MathGymOS/ Analysis/ Kurvendiskussion/ Extrempunkte

Es gibt zwei Arten von Extrempunkten: Hoch- und Tiefpunkte. Wie sich aus dem Namen schon ableiten lässt, sind Hochpunkte die „Bergspitzen“ und Tiefpunkte die „Täler“ des Graphen. Durch logisches Denken sieht man sofort, dass es zwischen zwei Hochpunkten stets einen Tiefpunkt und umgekehrt geben muss (sofern der Graph stetig ist). Des Weiteren existiert immer mindestens ein Wendepunkt zwischen zwei Extrempunkten (sofern die Funktion stetig ist und...).

Ein Hochpunkt (blau) und ein Tiefpunkt (rot) einer ganrationalen Funktion dritten Grades mit den horizontalen Tangenten (grün)

Auf Grund ihrer Definition ist klar, dass an Extremstellen die erste Ableitung 0 sein muss, da die Tangente an solchen „Bergen“ oder „Tälern“ waagerecht sein muss. Es ist also im Allgemeinen ganz leicht sie zu finden, indem man die Funktion mit den Regeln der Differentialrechnung ableitet und dann wie im vorherigen Abschnitt beschrieben die Nullstellen sucht. Hat man so die x-Werte ausgerechnet, setzt man sie in die Ausgangsfunktion ein und erhält die zugehörigen y-Werte.

Anschließend muss man noch bestimmen, ob es sich um einen Hoch- oder einen Tiefpunkt handelt. Dazu benutzt man die zweite Ableitung. Sie gibt die Krümmung des Graphen an. Ist sie negativ ist der Graph nach rechts gekrümmt (die Steigung wird immer kleiner) und der Extrempunkt ist ein Hochpunkt. Im umgekehrten Fall ist der Graph nach links gekrümmt (die Steigung wird immer größer), damit ist der Extrempunkt ein Tiefpunkt. Ein Sonderfall tritt ein, wenn sowohl erste als auch zweite Ableitung 0 sind. Dann handelt es sich möglicherweise nicht um einen Extrempunkt, sondern um einen Sattelpunkt.

Wenn man die zweite Ableitung ausgerechnet hat, kann man sie gleich benutzen, um die Wendepunkte auszurechnen.

Beispiel: Extrempunkte

Gegeben sei die Funktion

$f(x)={\frac {1}{2}}x^{3}+2x^{2}-3x-6$

Mit Hilfe der Regeln zur Ableitung ganzrationaler Funktionen bilden wir die erste Ableitung:

$f'(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+4x-3$

Die Nullstellen dieser quadratischen Gleichung rechnen wir mit der pq-Formel aus. Sie sind $x_{1}\approx -3{,}28$ und $x_{2}\approx 0{,}61$

Durch einsetzen in die Ausgangsfunktion erhalten wir die y-Werte

$f(x_{1})\approx 7{,}71\qquad \Rightarrow E_{1}(-3{,}28/7{,}71)$

$f(x_{2})\approx -6{,}97\qquad \Rightarrow E_{2}(0{,}61/-6{,}97)$

Man könnte jetzt durch logischen Denken feststellen, dass $E_{1}$ ein Hochpunkt sein muss und analog $E_{2}$ ein Tiefpunkt, aber wir wollen das mit der zweiten Ableitung bestätigen.

$f''(x)=3x+4$

$f''(x_{1})\approx -5{,}84\qquad \Rightarrow E_{1}{\text{ ist Hochpunkt}}$

$f''(x_{2})\approx 5{,}83\qquad \Rightarrow E_{2}{\text{ ist Tiefpunkt}}$