsorientiert ist, sind bestimmte Lösungen nicht möglich. Gilt es beispielsweise mit einem 50 Meter langem Stück ein rechteckiges Stück Feld so abzutrennen, dass die entstandene Fläche maximal wird, so wäre es absurd mit Seitenlängen über 50 Meter oder gar mit negativen Seitenlängen zu rechnen.

Schritt 4: Untersuchung der Zielfunktion auf relative Extrema

Im nächsten Schritt müssen nun die relativen Extrema (sprich Hoch- oder Tiefpunkte) der Zielfunktion berechnet werden. Das Verfahren kann im Kapitel über Kurvendiskussionen nachgelesen werden.

Schritt 5: Untersuchung der Definitionsränder auf allgemeine Extrema

Es genügt bei Extremwertproblemen nicht, die relativen Extremstellen zu kennen, denn gesucht ist natürlich der absolute Hoch- oder Tiefpunkt. Dieser kann theoretisch ja auch an den Definitionsrändern liegen (was allerdings äußerst selten der Fall ist). Es genügt also entweder über eine Argumentation zu beweisen, dass dies der Fall ist, oder aber die Funktionswerte der Zielfunktion an den Definitionsgrenzen zu berechnen und mit den relativen Extrema zu vergleichen. Damit hat man das absolute Extremum gefunden.

Beispiel

Beispiel: Eine einfache Extremwertaufgabe

Der FC Mathematica baut ein neues Stadion. Der Architekt hat den Auftrag, in eine herkömmliche 400-Meter-Laufbahn, bestehend aus zwei parallelen Sprintstrecken und zwei daran angesetzten Halbkreisen, eine möglichst große, rechteckige Fußballspielfläche einzupassen. Welchen Radius muss er für die Halbkreise veranschlagen?

 

Extremwertbedingung

Nennen wir die Länge des Fußballfeldes $x$ und dessen Breite $y$ dann gilt:

$A(x,y)=x\cdot y$ soll maximal werden

Nebenbedingung

Wir haben zwei Variablen, also benötigen wir genau eine Nebenbedingung. Die ist durch den Umfang und die Form des Stadions gegeben. Es muss gelten:

$U(x,y)=\overbrace {2\cdot x} ^{\text{Laufgeraden}}+\overbrace {2\pi \cdot \left({\frac {y}{2}}\right)} ^{zweiHalbkreise}=400m$

Zielfunktion

Nun gilt es, die Zielfunktion aufzustellen. Es ist einfacher, nach $x$ umzustellen, sodass wir eine Funktion in Abhängigkeit von $y$ erhalten. Es folgt aus der Nebenbedingung:

$x=200-\pi \cdot \left({\frac {y}{2}}\right)$

Einsetzen in die Extremwertbedingung ergibt:

$A(y)=y\cdot \left(200-\pi \cdot \left({\frac {y}{2}}\right)\right)$

Diese Funktion müssen wir nun maximieren.

Diskussion

Wie gewohnt bestimmen wir die erste Ableitung der Funktion und setzen diese gleich Null:

$A^{\prime }(y)=200-\pi y=0$

Damit ist

$y={\frac {200}{\pi }}$

Für $x$ ergibt sich:

$x=200-\pi \cdot \left({\frac {y}{2}}\right)=200-\pi {\tfrac {200}{\pi }}=0$