Ing Mathematik: Zahlenbereiche

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Natürliche Zahlen

Aus Wikipedia vom 27. September 2005, 10:04MEZ: Natürliche Zahl (weitergeleitet von Peano-Axiome):

Es folgt eine Definition der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ durch Axiome, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

1. 0 ist eine natürliche Zahl
2. Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es genau einen Nachfolger n', der ebenfalls eine natürliche Zahl ist.
3. Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 0 ist.
4. Zwei verschiedene natürliche Zahlen n und m besitzen stets verschiedene Nachfolger n' und m'.
5. Enthält eine Menge X die Zahl 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch stets deren Nachfolger n', so enthält X bereits alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Ob die Null zur Menge der natürlichen Zahlen gehört ist in der Literatur unterschiedlich festgelegt. Oft findet man auch die Unterscheidung

$\mathbb {N} =\{1,2,3,4,\ldots \}$

und

$\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,4,\ldots \}$

Die Addition und Multiplikation sind in $\mathbb {N}$ unbeschränkt durchführbar. $a,b,c\in \mathbb {N}$

Assoziativgesetze

$(a+b)+c\ =\ a+(b+c)$

$(ab)c\ =\ a(bc)$

Kommutativgesetze

$a+b\ =\ b+a$

$ab\ =\ ba$

Distributivgesetz

$(a+b)c\ =\ ac\ +\ bc$

Ordnungsrelation

Die natürlichen Zahlen sind geordnet, es gilt stets genau eine der folgenden Beziehungen

$a=b;\;a<b;\;a>b$

Neutrales Element bezüglich der Addition

$a+0\ =\ a$

Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition.

Die Subtraktion ist mit natürlichen Zahlen nicht uneingeschränkt möglich, z.B. $5-8\ =\ ?$. Also muss eine Erweiterung des Zahlenbereiches durchgeführt werden $\rightarrow \mathbb {Z}$.

Ganze Zahlen

Menge der ganzen Zahlen: $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}$

Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z}$.

Alle bereits behandelten Rechenregeln für $\mathbb {N}$ gelten auch für $\mathbb {Z}$.

Zuätzlich ist nun auch die uneingeschränkte Subtraktion möglich.

Es fehlt aber noch die Division. Man kann z.B. noch keine Gleichung $ax\ =\ b;\;a\neq 0$ nach x uneingeschränkt auflösen.

Dies wird erst durch Erweiterung des Zahlenbereiches auf die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ermöglicht.

Rationale Zahlen

Das System der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ist die Menge von Zahlen in der Form ${\frac {b}{a}};\;a,b\in \mathbb {Z} \wedge a\neq 0$.

Die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ sind eine echte Teilmenge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Die ganzen Zahlen können als ${\frac {b}{1}}$ aufgefasst werden.

Alle Rechenregeln der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ können für die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ übernommen werden. Zusätzlich führt die Division nicht aus dem Bereich der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ heraus.

Ein Zahlsystem, im dem zwei Operationen (Addition, Multiplikation), sowie ihre Umkehrungen (Subtraktion, Division mit Ausnahme von Null) unbeschränkt durchführbar sind, heißt Zahlkörper.

Alle rationalen Zahlen können Punkten auf einer Zahlengeraden so zugeordnet werden, dass jeder rationalen Zahl ein Punkt entspricht. Aber nicht jeder Punkt der Zahlengeraden läßt sich durch eine rationale Zahl darstellen, so ist zum Beispiel ${\sqrt {2}}$ keine rationale Zahl. Dies führt zu einer Erweiterung der rationalen Zahlen auf die reellen Zahlen $\mathbb {R}$.

Reelle Zahlen

Jedem Punkt auf einer Zahlengeraden ist genau eine reelle Zahl zugeordnet, sie erfüllen die Zahlengerade stetig. Die Menge der reellen Zahlen wird durch das Symbol $\mathbb {R}$ gekennzeichnet.

Ein Zahl $x\ \in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ nennt man irrationale Zahl.

Wichtige Rechenregeln

• Verbot einer Division durch Null.
• Kürzungsregel für die Addition: $x+y=x+z\;\Rightarrow \;y=z$
• Kürzungsregel für die Multiplikation: $(xy=xz)\wedge x\neq 0\;\Rightarrow \;y=z$
• $-\left(-x\right)=x$
• $-x=\left(-1\right)x$
• ${\frac {x}{y}}+{\frac {z}{w}}={\frac {xw+zy}{yw}}$

Anordnungsaxiome

Für $x,y,z\in \mathbb {R}$ gilt

• Reflexivität: $x\leq x$
• Transitivität: $x\leq y,\;y\leq z\;\Rightarrow \;x\leq z$
• Antisymmetrie: $x\leq y\ \wedge \ y\leq x\;\Rightarrow \;x=y$
• Totalordnung: $(x\leq y)\oplus (y<x)$
• Monotonie der Addition: $(x\leq y)\;\Rightarrow \;x+z\leq y+z$
• Monotonie der Multiplikation: $(x\leq y)\wedge (z\geq 0)\;\Rightarrow \;xz\leq yz$

Auch mit den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ können etliche mathematische Probleme nicht ausreichend beschrieben werden. So gibt es zum Beispiel in $\mathbb {R}$ keine Zahl x mit der die Gleichung $x^{2}+1=0$ lösbar ist. Dies führt zu einer Erweiterung des Zahlenbereiches auf die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$. Dazu aber erst später mehr.

Intervalle

Beschränkte Intervalle

Es gelte $a,b\in \mathbb {R} \;\wedge \ a<b$. a und b sind die Endpunkte und b-a die Länge des Intervalls.

• Abgeschlossenes Intervall: $[a,b]\Leftrightarrow \{x\;|\;a\leq x\leq b\}$
• Offenes Intervall: $(a,b)\Leftrightarrow \{x\;|\;a<x<b\}$
• Halboffene Intervalle: ${\begin{cases}[a,b)\Leftrightarrow \{x\;|\;a\leq x<b\}\\(a,b]\Leftrightarrow \{x\;|\;a<x\leq b\}\end{cases}}$

Unbeschränkte Intervalle

Es gelte $a\in \mathbb {R}$ und für das Unendlichkeitssymbol $\infty \notin \mathbb {R}$.

• Abgeschlossene unbeschränkte Intervalle: ${\begin{cases}[a,\infty )\Leftrightarrow \{x\;|\;x\geq a\}\\(-\infty ,a]\Leftrightarrow \{x\;|\;x\leq a\}\end{cases}}$
• Offene unbeschränkte Intervalle: ${\begin{cases}(a,\infty )\Leftrightarrow \{x\;|x>a\}\\(-\infty ,a)\Leftrightarrow \{x\;|x<a\}\end{cases}}$

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