MathGymOS/ Analysis/ Kurvendiskussion/ Achsenschnittpunkte

Man beginnt bei einer Kurvendiskussion meist damit, die Nullstellen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse, und den y-Achsenabschnitt, den Schnittpunkt mit der y-Achse, zu berechnen. Mit diesen Informationen kann man schon einiges über den Graphen aussagen. Zum Beispiel gibt immer (von f(x)=0 abgesehen) einen Extrempunkt zwischen zwei Nullstellen und einen Wendepunkt, wenn es mehr als zwei Nullstellen gibt.

y-Achsenabschnitt

Die y-Achse (Ordinatenachse) kreuzt die x-Achse (Abszissenachse) bei $x=0$. Für den Schnittpunkt einer Funktion $f$ mit der y-Achse gilt also $y=f(0)$. Bedingung ist natürlich, dass $0$ innerhalb des Definitionsbereiches von $f$ liegt.

Kurz: $S_{y}(0;f(0))$

Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen setzt man $f(x)=0$ und löst nach x auf. Was in der Theorie so einfach klingt ist oftmals mit einigem Rechenaufwand verbunden.

Quadratische und Biquadratische Gleichungen

Wenn man von einfachen Geraden absieht ist die Nullstellenberechnung nur im Fall einer quadratischen Gleichung, also einer Funktion der Form

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

wirklich einfach. Um die Nullstellen zu berechnen teilt man einfach durch $a$ und setzt ${\frac {b}{a}}$ und ${\frac {c}{a}}$ in die  pq-Formel ein.

Ähnlich einfach sind die Nullstellen sog. biquadratischer Gleichungen, also Polynomen 4. Grades, zu finden, insbesondere wenn sie die Form

$f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c$

haben. In diesem Fall setzt man sich ein $z=x^{2}$ in die Gleichung ein (Substitution), so dass sie die bekannte Form einer quadratischen Gleichung hat:

$f(x)=az^{2}+bz+c$

Dann kann man wieder die pq-Formel anwenden um $z_{1},z_{2}$ auszurechnen. Das sind aber noch nicht die eigentlichen Nullstellen, da wir ja $z=x^{2}$ verwendet haben. Wir müssen zuerst die Wurzel aus $z_{1},z_{2}$ ziehen. Dabei ist zu beachten, dass die Quadratwurzel zwei Lösungen hat, eine positive und eine negative, der Taschenrechner aber nur die positive Lösung anzeigt.

Interessierte können  hier nachlesen, wie man die Nullstellen eines Polynoms 4. Grades ermitteln, wenn es einen $r*x^{3}$ Summanden gibt.

Polynomdivision

Wenn man eine Gleichung dritten oder gar fünften Grades vor sich hat, sollte man zuallererst gucken, ob man $x$ oder sogar $x^{2}$ ausklammern kann. Ist es möglich eine Potenz von $x$ auszuklammern, so kennt man eine Nullstelle schon, nämlich 0. Wenn man einen Satz wie "Im Folgenden betrachten wir nur den rechten Faktor" hinzuschreibt, kann man das ausgeklammerte $x$ für die weiteren Betrachtungen weglassen. Dadurch kann man dann die Funktion meist ausreichend vereinfachen um eine der oben beschriebenen Methoden zur Berechnung der restlichen Nullstellen anzuwenden.

Obwohl Kurvendiskussionen in der Schule im Allgemeinen so gestellt werden, dass entweder direkt die pq-Formel anwenden kann, oder zumindest ein Ausklammern möglich ist, trifft man auf Funktionen, die man nicht mit den einfachen Methoden lösen kann.

In diesem Fall muss man eine Polynomdivision durchführen. Dabei rät man eine Nullstelle und teilt dann das Polynom dadurch. Dabei geht man praktisch genauso wie bei der schriftlichen Division vor. Man eliminiert nacheinander immer die höchste Potenz und erhält in jedem Schritt einen Summanden des Restpolynoms.

Ein interessanter Nebenaspekt ist vielleicht der, dass Nullstellen von Polynomen dritten und vierten Grades mit den recht komplizierten Cardanischen Formeln gefunden werden können, ab dem fünften Grad aber mathematisch kein algebraisches Verfahren zur Berechnung von Nullstellen existieren kann (das kann bewiesen werden). In dem Fall ist man also gezwungen, die Nullstellen zu raten oder numerisch anzunähern.

Beispiel: Polynomdivision

Gegeben sei die Funktion

$f(x)={\frac {1}{2}}x^{3}+2x^{2}-3x-6$

Man kann hier nicht ausklammern, deswegen muss eine Polynomdivision durchgeführt werden. Nach einigem Rumprobieren mit dem Taschenrechner finden wir eine Nullstelle $x=2$.

${\begin{matrix}({\frac {1}{2}}x^{3}&+2x^{2}&-3x&-6)&\div &(x&-2)=&{\frac {1}{2}}x^{2}&+3x&+3\\-({\frac {1}{2}}x^{3}&-x^{2})&&&&&&1.&&\\&-(3x^{2}&-6x)&&&&&&2.&\\&&-(3x&-6)&&&&&&3.\\&&&0&&&&&&\\\end{matrix}}$

Die Nullstellen des Restpolynoms lassen sich jetzt mit der pq-Formel bestimmen.

 

Wenn die geratene Nullstelle stimmt, muss die Polynomdivision ohne Rest aufgehen.

Tricks

Wenn bekannt ist, dass das Polynom nur rationale Nullstellen hat (also keine irrationalen wie ${\sqrt {2}}$), dann kann man sie relativ schnell durch Ausprobieren finden, indem man sich eines kleinen Tricks bedient.

Rationale Zahlen lassen sich alle als Bruch darstellen, haben also die Form

${\frac {p}{q}}$

Wenn wir eine Funktion der Art

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}$

haben, kann man zeigen, dass nur bestimmte Brüche mit bestimmten p und q Nullstellen sein können. Warum das so ist, ist hier aber nicht interessant. Wir interessieren uns dafür, wie man diese p und q findet.

Das ist relativ einfach. $a_{n}$ muss ein Vielfaches von q und $a_{0}$ ein Vielfaches von p sein. Das schränkt die möglichen Brüche auf eine Handvoll ein.

Beispiel: Rationale Nullstellen

Wir wenden den oben beschriebenen Trick an, um die Nullstellen der Funktion

$f(x)=\underbrace {6} _{a_{n}}x^{4}-12x^{3}+x+\underbrace {1} _{a_{0}}$

zu finden. Die Nullstellen sind rational, haben also die Form ${\frac {p}{q}}$. $a_{0}$ ist ein Vielfaches von p und $a_{n}$ ein Vielfaches von q. Wir schreiben also alle Brüche auf, die als Nenner einer Teiler von $a_{n}$ und im Zähler (da $a_{0}$ 1 ist und keine weiteren Teiler hat) 1. Das sind die folgenden:

$\pm {\frac {1}{6}},\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{1}}$

Diese acht Zahlen brauchen wir jetzt nur noch in die Funktion einzusetzen und haben die Nullstelle gefunden. In der Schule sollte man mit den "hübschen" Zahlen wie ${\frac {1}{2}}$ oder der ganzen Zahlen anfangen.

 

Dieses Verfahren ist meist schneller als eine Polynomdivision, kann aber auch benutzt werden um die erste Nullstelle zu raten, damit man dann eine Polynomdivision durchführen kann. Da die Funktionen, die man in der Schule antrifft fast ausschließlich rationale (meist sogar ganzzahlige) Nullstellen haben, kann man nicht viel falsch machen.