Ing Mathematik: Zahlenbereiche


Natürliche ZahlenBearbeiten

Aus Wikipedia vom 27. September 2005, 10:04MEZ: Natürliche Zahl (weitergeleitet von Peano-Axiome):

Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen   durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

  1. 0 ist eine natürliche Zahl
  2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
  3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
  4. Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m'.
  5. Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)


Ob die Null zur Menge der natürlichen Zahlen gehört ist in der Literatur unterschiedlich festgelegt. Oft findet man auch die Unterscheidung

 

und

 


Die Addition und Multiplikation sind in   unbeschränkt durchführbar.  

AssoziativgesetzeBearbeiten

 

 

KommutativgesetzeBearbeiten

 

 

DistributivgesetzBearbeiten

 

OrdnungsrelationBearbeiten

Die natürlichen Zahlen sind geordnet, es gilt stets genau eine der folgenden Beziehungen

 

Neutrales Element bezüglich der AdditionBearbeiten

 

Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition.


Die Subtraktion ist mit natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt möglich, z.B.  . Also muss eine Erweiterung des Zahlenbereiches durchgeführt werden  .


Ganze ZahlenBearbeiten

Menge der ganzen Zahlen:  

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen  .

Alle bereits behandelten Rechenregeln für   gelten auch für  .

Zuätzlich ist nun auch die uneingeschränkte Subtraktion möglich.

Es fehlt aber noch die Division. Man kann z.B. noch keine Gleichung   nach x uneingeschränkt auflösen.

Dies wird erst durch Erweiterung des Zahlenbereiches auf die rationalen Zahlen   ermöglicht.


Rationale ZahlenBearbeiten

Das System der rationalen Zahlen   ist die Menge von Zahlen in der Form  .

Die ganzen Zahlen   sind eine echte Teilmenge der rationalen Zahlen  . Die ganzen Zahlen können als   aufgefasst werden.

Alle Rechenregeln der ganzen Zahlen   können für die rationalen Zahlen   übernommen werden. Zusätzlich führt die Division nicht aus dem Bereich der rationalen Zahlen   heraus.

Ein Zahlsystem, im dem zwei Operationen (Addition, Multiplikation), sowie ihre Umkehrungen (Subtraktion, Division mit Ausnahme von Null) unbeschränkt durchführbar sind, heißt Zahlkörper.

Alle rationalen Zahlen können Punkten auf einer Zahlengeraden so zugeordnet werden, dass jeder rationalen Zahl ein Punkt entspricht. Aber nicht jeder Punkt der Zahlengeraden läßt sich durch eine rationale Zahl darstellen, so ist zum Beispiel   keine rationale Zahl. Dies führt zu einer Erweiterung der rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen  .


Reelle ZahlenBearbeiten

Jedem Punkt auf einer Zahlengeraden ist genau eine reelle Zahl zugeordnet, sie erfüllen die Zahlengerade stetig. Die Menge der reellen Zahlen wird durch das Symbol   gekennzeichnet.

Ein Zahl   nennt man irrationale Zahl.

Wichtige RechenregelnBearbeiten

  • Verbot einer Division durch Null.
  • Kürzungsregel für die Addition:  
  • Kürzungsregel für die Multiplikation:  
  •  
  •  
  •  

AnordnungsaxiomeBearbeiten

Für   gilt

  • Reflexivität:  
  • Transitivität:  
  • Antisymmetrie:  
  • Totalordnung:  
  • Monotonie der Addition:  
  • Monotonie der Multiplikation:  


Auch mit den reellen Zahlen   können etliche mathematische Probleme nicht ausreichend beschrieben werden. So gibt es zum Beispiel in   keine Zahl x mit der die Gleichung   lösbar ist. Dies führt zu einer Erweiterung des Zahlenbereiches auf die komplexen Zahlen  . Dazu aber erst später mehr.

IntervalleBearbeiten

Beschränkte IntervalleBearbeiten

Es gelte  . a und b sind die Endpunkte und b-a die Länge des Intervalls.


  • Abgeschlossenes Intervall:  
  • Offenes Intervall:  
  • Halboffene Intervalle:  


Unbeschränkte IntervalleBearbeiten

Es gelte   und für das Unendlichkeitssymbol  .


  • Abgeschlossene unbeschränkte Intervalle:  
  • Offene unbeschränkte Intervalle: